文档文本内容
专题 圆锥曲线的轨迹问题 近三年： 1、圆锥曲线的轨迹问题是近3 年高考解析几何部分的核心考查内容，考查频率高，题型综合，难度中档 及以上，本质是运用代数手段刻画几何图形。 2、从近几年高考命题来看，轨迹问题可分为两类：一是直接求已知圆锥曲线的方程（如通过几何性质求 椭圆、双曲线方程）；二是求满足特定条件的动点轨迹方程。 预测2026 年： 轨迹问题将继续作为高考解析几何解答题的命题重点。其考查将更加注重数学思想的渗透和问题情境的构 建，复习中必须熟练掌握求轨迹方程的基本方法（直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等），并 强化运算求解能力的训练，同时提升运用数学思想（方程思想、数形结合思想、分类讨论思想）分析问题 的能力。 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 深度剖析 解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 逐一剖析 解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 热点限时训练 模拟实战 巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。 1 题型01 求圆的轨迹方程 解｜题｜策｜略 1、定义法：根据圆的定义（通常有到定点距离等于定长、过定点的两垂直直线的交点等）， 来判断我们的轨迹是圆，然后根据圆心半径等确定我们的轨迹方程。 2、直接法：设我们要求的点坐标为( x , y),根据题目条件列出方程，化简整理可得我们的轨迹 方程。 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段 的端点 的坐标是 ，端点 在圆 上运动，则 线段 的中点 的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·模拟预测）已知A，B 为椭圆 上两点， 为坐标原点且 ，过点 作 直线 的垂线，垂足为H，则点H 的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北·模拟预测）如图，半径为1 的 与半径为2 的 内切于点A， 沿 的圆弧无滑 动的滚动一周.若 上一定点P 从A 点出发随着 的滚动而运动，设点P 的轨迹为C，则（ ） 2 A．C 是半径为 的圆 B．C 是半径为1 的圆 C．C 是长度为2 的线段 D．C 是长度为4 的线段 4．（2025·浙江·三模）若坐标原点O 关于动直线l： 的对称点为A，则点A 的轨迹 为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 5．（2025·江苏南通·三模）已知抛物线 的方程为 ，直线与 交于 ， 两点， ， 两点分别 位于 轴的上下两侧，且 ，其中 为坐标原点.过抛物线 的焦点 向作垂线交于点 ，动点 的轨迹为 ，则 所在曲线的方程为 ，直线 斜率的最大值为 . 题型02 定义法求轨迹方程 解｜题｜策｜略 根据圆锥曲线的三大定义来判断轨迹是椭圆、双曲线还说抛物线。 1、圆锥曲线定义 椭圆定义：平面内与两个定点F1, F2的距离之和等于常数2a（2a>| F1 F2|）的点的轨迹叫做椭圆，记 | P F1|+| P F2|=2a(2a>| F1 F2|=2c>0) 双曲线定义：平面内与两个定点F1, F2的距离之差的绝对值等于常数2a（0 < 2a <| F1 F2|）的点 的轨迹叫做双曲线。|| PF ₁| − | PF ₂|| = 2a（ 0 < 2a < | F1 F2|） 抛物线定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线（准线l）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 2、圆锥曲线第二定义 平面内到一个定点（焦点F）的距离与到一条定直线（准线l）的距离之比为一个常数 e （离心率）的 点的轨迹，当0<e<1时，轨迹为椭圆，当e > 1时，轨迹为双曲线，当e=1 时，轨迹为抛物线 3、圆锥曲线第三定义（椭圆与双曲线） 平面内动点P与两个定点 A(−a, 0), B(a, 0) 的连线的斜率之积为一个定值，表示为 k AP∙K BP=e 2−1，根据离心率e 的范围确定是椭圆还是双曲线。 1．（2025·山西临汾·三模）已知动点 满足 ，则动点M 的轨迹方 程是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·北京海淀·二模）已知 ．若动点 满足 ，则 的轨迹的方程为 （ ） A． B． 3 C． D． 3．（多选）（2025·广东汕头·一模）已知复数 ， （x, ），则下列结论正确的是 （ ） A．方程 表示的z 在复平面内对应点的轨迹是圆 B．方程 表示的z 在复平面内对应点的轨迹是椭圆 C．方程 表示的z 在复平面内对应点的轨迹是双曲线 D．方程 表示的z 在复平面内对应点的轨迹是直线 4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设A，B 两点的坐标分别为 ，直线AM，BM 相交于点M，且 它们的斜率之积是 ，则点M 的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，圆 与 轴交于 、 两点，、 是分别过 、 的圆 的切线，过圆 上任意一点 作圆 的切线，分别交、 于点 、 两点，记直线 与 交于点 ， 则点 的轨迹方程为（ ） 4 A． B． C． D． 题型03 几何法求轨迹方程 解｜题｜策｜略 将题目中的几何信息提取、分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件是否满足圆锥曲线的定 义，从而求动点的轨迹方程 1．（2025·四川成都·三模）已知动圆 与圆 外切，同时与圆 内切，则动圆 的圆心轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025·四川攀枝花·三模）圆O 的半径为定长r，A 是圆O 所在平面内一个定点，P 是圆O 上 一个动点．线段AP 的垂直平分线l 与直线OP 相交于点Q，则点Q 的轨迹可能是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3．（多选）（2025·辽宁大连·一模）在平面内，存在定圆M 和定点A，点P 是圆M 上的动点，若线段PA 的中垂线交直线PM 于点Q，关于点Q 轨迹叙述正确的是（ ） A．当点A 与圆心M 重合时，点Q 的轨迹为圆 B．当点A 在圆M 上时，点Q 的轨迹为拋物线 C．当点A 在圆M 内且不与圆心M 重合时，点Q 的轨迹为椭圆 D．当点A 在圆M 外时，点Q 的轨迹为双曲线 4．（2024·福建莆田·三模）已知圆 ， ，P 是圆C 上的动点，线段 的垂直平 分线与直线 （点C 是圆C 的圆心）交于点M，则点M 的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 5．（2025·河南·三模）已知等腰三角形 的顶点为 ，底边的一个端点为 ，则另一个端 点P 的轨迹方程为 ；又 ，线段 的垂直平分线与直线 交于点Q，则动点Q 的轨迹方程 为 . 5 题型04 直接法求轨迹方程 解｜题｜策｜略 直接法：直接法按下面4 个步骤求轨迹方程。 1、建系设点 2、列出条件 3、代入坐标、整理得方程 4、限制条件 直接法求点的轨迹方程,在高考中有以下两个命题角度:一种是明确给出等式,求轨迹方程;另一种是给出已 知条件,寻找题设中的等量关系,求轨迹方程. 1．（2025·湖南永州·模拟预测）已知两条直线： ， ： ，有一动圆M 与交于A，B 两点， 与 交于C，D 两点，且 ， ，则圆心M 的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点 ，圆心在y 轴上的圆E 经过A，B，C 三点，设点M 的坐标为 ，则M 点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，点 在 轴上运动，点 在 轴上运 动，点 在线段 的延长线上，且 ， ，则点 的轨迹方程为 ． 4．（2025·广东广州·模拟预测）已知点 是平面内的一个动点， 与直线 垂直，垂足 位于第一 象限， 与直线 垂直，垂足 位于第二象限．若四边形 （其中 为原点）的面积为2，则 动点 的轨迹方程是 ． 5．（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中， 满足 ， 、 分别为 的重心、内心，若 轴，则点 的轨迹方程为 . 题型05 相关点法求轨迹方程 6 解｜题｜策｜略 相关点法：题目给出了已知的曲线方程C，所求的动点P跟这个已知曲线上的点M成一定的几何关系。 1、求谁设谁，设所求的点P坐标为( x , y) 2、根据题目给出的条件，用点P的坐标( x , y)来表示出曲线上的点M ( x0, y0) 3、将M点坐标代入到曲线C方程中，整理可得P的轨迹方程。 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C： （ ），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段 ， 为垂足，则线段 的中点M 的轨迹方程为（ ） A． （ ） B． （ ） C． （ ） D． （ ） 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知曲线 ，从曲线上任意一点 向 轴作垂线，垂足为 ， 且⃗PN = 1 3⃗P P '，则点 的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏·三模）已知曲线 ，从 上任意一点 向 轴作垂线段 ， 为垂足， 则线段 的中点 的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·新疆·三模）长为3 的线段 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则点A 关于点B 对称 的点M 的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃金昌·模拟预测）过直线 上的动点 作 的两条切线，切点分别为 ，则 的重心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 题型06 参数法、交轨法求轨迹方程 7 解｜题｜策｜略 1、参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一参数k得到 方程，即为动点的轨迹方程； 2、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用 此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的 一种变种。 1．（2025·辽宁·一模）已知双曲线 ，作垂直于x 轴的垂线交双曲线于 两点，作垂直于y 轴的 垂线交双曲线于 两点，且 ，两垂线相交于点 ，则点 的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽马鞍山·一模）双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后， 反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ． 从点 发出的光线经双曲线C 右支上的点 反射，若反射光线垂直于直线 ，则点 的横坐标为 ；过双曲线 右支上任一点 （异于右顶点）作其切线l，过坐标原点O 作l 的垂线，与直线 交于点 ， 则点 的轨迹方程为 ． 3．（2025·浙江丽水·一模）已知 是椭圆 上的两点． (1)求椭圆 的标准方程； (2)已知 是椭圆 上的两动点，且 的横坐标之和为 ，设直线为线段 的中垂线，过点 作直 线 ，垂足为 ．求垂足 横坐标 的取值范围，并求 的轨迹方程． （建议用时：30 分钟） 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知过点 的直线与圆 交于 两点，则弦 8 的中点 的轨迹方程为 . 2．（2025·广东揭阳·三模）已知动点P 到坐标原点O，x 轴，y 轴的距离之和为2，则 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 3．（2025·河北保定·一模）已知直线 ，点 到 的距离之积为 ，记点 的 轨迹为曲线 ，若 与曲线 有四个交点，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．（多选）（2025·云南昭通·一模）已知 ， ， ，动点 满足MA 与MB 的斜率之 积为 ，动点 的轨迹记为 ，过点 的直线交 于 ， 两点，则下列说法正确的是（ ） A． 的轨迹方程为 （ ） B． 的最大值为3 C． 的最小值为 D．过点 的直线垂直AC 交曲线 于 ， ，则 的周长为8 5．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆 上恰有三个点到直线 的 距离为1，则动点 的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 9 6．（24-25 高三上·辽宁·期末）已知 ， ， 为坐标原点，点 是圆 上任意一 点，点 是圆 外一点，若 ， ，则点 的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 7．（24-25 高二上·海南·阶段练习）已知圆 ： ，点 ，点 .点P 是圆O 上异于 ， 的动点.过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q，点 满足 ，则点 的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 8．（多选）（2025·辽宁·一模）已知点Q 在圆 上， ，动点 满足：在 中， ．则（ ） A．记 的轨迹方程为轨迹： B． 的最大值为 C． 的最小值是 D． （点O 为坐标原点）的最小值为7 9．（多选）（2025·湖南邵阳·模拟预测）有这样一句诗歌：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是 相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却 在转瞬间无处寻觅.已知点 ，直线 ，动点 与点 之间的距离是点 到直线的距离的一半.若 某直线上存在这样的点 ，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A．点 的轨迹方程是 B．直线 是“最远距离直线” 10 C．平面上有一点 ，则 的最小值为5 D．点 到直线 的距离的最大值为 10．（2025·福建三明·三模）平面直角坐标系 中，M 是一个动点，直线 与直线 垂直，垂 足 位于第一象限，直线 与直线 垂直，垂足 位于第四象限，且 . (1)求动点M 的轨迹方程C； (2)若过点 的直线交曲线C 于B、D 两点，D 关于x 轴的对称点为点A（异于点B），直线AB 与x 轴 交于点G，求 面积的取值范围. 11
