第37 讲圆锥曲线综合应用
（知识清单+12 典例精讲+方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
双曲线几何性质、离心率计算
单选/填空题
5 分
抛物线定义、焦点弦、直线与抛物线位置关系
多选题
6 分
椭圆标准方程、直线与椭圆联立、韦达定理、定点定值、面积最值
单选/解答题
5 分/12 分
双曲线定义、焦点三角形计算
单选题
5 分
平面轨迹方程、直线与抛物线相交、弦长公式、函数最值求解
单选/解答题
5 分/12 分
【知识点01】直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ>0；
直线与圆锥曲线相切⇔Δ＝0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ<0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.
【例1】判断直线 l: y = x +1 与椭圆 C : x
2
4 + y
2
3 =1 的位置关系。
【知识点02】弦长公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB 的斜率为k(k≠0)，
则|AB|＝❑√( x1- x2)
2＋( y1- y2)
2
＝
❑√1＋k
2|x1- x2|
＝
❑√1＋k
2❑√( x1＋x2)
2- 4 x1 x2，
或|AB|＝❑√
1＋1
k
2|y1- y2|
＝❑√
1＋1
k
2
❑√( y1＋y2)
2- 4 y1 y2.
【例2】已知直线 l: y = x +1 与椭圆 C : x
2
4 + y
2
3 =1 交于 A 、B 两点，求弦长 | AB|。
【题型一】直线与椭圆的位置关系
【例1】（2024·山东·模拟预测）已知直线l：y =kx +1，椭圆C：x
2
4 + y
2=1，则“k =0”是“l与C相切”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式1】已知直线l: x0 x
a
2 + y0 y
b
2 =1与椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1，点A(x0, y0)，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A 在椭圆C 外，则直线l 与椭圆C 相离
B．若点A 在椭圆C 上，则直线l 与椭圆C 相切
C．若点A 在椭圆C 内，则直线l 与椭圆C 相交
D．若点A 在直线l 上，则直线l 与椭圆C 的位置关系不确定
【变式2】（2025·河南·模拟预测）已知M (-2,-1)为椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上一点，且直线y =2与C有且仅
有一个交点，则C的焦距为__________.
【变式3】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的长轴长为4，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点A(0,2)，点Q( x1，y1)( x1 y1≠0)在椭圆C上，QM ⊥x轴，垂足为M，直线AN ⊥AM交x轴于点N，线
段EN的中点为坐标原点，试判断直线QE与椭圆C的位置关系.
【题型二】椭圆的弦长、焦点弦
【例1】（2026·山东淄博·一模）已知椭圆C：x
2
2 + y
2=1的左、右焦点分别为F1和F2，过F2且倾斜角为π
4 的直线l
与C交于A，B两点，则|AB|=（ ）
A．4
3
B．4 ❑√2
3
C．2
3
D．2❑√2
3
【变式1】（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆x
2
2 + y
2=1的右焦点F作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，
B两点，则| AB|=（ ）
A．8 ❑√2
7
B．20 ❑√2
7
C．
❑√2
7
D．13 ❑√2
7
【变式2】若直线l：y =kx +m（其中km<0）与圆x
2+ y
2=1相切，与椭圆C：x
2
4 + y
2=1交于点A(x1, y1)，
B(x2, y2)，F为其右焦点，则△ABF的周长为______.
【变式3】（2025·上海嘉定·二模）已知椭圆C：x
2
9 + y
2=1．F 为椭圆的右焦点，过椭圆上一点P(3,0)的直线l1交椭
圆于另一点Q，点M 为椭圆上任意一点．
(1)求|MF|的最小值；
(2)当直线l1的斜率为1 时，求△PQM面积的最大值及此时点M 的坐标；
(3)若直线PQ与直线l2：x =-3交于点D，点D 不在x 轴上，Q 关于原点的对称点为点R，直线PR与l2交于点E，求
线段|DE|的取值范围．
【题型三】椭圆中的参数范围及最值
【例3】（2026·辽宁·三模）已知椭圆C : x
2
25 + y
2
16 =1的焦点分别为F1，F2，点P为C上任意一点，则|P F1|⋅|P F2|
的最大值为（ ）
A．41
B．25
C．10
D．9
【变式1】已知椭圆C : x
2
3 + y
2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y = x +m与C 交于A，B 两点，若△F1 AB面积
是△F2 AB面积的2 倍，则m=（ ）．
A．2
3
B．
❑√2
3
C．-
❑√2
3
D．- 2
3
【变式2】（多选）已知点P(m,n)是椭圆x
2
3 + y
2
2 =1上的动点，点Q (a,0)(a>0且a≠❑√3)，则|PQ|最小时，m 的值
可能是（ ）
A．-1
B．❑√3
C．a
D．3a
【变式3】（2025·全国·模拟预测）已知椭圆E: x
2
25 + y
2
9 =1，则在椭圆E短轴的右侧与短轴相切且在椭圆E内部（包
括边界）的最大圆的方程为______．
【题型四】椭圆中的定点、定值
【例4】（2025·广东·模拟预测）圆E：x
2
4 + y
2
3 =1与曲线H：xy =k在第一象限内交于P，Q 两点，则直线PQ的斜
率为（ ）
A．- 3
4
B．- 4
3
C．- 2❑√3
3
D．-
❑√3
2
【变式1】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选）如图，P为椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上异于顶点的一点，
F(-c ,0)、A(a,0)分别是椭圆C的左焦点和右顶点．过点P分别向x轴和直线l: x =- a
2
c 作垂线，垂足分别为M , N．
记直线l与x轴的交点为H ,O为坐标原点，则下列比值与|OF |
|OA | 相等的是（ ）
A．|OA |
|OH |
B．| AF |
| AH |
C．| MP|
| MA |
D．| PF |
| PN |
【变式2】（2024·四川·模拟预测）已知点A为椭圆E: x
2
25 + y
2
9 =1的左顶点，点F为椭圆E的右焦点，过点F作一条
直线（直线与x轴不重合）交椭圆E于M , N两个不同点，连接AM , AN，则k AM ⋅k AN =__________.
【变式3】（2026·重庆·三模）已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)过抛物线x
2= 4 y的焦点，且与双曲线x
2
2 - y
2=1有
相同的焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：y =kx +m与椭圆C交于不同的两点A，B，点P(4,0)，若直线AP的斜率与直线BP的斜率互为相反数，
求证：直线l过定点．
【题型五】直线与双曲线的位置关系
【例5】（2026·山东济南·三模）已知直线y =
❑√3
4 x与双曲线x
2
a
2 - y
2=1(a>0)相交于A，B 两点，且A，B 两点的横
坐标之积为-16，则a=（ ）
A．1
4
B．1
2
C．2
D．4
【变式1】（2024·广东肇庆·模拟预测）已知双曲线E: x
2
4 - y
2
5 =1，则过点(2,❑√5)与E有且只有一个公共点的直线共
有（ ）
A．4 条
B．3 条
C．2 条
D．1 条
【变式2】（2026·北京石景山·二模）设双曲线C：x
2- y
2
b
2 =1(b>0)，若直线y =2 x与双曲线C 无公共点，则b 的一
个取值为______．
【变式3】函数f (x)= x +
4
x +1 +3(x>-1)的最小值为m，则直线5 x +3 y -15=0与曲线x|x|
m+3 + y|y|
m+19 =1的交点为
___________个.
【题型六】双曲线的弦长、焦点弦
【例6】（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线C : x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左焦点为F1，圆O: x
2+ y
2=a
2.若过
F1的直线分别交C的左、右两支于A，B 两点，且圆O与F1B相切，C的离心率为3, F1到C的渐近线的距离为2❑√2，
则| AB|=（ ）
A．32
7
B．30
7
C．20
7
D．16
7
【变式1】（2026·河北邢台·二模）（多选）已知直线2 x - y -3=0被双曲线C : x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)截得的弦长
为m(m>0)，则下列直线中被C截得的弦长也为m的有（ ）
A．2 x + y +3=0
B．2 x + y -1=0
C．2 x - y +3=0
D．2 x - y -1=0
【变式2】过双曲线x
2- y
2= 4的右焦点F 作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B 两点，则弦长|AB|=______．
【变式3】双曲线C：x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的焦点为F1、F2，P 在双曲线右支上，且|P F1|=3|P F2|，y =± x为
C 的渐近线方程，若△P F1 F2的面积为4 ❑√2，则双曲线C 的焦距长为______．
【题型七】双曲线中的定点、定值
【例7】（2025·山东泰安·三模）设双曲线C：x
2- y
2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P 为C 上一动点，则P 到y 轴
的距离与P 到F1，F2距离之和的比值（ ）
A．恒为定值
❑√2
4
B．恒为定值
❑√2
2
C．不为定值但有最小值
❑√2
4
D．不为定值但有最大值
❑√2
2
【变式1】已知双曲线x
2
5 - y
2
b
2 =1(b>0)的一条渐近线的倾斜角的正切值为2❑√5
5
.若直线y =mx +n（m
2<4且m
2≠4
5
）与双曲线交于A，B 两点，直线OA，OB的斜率的倒数和为10
m ，则直线y =mx +n恒经过的定点为_____________.
【变式2】（2026·安徽滁州·一模）（多选）已知圆T : x
2+ y
2=14经过双曲线C : y
2
m -
x
2
m+2 =1(m>0)的两个焦点F1，
F2，且P 为双曲线C 上异于顶点的任意一点，点M (2,3)，则（ ）
A．点M 在双曲线C 上
B．当P 在圆T 上时，△P F1 F2的面积为8
C．点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为3
D．双曲线C 上存在定点Q，使得直线PM和PQ的斜率之积为定值3
4
【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知点A (3,0)，B (0,1)，双曲线的方程C : x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)经过点A，
且C的一条渐近线与直线AB平行，P为C上异于顶点的任意一点，A1为C的左顶点．
(1)求C的方程；
(2)求直线A1 P与AP的斜率之积；
(3)设Q为C上异于顶点和点P的任意一点，且直线A1 P的斜率是直线AQ的斜率的3 倍，证明：直线PQ恒过定点．
【题型八】直线与抛物线的位置关系
【例8】若x0
2>2 p y0( p>0)，则称点( x0, y0)在抛物线C：x
2=2 py( p>0)外．已知点P(a，b)在抛物线C：
x
2=2 py( p>0)外，则直线l：ax = p( y +b)与抛物线C 的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
【变式1】过抛物线C : y
2=2 px的焦点作倾斜角为2π
3 的直线l，交C于A、B两点，交y轴于点P．若|PA|⋅|PB|=2，
则p的值为（ ）
A．
❑√2
2
B．❑√2
C．1
D．2
【变式2】（多选）已知抛物线C：y
2=2 px ( p>0)，圆C
':(x - p
2)
2
+ y
2= R
2．若C 与C
'交于M，N 两点，圆C
'与x
轴的负半轴交于点P，则（ ）
A．若△PMN为直角三角形，则圆C
'的面积为π p
2
B．R> p
2
C．直线PM 与抛物线C 相切
D．直线PN 与抛物线C 有两个交点
【变式3】（2026·天津滨海新区·三模）已知圆C：( x +2)
2+ y
2=3，过原点的一条直线与圆C相切，且与焦点为F的
抛物线y
2=2 px( p>0)交于异于原点的M点，若|MF|=14，则焦点F的坐标为_____________．
【题型九】抛物线的弦长
【例9】（2026·福建莆田·模拟预测）若直线y = x -1交抛物线y
2= 4 x于A ,B两点，则|AB|=（ ）
A．2❑√2
B．4
C．4 ❑√2
D．8
【变式1】（2025·山西临汾·三模）已知抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F，过点F的直线与C交于A ,B两点，若
|AF|=2|FB|，则|AB|=（ ）
A．3
2
B．3
C．4
D．9
2
【变式2】（2026·山东枣庄·二模）（多选）过抛物线C : y
2= 4 x的焦点F，且斜率为1 的直线交C于A ,B两点，则
|AB|=______．
【变式3】（2025·广东江门·模拟预测）已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的焦点F关于C的准线的对称点为(- 9
2 ,0)．
(1)求C的方程；
(2)若经过点F且斜率为1 的直线l与C交于A ,B两点，求|AB|．
【题型十】抛物线焦点弦的性质
【例10】（2025·云南玉溪·二模）已知抛物线E: y
2=2 px ( p>0)的焦点为F，过点F的直线l与E交于A，B 两点，点
M为线段AB的中点，若点M的横坐标为p，|AB|=12，则p=（）
A．2
B．3
C．4
D．6
【变式1】（2026·福建漳州·二模）已知A，B 为抛物线y
2= 4 x上的动点，P(x0, y0)为AB 中点且|AB|=6，则x0的
最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线C：y
2= 4 x的焦点为F，准线与x轴交于点D．过F的直线交C于
A，B两点，若点D在以AB为直径的圆上，则|AB|=__________．
【变式3】已知梯形ABCD 的四个顶点都在抛物线E: y
2= 4 x上，且⃗AB = λ⃗DC (λ∈R)，直线AB 过抛物线E 的焦
点F.
(1)若四边形ABCD 为等腰梯形，求|⃑AB|；
(2)若直线AD 与直线BC 的交点为P(0,1)，求实数λ的值.
【题型十一】抛物线中的参数范围及最值
【例11】已知直线l1:4 x +3 y -6=0和直线l2: x =1，抛物线y
2=- 4 x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最
小值是（ ）
A．2
B．3
C．11
5
D．37
16
【变式1】（2026·河北·三模）在平面直角坐标系xOy中，设Q(2,0)，若抛物线y
2=2 px ¿上存在点P，使得
∠OPQ =90
°，则p 的取值范围是（ ）
A．(0,1]
B．(0,1)
C．(1,+∞)
D．[1,+∞)
【变式2】（2025·上海黄浦·三模）抛物线y
2=2 px ( p>0)的焦点F，准线l，点A、B 是抛物线上两个动点，且满足
∠AFB =π
6 ，设线段AB的中点M 在l 上的投影是N，则|AB|
2
|MN|
2的最小值为________．
【变式3】已知抛物线E: x
2=2 py ( p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为π
3 的直线被E所截得的弦长为16.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点C为抛物线上的任意一点，以C为圆心的圆过点F，且与直线y =- 1
2相交于A ,B两点，求|FA|⋅|FB|⋅|FC|
的取值范围.
【题型十二】抛物线中的定点、定值
【例12】（2026·四川巴中·一模）两直线 y =kx 和 y =- 1
k x 分别与抛物线 y
2= 4 x 相交于不同于原点的 A ,B
两点， 则直线 AB 恒过的点是（ ）
A．(1,0)
B．(2,0)
C．(3,0)
D．(4,0)
【变式1】（2026·浙江台州·二模）已知点A (1,1)，B (1,-1)，点P 是抛物线C : y
2= x上的动点（异于A，B 两点），
记直线AP 的斜率为k1，直线BP 的斜率为k2，则下列结论正确的是（ ）
A．k1-k2为定值B．k1+ k2为定值
C．1
k1
- 1
k2
为定值
D．1
k1
+ 1
k2
为定值
【变式2】（2024·四川宜宾·二模）已知F为抛物线C : x
2=-8 y的焦点，过直线l: y = 4上的动点M作抛物线的切线，
切点分别是P ,Q，则直线PQ过定点__________.
【变式3】（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线E: y
2=2 x，过点P(2,1)的直线交E 于A，B 两点．
(1)设A( x1, y1)，B( x2, y2)，证明：( y1-1)( y2-1)为定值；
(2)过点P(2,1)的另一条直线交E 于C，D 两点，且| PA |⋅| PB|=| PC |⋅| PD|，求| AB|
|CD| 的最小值．
【解题大招01】直线与圆锥曲线联立通用解题法
所有直线与圆锥曲线综合题，统一执行 设线→联立→消元→判别式→韦达定理 五步模板。
1. 设直线：优先设y =kx +m，需单独讨论斜率不存在情况；
2. 联立曲线方程，消去 y 得到一元二次方程 A x
2+ Bx +C =0；
3. 必须写判别式：Δ=b
2- 4 ac（保证有两个交点）；
4. 韦达定理列式：
x1+ x2=- B
A , x1 x2= C
A
5. 将题目所求（弦长、面积、最值、定点）全部转化为 x1+ x2、x1 x2 整体代入。
【例1】已知椭圆 C : x
2
8 + y
2
4 =1，直线 l: y =kx +2 与椭圆交于 A ,B 两点，联立方程并写出韦达定理关系式。
【解题大招02】圆锥曲线万能弦长公式
适用于椭圆、双曲线、抛物线任意相交弦，无需求交点坐标，整体代入韦达定理即可。
核心弦长公式：
| AB|=
❑√1+k
2⋅
❑√( x1+ x2)
2- 4 x1 x2
补充技巧：直线斜率不存在时（x =m），直接代入曲线求两点纵坐标差：
| AB|=| y1- y2|
【例2】求直线 y =kx +2 截椭圆 x
2
8 + y
2
4 =1 所得弦长 | AB|。
【解题大招03】圆锥曲线三角形面积速算技巧
直线与圆锥曲线相交形成的三角形面积，优先使用弦长×高和水平宽铅垂高两种算法。
公式1（通用）：
S△= 1
2 ⋅| AB|⋅d
d 为定点到直线 AB 的距离。
公式2（铅垂法，高考最优解）：
S△= 1
2 | x1- x2|⋅| y0-k x0-m|
【例3】已知直线 y = x +1 与椭圆 x
2
4 + y
2
3 =1 交于 A ,B，求原点 O 与 A ,B 构成的三角形面积。
【解题大招04】定点定值问题解题技巧
1. 特殊探点：先取特殊斜率、特殊位置，猜出定点/定值；
2. 一般证明：联立韦达定理，整体代入化简，消去参数；
3. 核心逻辑：结果与参数 k 、m 无关，即为定点定值。
【例4】已知椭圆 x
2
4 + y
2
3 =1，直线y =kx +1 与椭圆交于 A ,B，证明：直线恒过定点（本题验证定点逻辑）。
【解题大招05】最值与参数范围解题技巧
1. 利用韦达定理将目标式转化为单变量函数；
2. 结合判别式 Δ>0 求出变量取值范围；
3. 利用二次函数、对勾函数单调性求最值。
【例5】已知直线 y =kx +2 与椭圆 x
2
8 + y
2
4 =1 相交，求弦长 | AB| 的最大值。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2025·内蒙古包头·二模）直线l与双曲线x
2
4 - y
2=1交于P ,Q两点，线段PQ的中点为M (4,1)，则直线l的方程为
（ ）
A．y = x -3
B．y =- x -3
C．y = x +5
D．y =- x +5
2．（2025·广东·模拟预测）已知斜率为❑√3的直线过抛物线C : y
2= 4 x的焦点F，且从上到下与C依次交于A ､B两点，⃗
AF = λ⃗FB，则λ=（ ）
A．4
3
B．2
C．5
2
D．3
3．（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线C : x
2- y
2=2，右焦点为F，直线l经过F且与x轴垂直．若l与C的两条渐近线
分别交于A，B两点，则△OAB的面积为（ ）
A．2
B．2❑√2
C．4
D．4 ❑√2
4．（2024·全国·模拟预测）已知直线x - ❑√3 y -2=0与椭圆C：x
2
a +
y
2
a- 4 =1(a>4)交于M，N 两点，椭圆C 的左、右
焦点分别为F1, F2，若∠F2 F1 M +∠F1 F2 M =∠F1 M F2，则a 的值为（ ）
A．4+ ❑√3
B．4+2❑√3
C．5+
❑√3
2
D．5-
❑√3
2
二、多选题
5．（2025·广西柳州·一模）已知F1，F2分别是椭圆C : x
2
4 + y
2
3 =1的左、右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点的动点，
则下列结论正确的是（ ）
A．△P F1 F2的周长为6
B．|P F1|的最小值为1
C．△P F1 F2面积的最大值为❑√3
D．椭圆C 的离心率为1
2
三、填空题
6．（2024·全国·一模）若直线x + ky +3=0与双曲线x
2
4 - y
2
7 =1有且只有一个交点，则实数k的值是______．
四、解答题
7．（2025·河南·二模）设抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B 两点.
(1)求C的准线方程；
(2)设M (t ,2)为C准线上一点，且MF ⊥l，求|AB|.
8．（2024·河南商丘·模拟预测）已知中心在坐标原点O，以坐标轴为对称轴的双曲线E经过点P(
4 ❑√3
3
,❑√7)，且其渐
近线的斜率为±
❑√3
2 ．
(1)求E的方程．
(2)若动直线l与E交于A ,B两点，且∠AOB =π
2 ，证明：|OA||OB|
|AB|
为定值．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·四川南充·二模）已知O为坐标原点，双曲线E: x
2- y
2
8 =1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线l与
E的右支交于点P，Q.设△P F1 F2与△Q F1 F2的内切圆圆心分别是M，N，直线OM，ON的斜率分别是k1，k2，则
k1k2=（ ）
A．- 4
B．-2
C．-1
D．2❑√2-3
2．（2026·山西临汾·二模）椭圆C：x
2
12 + y
2
3 =1，若C上存在两点A，B关于直线y =2 x +m对称，则实数m的范围为
（ ）
A．(- 3 ❑√6
2
, 3 ❑√6
2 )
B．(-∞,- 3 ❑√6
2 )∪(
3 ❑√6
2
,+∞)
C．(- ❑√51,❑√51)
D．(-∞,- ❑√51)∪(❑√51,+∞)
二、多选题
3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知点O 为坐标原点，抛物线C：y
2=2 px（p>0）的准线方程为x =-2，过焦点F
的直线l 交抛物线C 于A，B 两点，则下列选项中正确的是（ ）
A．若|AF|=10，则|OA|=8 ❑√2
B．若|AB|=16，则直线l 的斜率为1
C．2|AF|+|BF|≥6+ 4 ❑√2
D．△OAB面积的最小值为8
三、填空题
4．（2026·甘肃金昌·三模）双曲线C : x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F，右顶点为A ,l是C的一条渐近线，点A到
l的距离为
❑√3
2 ，点F到l的距离为❑√3，直线y =2 x - 4与C交于点M , N，则|MN|=__________.
四、解答题
5．（2026·河南周口·三模）已知椭圆E：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左焦点为F (-1,0)，短轴长是长轴长的
❑√3
2 ．
(1)求E的方程．
(2)过点F的直线与E交于A，B两点，点D (- 4,0)，从下列两个命题中选择一个正确的命题，并证明．
①直线AD与BD的斜率之和为定值；
②直线AD与BD的斜率之积为定值．
6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知A，B 是抛物线C : y
2= 4 x上异于坐标原点O 的两点．
(1)若C 的焦点恰好是△OAB的垂心，求|AB|；
(2)若直线OA 与直线OB 的斜率之积为- 4．
（ⅰ）求证：直线AB 恒过定点；
（ⅱ）已知点G 是线段AB 的中点，点M (-2,0)关于直线AB 的对称点N 在C 上，求△GMN的面积．
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·山东济南·模拟预测）已知椭圆E: x
2
4 + y
2=1的左、右焦点为F1，F2，P是椭圆E上的动点，以P F1为直径
作圆N，直线ON与圆N交于点Q（点Q不在椭圆内部），则⃗Q F1⋅⃗Q F2=（ ）
A．1
B．3
2
C．2
D．3
2．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知椭圆C1: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1与双曲线C2: x
2
a
2 - y
2
b
2 =1的焦距之比为1:❑√2，直线l经过双曲
线的一个焦点和椭圆的一个短轴端点，则l截椭圆和双曲线所得的两条弦的弦长的比值为（ ）
A．2❑√3
21
B．2❑√5
35
C．
❑√15
21
D．
❑√15
35
二、多选题
3．（2026·山东东营·模拟预测）已知斜率为k的直线经过抛物线y
2= 4 x的焦点F，且与抛物线交于A ,B两点．点C是
圆(x -a)
2+( y +2)
2=1（a≥3）上的任意一点，使得△ABC的重心G在x轴上．线段AC与x轴的交点为K．则下列说
法正确的是（ ）
A． k的取值范围为[
4
3 ,4]
B．三角形ABC的面积S是斜率k的函数
C．当AB⊥FC时，a的最大值为6
D．S△AFK
S△ABC
的最小值为4
9
三、填空题
4．（2026·湖南永州·三模）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)，F1(-c ,0)，F2(c ,0)为C的左、右焦点，过F2的直线
交C于A，B两点，△A F1 F2的面积为bc，△AB F1的内切圆与AB相切于点N，若⃗AB =6⃗AN，则C的离心率为
__________．
四、解答题
5．（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
2，过点A(1, 3
2)．
(1)求C的方程；
(2)已知点B(0,❑√3)，过点P(4,0)的直线l交C于E，F两点（E，F在x轴的下方），直线BF交直线x =1于点M．
（ⅰ）设直线ME的斜率为k1，直线MF的斜率为k2，判断k1+k2是否为定值，并说明理由；
（ⅱ）证明：直线ME过定点．
.
