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专题 圆锥曲线二级结论 近三年： 1、圆锥曲线的二级结论是近3 年高考命题中解决小题（选择题、填空题）的利器，以其为核心命制的题 目出现频率高，主要用来提升解题速度、降低计算复杂度，难度覆盖中档及以上。 合理应用二级结论， 能将复杂的代数运算转化为直接的几何关系或公式代入，实现“秒杀”。 2、从近几年高考命题来看，二级结论很少在解答题中作为直接的得分点，但其思想和方法常渗透其中。 命题常通过以下形式考查焦点弦、焦半径、焦点三角形周长、顶角、面积的最值问题，中点弦与第三定 义、焦点三角形的内切圆问题，阿基米德三角形等。 预测2026 年： 圆锥曲线二级结论的应用将继续作为高考小题的重要考查方式。命题将更加注重结论的隐蔽性和应用的灵 活性。其考查可能更加侧重于： 1.结论的识别与转化： 题目条件不会直接套用结论的标准形式，而是需要学生通过观察和分析，识别出题 目背后的二级结论模型。 2.多个结论的交汇： 在同一题目中，可能同时涉及多个二级结论，如焦点弦长与中点弦斜率的结合，切线 性质与焦半径范围的结合等。 3.创新情境下的应用： 在相对新颖的背景下，考查学生能否灵活运用二级结论的推导思想（如点差法、设 而不求）来解决问题，而非死记硬背结论本身。 4.与函数方程思想的结合： 利用二级结论建立等量关系后，进一步求范围、最值，渗透函数与方程思想。 复习中必须在理解其推导过程的基础上进行记忆和应用，切忌只记结论而不明其理，方能做到举一反三， 稳操胜券。 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 深度剖析 解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 逐一剖析 解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 热点限时训练 模拟实战 巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。 1 题型01 焦半径、焦点弦 解｜题｜策｜略 1、椭圆焦半径 设 为椭圆上的一点，F为椭圆的一个焦点，∠PFO=θ 焦半径坐标式 ①焦点在 轴：焦半径 (左加右减)； ② 焦点在 轴：焦半径 (上加下减)． 焦半径角度公式：|PF|= b 2 a−c cosθ 2、双曲线焦半径 设 为双曲线上的一点，F为双曲线的一个焦点，∠PFO =θ ①焦点在 轴： 在左支 ， 在右支 ； ②焦点在 轴： 在下支 ， 在上支 ． 焦半径角度公式：|PF|= b 2 c cosθ±a（P 与F 位于同侧取正，位于异侧取负） 3、抛物线焦半径 设 为抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，∠PFO=θ ①焦点在 轴：焦半径PF = x0 + p 2 ② 焦点在 轴：焦半径PF = y0+ p 2 焦半径角度公式|PF|= p 1+cosθ 2 1．（2025·河北秦皇岛·三模）已知椭圆 ，过 的右焦点的直线交 于 ， 两点， 若存在直线使得 ，则 的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·全国·模拟预测）已知 为双曲线 的右焦点， 是双曲线 上两点 且满足 ， ，则双曲线 的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．（多选）（2025·辽宁沈阳·一模）已知 分别是椭圆 的左、右焦点．点 为短轴的一 个端点，点 是 上的任意一点，则下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 4．(多选)（2025·山东青岛·三模）已知椭圆 的上顶点为 ，左、右焦点分别为 ， ， 为正三角形，过 的直线与 交于 ， 两点，则（ ） A．椭圆 的离心率为 B． 的最大值为3 C． 的取值范围是 3 D．当倾斜角为 时， 的周长为8 5．(多选)（2025·河北·模拟预测）已知点 是抛物线 上的一点，过C 的焦点F 的 两条互相垂直的直线， 分别与C 交于点A，B 和点D，E，其中点A，D 均在x 轴的上方，过点P 分别作 ， 的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（ ） A． B．若 ，则直线的倾斜角为 C． 为定值 D．四边形 的周长的最大值为 题型02 焦点三角形面积 解｜题｜策｜略 1、椭圆面积 椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0) 焦点为F1，F2， P 为椭圆上的点，∠F1PF 2=θ，则 SΔF1PF 2=b 2¿sinθ 1+cosθ=b 2tan θ 2 ，|P F1||P F2|= 2b 2 1+cosθ 2、双曲线的面积 双曲线 x2 a2−y2 b2 =1(a>0 ，b>0) 的焦点为F1、F2， P 为双曲线上的点， ∠F1 P F2=θ ，则 S△F1 P F2=b 2⋅ sinθ 1−cosθ = b 2 tan θ 2 ，|P F1||P F2|= 2b 2 1−cosθ 1．（多选）（2025·浙江·一模）已知 是椭圆 的焦点三角形，椭圆 在点 处的切线 与直线 所成角的大小是 ，则（ ） A． 的周长为 B． 的面积为 4 C．若 是上的动点，则 D．若 是上的动点，则 2．（多选）（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，短 轴长为 ，离心率为 ， 是椭圆 上异于长轴端点 的一动点，点 与点 关于原点对称，则 （ ） A． 的面积最大值为 B． 的最小值为 C．若以 为直径的圆经过 两点，则 点的轨迹方程为 D．椭圆 上存在点 ，使得 3．（多选）（2025·广西柳州·一模）已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，P 为椭圆C 上异 于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ） A． 的周长为6 B． 的最小值为1 C． 面积的最大值为 D．椭圆C 的离心率为 4．（多选）（2025·湖南长沙·二模）已知双曲线 的左右焦点分别为 、 ，过 其右焦点 的直线与它的右支交于 、 两点， 与 轴相交于点 ， 的内切圆与边 相切于点 ，设 ，则下列说法正确的是（ ） A．若 ，则 ； 5 B．记 ，则 的面积 ； C．若 ，过点 且斜率为 的直线与 有2 个交点，则 ； D．若 ，则 的内切圆与 的内切圆的面积之和的最小值为 . 5．（多选）（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知 是椭圆 上一点， 、 为其左、右焦点，且 的面积为，则下列说法正确的是（ ） A． 点纵坐标为 B． 的周长为 C． D． 的内切圆半径为 题型03 垂径定理与第三定义 解｜题｜策｜略 1、椭圆的垂径定理与第三定义 已知直线l与椭圆E: x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)相交于A ，B两点，M 为AB 中点，O 为原点，且 k AB，kOM 存在，则有k AB⋅kOM =−b 2 a 2 =e 2−1 已知A，B 为椭圆E: x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)长轴的端点（或短轴端点），P 是椭圆异于A，B 的点，则 k PA⋅k PB=−b 2 a 2 =e 2−1 2、双曲线的垂径定理与第三定义 已知直线l与双曲线E: x 2 a 2 −y 2 b 2 =1(a>0，b>0)相交于A ，B两点，M 为AB 中点，O 为原点，且 k AB，kOM 存在，则有k AB⋅kOM = b 2 a 2 =e 2−1 如图，已知A，B 为双曲线E: x 2 a 2 −y 2 b 2 =1(a>0，b>0)实轴的端点，P 是双曲线异于A，B 的点，则 k PA⋅k PB=−b 2 a 2 =e 2−1 另外，若A，B 为双曲线渐近线上两点，M 为AB 中点，若斜率都存在同样也有k AB⋅kOM = b 2 a 2 =e 2−1 6 1．（2025·山东枣庄·二模）已知椭圆 ，直线 与 交于 ， 两点， 过点 作与垂直的直线交 于另一点 ，记直线 的斜率为 ，若 ，则 的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江金华·一模）若双曲线 不存在以点 为中点的弦，则该双曲线离 心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·模拟预测）已知椭圆 的焦距为 ， ， ， 是 上三个不同的点， ， 关于坐标原点 对称，且直线 与直线 的斜率之积为 （是 的离心率），则 的方程为 （ ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，斜率为 的直线与椭圆 交于 ， 两点，与 轴、 轴分别交于点 ， ，若 ，则椭圆 的焦距为 . 7 5．（多选）（2025·湖北·三模）已知点 是椭圆 的右焦点，点A，B 分别是椭 圆的左、右顶点，过点F 的直线l 与椭圆交于P，Q 两点，点P 在第一象限，用 ， ， 分别表示直 线 ， ， 的斜率， ，则（ ）． A． B． C． D． 面积的最大值为 题型04 椭圆与双曲线共焦点 解｜题｜策｜略 椭圆与双曲线有相同的焦点F1, F2，P是它们的一个公共点，设∠F1 P F2=θ，椭圆的a1,b1,c ,e1，双 曲线的a2,b2c ,e2 1、由△F1 P F2是椭圆与双曲线的焦点三角形，那么我们可以根据面积公式分别有 S△F1 P F2=b1 2tan θ 2 = b2 2 tan θ 2 ，可以对式子稍作整理有 sin 2 θ 2 e1 2 + cos 2 θ 2 e2 2 =1 2、根据e1 2= c 2 a1 2 = c 2 b1 2+c 2 , e2 2= c 2 a2 2 = c 2 b2 2+c 2，整理有b2 2 e1 2 + b1 2 e2 2 =b1 2+b2 2 1．（2025·浙江嘉兴·一模）已知椭圆 和双曲线 有相同的焦点 是它们的一个公共点，且 ，若 的离心率为 ，则 的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知椭圆Z 和双曲线S 的对称中心均为坐标原点，且有公共焦点，左、右 8 焦点分别为 ， ，Z 与S 在第一象限有交点A，若 ，则S 与Z 的离心率之差的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 3．（多选）（2025·湖北·模拟预测）已知椭圆 ： 与双曲线 ： 有公共的焦点 ， ， .若 为 ， 在第一象限的一个公共点， 和 的离心率分别为 ， ， ，则（ ） A． B． C． D．当 时， 的取值范围是 4．（多选）（2025·贵州遵义·模拟预测）椭圆 的左右焦点分别为 ， ，点 在 上，双曲 线 与椭圆 有相同的焦点，则下列选项正确的是（ ） A．存在点 ，使得 B．若 ，则 C．若 是等腰三角形，则满足条件的 点有4 个 D．若 是椭圆 与双曲线 的交点，且 在第二象限， 交 轴于 点， 平分 ，则双 曲线的离心率为 9 5．（2025·广西·二模）已知椭圆与双曲线有公共焦点， 分别为其左､右焦点，点 为它们在第一象 限的交点，满足 ，椭圆与双曲线的离心率分别为 ，则 的取值范围是 . 题型05 焦点三角形的内切圆与外接圆 解｜题｜策｜略 1、椭圆的焦点三角形内切圆 点P( x0, y0)为椭圆C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)上异于左右顶点的点，F1, F2 为椭圆的左右焦点,设∠F1 P F2＝θ, 重心G(xG, yG),内心I (xI , y I) 结论一、 e =IM IP 结论二、 有 xI =e x0 , yI = e y0 1+e ，则I 的轨迹为椭圆E: x 2 c 2 + (a+c) 2 y 2 b 2c 2 =1(x≠±c , y ≠0) 2、双曲线的焦点三角形内切圆 结论一、双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标恒为a 1．（2025·辽宁·模拟预测）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，P 是 上异于顶点的一 个动点，记 的内切圆圆心为M，则点P 与点M 的横坐标之比为（ ） A． B．2 C． D．3 2．（2025·湖北·模拟预测）设椭圆 的焦点为 是椭圆上的一点，且 ， 若 的外接圆和内切圆的半径分别为 ，当 时，椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江绍兴·三模）已知点 ， 分别为双曲线 的左右焦点，过双曲线C 上一点 10 作 的平分线交x 轴于点B，记 的面积分别为 ，内切圆半径分别为 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 4．（多选）（2025·湖南长沙·一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点 分别为 ，过 的直线与双曲线的右支交于 两点( 在第一象限)， 中点为 ， 的内切圆圆心分别为 ，半径分别为 ，则下列结论正确的是（ ） A． 三点共线 B．直线斜率存在时， C．若 ，则直线的斜率为 D． 的取值范围是 5．（多选）（2025·广东佛山·模拟预测）已知双曲线 的左右焦点为 ，点 为双曲线 右支上一点，存在点 使得 为等腰直角三角形，则下列说法正确的是（ ） A．双曲线 的离心率为 B． 的内心与外心可能重合 C．当 的外接圆的面积取到最小值时， 的面积为 D．设点 是 的内心，则直线 的斜率之比为常数 题型06 双曲线的渐近线 11 解｜题｜策｜略 双曲线渐近线的一些性质： 1、双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 2、以两焦点F1 F2为直径的圆与双曲线的渐近线相交，第一象限的交点坐标(a,b). 3、过双曲线上点P作两渐近线的平行线PA，PB，它们和渐近线围成的平行四边形的面积为 定值ab 2 4、过双曲线上点P作两渐近线的垂线PA，PB，则有|PA||PB|= a 2b 2 a 2+b 2，⃗ PA ∙⃗PB = a 2b 2(b 2−a 2) (a 2+b 2) 2 5、过双曲线上点P作双曲线的切线交两渐近线于A 、B两点，则△AOB为双曲线的渐近三角 形，则P 是AB 的中点，⃗O A ∙⃗OB =a 2−b 2且S△AOB=ab 1．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）双曲线 的左、右焦点分别为 ，左、 右顶点分别为 ，以 为直径的圆与C 的一条渐近线交于M，N 两点，且 ，则（ ） A． B． C．C 的离心率为 D．当 时，四边形 的面积为 2．（2025·江西景德镇·模拟预测）双曲线 ，过点 作 的两条渐近线的平行线，分别与 渐近线相交于A，B 两点，则平行四边形OAPB 的面积是（ ） A． B．1 C． D．2 3．（多选）（2025·河南许昌·模拟预测）已知点P 为双曲线 右支上一点，， 为 的两条渐近线，过点P 分别作 ， ，垂足依次为 ，且 ，过点 作 交 于点 ，过点P 作 交 于点 ， 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A． 的离心率为 B． 12 C． 的面积为 D． 4．（2025·云南·模拟预测）已知 是双曲线 右支上一点，过点 作 的渐近线的 垂线，垂足分别为点 ， ，且点 ， 分别在第一、第四象限.若 为坐标原点，四边形 的面积为 定值，则 的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 5．（2025·甘肃白银·二模）已知双曲线 （ ， ）的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，过 ， 分别作直线AD，BC 垂直于x 轴，分别交E 于A，D，B，C 四点，且四边形ABCD 的面 积为 ．设点 为双曲线C 上任意一点，过点P 的直线 与双曲线C 的两条渐近线 分别交于M，N 两点，记O 为坐标原点，则 OMN 的面积为（ ） A．2 B． C．1 D． 题型07 阿基米德三角形 解｜题｜策｜略 阿基米德三角形指圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。 1、阿基米德焦点三角形性质（弦AB 过焦点F 时） 性质1：MF ⊥AB；MA ⊥MB； 性质2：MN // x轴； 性质3：S△ABM 最小值为p² 2、阿基米德三角形一般性质（弦AB 不经过焦点F 时） 性质1、阿基米德三角形底边上的中线PM 平行于抛物对称轴． 性质2、若阿基米德三角形的底边即弦AB 过定点抛物线内部的定点C (x0, y0)，则点P 的轨迹为直线 y0 y = p(x + x0),记A( x1, y1)，B( x2, y2)，C (x0, y0)，M 为弦AB 的中点，点C 为抛物线内部的定点 半代入得出切线PA，PB 的方程，再得出则x p= y1 y2 2 p , y p= y1+ y2 2 ，则y0 y = p( x + x0) 性质3、若P 点轨迹为直线ax +by +c =0，且该直线与抛物线没有公共点，则定点C( c a ,−bp a ). 设P 点坐标，半代入得出切点弦AB 的直线方程，进而得出定点C 的坐标 性质4、阿基米德三角形的面积的最大值为a 3 8 p. 性质5、∠PFA =∠PFB，PF ² = AF ×BF 13 1．（多选）（2025·山东聊城·一模）设动直线 与抛物线 相交于 ， 两点，分别 过 ， 作 的切线，设两切线相交于点 ，则（ ） A．直线经过一定点 B．抛物线 的焦点为 C．点 到坐标原点的距离不小于 D． 的面积的最小值为 2．（多选）（2025·广东清远·一模）已知抛物线 ，过点 的直线与 交于不同的两点 ，分别以 为切点作 的切线，且两切线相交于点 ，设 为坐标原点，则（ ） A． B．抛物线 的准线与以 为直径的圆相切 C．设 ，则 D．点 位于定直线上 3．（多选）（2025·河北·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，C 是直线 上一点，过点C 作抛 物线的两条切线与抛物线分别切于点A，B，连接AF，BF，设直线AB 与x 轴交于点P，直线CF 与直线 AB 交于点D，（ ） A． B． C． D． 4．（多选）（2025·河北保定·三模）已知抛物线C 的焦点F 到准线的距离是4，经过F 的直线与C 交于 两点，分别记C 在点A，B 处的切线为 ， ，则下列说法 正确的是（ ） A．C 准线方程为 B． C． D．若 ，则 14 5．（多选）（2025·黑龙江·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ， 上不同两点 ， ，以 ， 为切点的切线 ， 相交于点 ， 、 、 三点共线.下列说法正确的有 （ ） A． 最小值为4 B． 的最小值为 C．使得 的直线有两条 D． 题型08 蒙日圆 解｜题｜策｜略 蒙日圆是圆锥曲线的几何性质之一，其核心特征是：圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，切线交点 的轨迹构成一个圆。以下是具体性质和结论： 1、椭圆的蒙日圆：x ² + y ² = a² + b² 2、双曲线的蒙日圆：x ² + y ² = a² − b² 1．（2025·青海西宁·二模）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条 垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆 的蒙日圆是 ，若圆 与椭圆 的蒙日圆有 且仅有一个公共点，则 的值为（ ） A． 或 B． 或 C． D． 2．（2025·湖南·模拟预测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆 的两条相互垂 直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为 .已知椭圆 的焦点在 轴上， 、 为椭圆 上任意两点，动点 在直线 上.若 恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆 离心率的取值范围为 . 3．（多选）（2025·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点 在椭圆 上，点A 和 15 点B 处的椭圆C 的切线相交于点P，延长 分别交圆 于 ， ．设直线 的斜率分别为 ． 到直线 的距离分别为 ，则下列结论正确的有（ ） A．点P 在圆O 上 B． C． D． （建议用时：30 分钟） 1．（2025·全国·模拟预测）已知椭圆 的右焦点为F，过点F 且斜率为1 的直线l 交 C 于A，B 两点，若 ，则C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025·四川德阳·三模）给定椭圆 上有一动点 （不在坐标轴上）， 分别是椭圆的左右焦点， 的内切圆 与 分别切于 两点，则（ ） A．若 ，则椭圆的离心率为 B．动点 的轨迹是一个椭圆 C．直线 的斜率之积为常数 D．内切圆 的面积无最大值也无最小值 3．（2025·广东广州·模拟预测）设椭圆 与双曲线 的离心率分别为 ，双 16 曲线的渐近线的斜率小于 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知 ，从椭圆 外一点 向椭圆引两条切 线，切点分别为 ，则直线 方程为 称为点 关于椭圆 的极线．如图，两个椭圆 、 的方程分别为 和 ，离心率分别为 、 ， 在 内，椭圆 上的任意一点 关于椭圆 的极线为 ．若 到 的距离为定值1，则 取最大值时 的值为 ． 5．（多选）（2025·安徽·模拟预测）已知椭圆 的左、右两个焦点分别是 ， ， 过点 的直线与 交于 两点，则（ ） A．若 的中点在 轴上，则 B． C．若 ，则椭圆的离心率的取值范围是 17 D．若 的最小值为 ，则椭圆的离心率为 6．（2025·四川成都·模拟预测）已知为双曲线 （ ， ）上的任意一点，过分别引其 渐近线的平行线，分别交 轴于点 ， ，交 轴于点 ， ，若 恒成立， 则双曲线离心率的取值范围为 7．（多选）（2025·山东青岛·二模）双曲线 的左右焦点分别为 ，左右顶点分别为 ， 若 是右支上一点（与 点不重合），如图，过点 的直线与双曲线 的左支交于点 ，与其两条渐近 线分别交于 两点，则下列结论中正确的是（ ） A．存在 使得 B．P 到两条渐近线的距离之积为定值 C．当直线运动时，始终有 D．△ 内切圆的圆心的横坐标为 8．（多选）（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知 为坐标原点，椭圆 的长轴长为 4，离心率为 ，过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 两点，连接 并分别延长交 椭圆 于 两点，则下列结论正确的是（ ） 18 A．若 ，则 B．若直线 的斜率分别为 ，则 C．若抛物线 的准线与 轴交于点 ，直线的倾斜角为 ，则 D． 的最小值为 9．（多选）（2025·广西·模拟预测）已知以 为左右焦点的椭圆 的短轴长为 ，点 是椭圆 上的一个动点，且点 到 的最大距离是点 到 的最小距离的3 倍，连接 ，并 延长 与椭圆 相交于点 ，其中说法正确的是（ ） A．椭圆的方程为 B．三角形 的面积的最大值为 C．三角形 的周长为8 D． 10．（多选）（2025·全国·模拟预测）已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 的一条渐近线的方程为 ，且 到的距离为 ，点 为 在第一象限上的点，点 的坐 标为 ， 为 的平分线．则下列正确的是（ ） A．双曲线的方程为 B． C． D．点 到 轴的距离为 19 20
