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第八章直线和圆、圆锥曲线
§8.9 直线与圆锥曲线的位置关系
【考情分析·探规律】
考点
考情分析（2021-2024）
命题趋势
考点1 直线与圆
锥曲线的位置关
系及其应用
2024·全国新Ⅱ卷、2024·北京卷、
2023·天津卷、2023·全国新Ⅱ卷、
2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷、
2021·全国乙卷
了解直线与圆锥曲线位置关
系的判断方法；掌握直线被圆锥
曲线所截的弦长公式；能利用方
程及数形结合思想解决焦点弦、
中点弦问题。
考点2 曲线方程
及曲线轨迹
2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新Ⅱ
卷、2021·浙江卷
【知识梳理】
1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，
相切有一个交点，相离无交点.
(2)判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax＋By＋C＝0 代入圆
锥曲线C 的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by
＋c＝0).
①当a≠0 时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0 时，直线l 与曲线C 相交；Δ
＝0 时，直线l 与曲线C 相切；Δ＜0 时，直线l 与曲线C 相离.
②当a＝0 时，即得到一个一次方程，则l 与C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为
双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴
平行或重合.
2.圆锥曲线的弦长公式
设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝
或
|AB|＝|y1－y2|＝，k 为直线斜率且k≠0.
3.中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.
(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入椭圆的方程，消元后得到一个一元二次方程，
利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论.
(2)点差法：若直线l 与椭圆C 有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，
y2)，AB 中点M(x0，y0)，直线AB 的斜率k，将点A，B 代入圆锥曲线的方程，两式相减，
整理得(分别以＋＝1，－＝1，y2＝2px 为【典例】)，椭圆中k＝－·；双曲线中k＝· ；
抛物线中k＝.
【名师点拨】
1.圆锥曲线中最短的焦点弦为通径，椭圆、双曲线中长为，抛物线中长为2p.
2.过原点的直线交椭圆于A，B 两点，P 是椭圆上异于A，B 的任一点，则kPA·kPB＝－；
同理，双曲线中kPA·kPB＝(以上焦点在x 轴上).
3.若点P(x0，y0)在椭圆上，过点P 的切线方程为＋＝1；同理，双曲线中为－＝1(以上
焦点在x 轴上).
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线与圆锥曲线的三种位置关系：相离、相切、相交.( )
(2)直线y＝x 与椭圆＋y2＝1 一定相交.( )
(3)“直线l 与双曲线C 相切”的充要条件是“直线l 与双曲线C 只有一个公共点”.(
)
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )
2.若直线y＝kx＋2 与椭圆x
2
3 ＋y
2
2 ＝1 有且只有一个交点，则k 的值是( )
A.
❑√6
3
B.－
❑√6
3
C.±
❑√6
3
D.±
❑√3
3
3.已知直线l：y＝x－1 与抛物线y2＝4x 交于A，B 两点，则线段AB 的长是( )
A.2
B.4
C.8
D.16
4.已知点A，B 是双曲线C：x
2
2 －y
2
3 ＝1 上的两点，线段AB 的中点是M(3，2)，则直
线AB 的斜率为( )
A.2
3
B.3
2
C.4
9
D.9
4
【必练核心题型】
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
【典例】1.已知直线l 的方程为mx＋y＋2m＝1，椭圆C 的方程为x
2
9 ＋y
2
4 ＝1，则直
线l 与椭圆C 的位置关系为( )
A.相离
B.相交
C.相切
D.不能确定
【典例】2.已知双曲线C：x
2
9 －y
2
16＝1，过点P(3，3)作直线l，使l 与C 有且只有一
个公共点，则满足条件的直线l 共有( )
A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.4 条
【变式训练】
变式1.已知抛物线C：x2＝y，点M(m，1)，则“m>1”是“过M 且与C 仅有一个公
共点的直线有3 条”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
变式2.直线kx－y＋1＝0(k∈R)与椭圆x
2
4 ＋y
2
m ＝1 恒有公共点，则实数m 的取值范
围为( )
A.(1，4]
B.[1，4)
C.[1，4)∪(4，＋∞)
D.(4，＋∞)
题型二 弦长问题
【典例】1.经过椭圆x
2
2 ＋y2＝1 的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l 与椭圆相
交于A，B 两点，则线段AB 的长度为( )
A.4
7
B.8 ❑√2
7
C.2
D.16 ❑√2
7
【典例】2.已知F 是双曲线C：x2－y
2
3 ＝1 的左焦点，过点F 的直线与C 交于A，B
两点(点A，B 在C 的同一支上)，且|BF|＝2|AF|，则|AB|等于( )
A.6
B.8
C.13
2
D.27
4
【拓展训练】
圆锥曲线弦长的万能公式(硬解定理)
设直线方程为y＝kx＋b(k≠0)，圆锥曲线的方程为f(x，y)＝0，把直线方程代入曲线方程，
可化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)或ay2＋by＋c＝0(a≠0)，设直线和曲线的两个交点分别为A(x1，
y1)，B(x2，y2).
(1)若消去y，则弦长公式为|AB|＝❑√1＋k
2·|x1－x2|＝❑√1＋k
2·❑√( x1＋x2)
2−4 x1 x2
＝❑√1＋k
2·❑√(−b
a)
2
−4 c
a ＝
❑√1＋k
2·
❑√Δ
|a| .
(2)若消去x，则弦长公式为|AB|＝❑√
1＋1
k
2·|y1－y2|＝❑√
1＋1
k
2·❑√( y1＋y2)
2−4 y1 y2
＝❑√
1＋1
k
2·❑√(−b
a)
2
−4 c
a ＝❑√
1＋1
k
2·
❑√Δ
|a| .
【典例】 已知双曲线C：2x2－y2＝2，直线l：x－y＋1＝0 与双曲线C 交于M，N 两点，
则弦长|MN|等于( )
A.4 ❑√2
3
B.3 ❑√3
4
C.4❑√3
D.4❑√2
【变式训练】
变式1.已知双曲线C：y
2
3 －x2＝1 的下焦点和上焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m 与
C 交于A，B 两点，若△F2AB 面积是△F1AB 面积的4 倍，则m 等于( )
A.3
B.－3
C.10
3
D.－10
3
变式2.已知椭圆C：x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的离心率为1
2，过C 的左焦点且斜率为1 的
直线与C 交于A，B 两点.若|AB|＝12，则C 的焦距为 .
题型三 中点弦问题
【典例】1.已知直线l 交抛物线C：x2＝－18y 于M，N 两点，且MN 的中点为(3，－
2)，则直线l 的斜率为( )
A.－3
B.－1
6
C.1
9
D.－1
3
【典例】2.已知直线l：x－y＋3＝0 与双曲线C：x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)交于A，B
两点，点P(1，4)是弦AB 的中点，则双曲线C 的渐近线方程是( )
A.y＝±1
4 x
B.y＝±2x
C.y＝±1
2x
D.y＝±4x
【变式训练】
变式1.已知椭圆E：x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F 的直线交椭圆E
于A，B 两点，若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为( )
A. x
2
18 ＋y
2
9 ＝1
B. x
2
27 ＋y
2
18＝1
C. x
2
36 ＋y
2
27＝1
D. x
2
45 ＋y
2
36＝1
变式2.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C 上存在关
于直线l：x－y－2＝0 对称的不同的两点P 和Q，则线段PQ 的中点坐标为( )
A.(1，－1)
B.(2，0)
C.(
1
2 ，−3
2)
D.(1，1)
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.直线y＝kx－k 与椭圆x
2
9 ＋y
2
4 ＝1 的位置关系为( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
2.已知直线2x＋y－2＝0 与抛物线C：y2＝4x 交于A，B 两点，则|AB|等于( )
A.❑√5
B.5
C.3❑√5
D.4❑√5
3.若直线l：y＝kx＋2 与曲线C：x2－y2＝6(x>0)交于不同的两点，则k 的取值范围是(
)
A.(−
❑√15
3
，
❑√15
3 )
B.(0，
❑√15
3 )
C.(−
❑√15
3
，0)
D.(−
❑√15
3
，−1)
4.已知双曲线C 的方程为5x2－y2＝1，过点P(0，－1)作直线l 与双曲线左、右两支交于
点M，N.若⃗MP＝2⃗PN，则直线l 的方程为( )
A.y＝1
5x－1
B.y＝1
5x－1 或y＝－1
5x－1
C.y＝x－1 或y＝－x－1
D.y＝x－1
5.(2025·张掖模拟)已知倾斜角为π
4 的直线l 与椭圆C：x
2
4 ＋y2＝1 交于A，B 两点，P 为
AB 的中点，O 为坐标原点，则直线OP 的斜率为( )
A.－1
B.－1
2
C.－1
3
D.－1
4
6.经过抛物线C：y2＝8x 的焦点F 的直线交C 于A，B 两点，与抛物线C 的准线交于点
P，若|AF|，|AP|，|BF|成等差数列，则|AB|等于( )
A.4❑√3
B.4❑√6
C.16
3
D.32
3
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7. 平面直角坐标系中椭圆C 的中心为原点，焦点在坐标轴上，点(1，
❑√3
2 )，
(
❑√3，1
2)均在椭圆C 上，则( )
A.椭圆C 的离心率为1
2
B.直线l：kx＋y－k＝0 与椭圆C 相交
C.椭圆C 的短轴长为2
D.若椭圆C 上弦AB 的中点坐标为(1，1
2)，则直线AB 的斜率为－1
2
8.已知抛物线C：y＝4x2的焦点为F，A，B 为C 上的两点，过A，B 作C 的两条切线交
于点P，设两条切线的斜率分别为k1，k2，直线AB 的斜率为k3，则( )
A.C 的准线方程为y＝－1
B.k1，k3，k2成等差数列
C.若P 在C 的准线上，则k1k2＝－1
D.若P 在C 的准线上，则|AF|＋4|BF|的最小值为9
16
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.已知双曲线x
2
4 －y2＝1，则过(3，0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为
.
10.已知抛物线C：y2＝4x 的焦点为F，A，B 为C 上的两点.若直线FA 的斜率为1
2，且⃗
FA·⃗FB＝0，延长AF，BF 分别交C 于P，Q 两点，则四边形ABPQ 的面积为
.
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)已知双曲线C：x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)，焦点为F1，F2，其中一条渐近线的
倾斜角为30°，点M 在双曲线上，且||MF1|－|MF2||＝2❑√3.
(1)求双曲线C 的标准方程；(4 分)
(2)直线l：y＝x＋m 交C 于A，B 两点，若△AOB 的面积为❑√6(O 为坐标原点)，求正实
数m 的值.(9 分)
12.(15 分)(2025·八省联考)已知椭圆C 的离心率为1
2,左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0).
(1)求C 的方程;(2 分)
(2)已知点M0(1,4),证明:线段F1M0的垂直平分线与C 恰有一个公共点;(4 分)
(3)设M 是坐标平面上的动点,且线段F1M 的垂直平分线与C 恰有一个公共点,证明M 的
轨迹为圆,并求该圆的方程.(9 分)
【尖子拔高训练】每小题5 分，共10 分
13.已知双曲线x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)，过实轴所在直线上任意一点N(t，0)的弦的端点
A，B 与点G(m，0)的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠NGA＝∠NGB，则m
的值为( )
A.a
2
t
B. t
a
2
C.t2
D. a
t
2
14.阿基米德在《抛物线求积法》一书中描述了如何求解抛物线与直线围成的弓形的面
积的方法：如图，若抛物线C 与直线l 交于A，B 两点，要求弓形部分面积，先构造直
线l'∥l，l'与抛物线相切于点P，得到一级△PAB；用同样的方法在切点P 两旁得到两
个二级△DPA，△EPB；再用同样的方法在切点D，E 两旁得到四个三级三角形……依
次下去，通过证明知道每个新构建的三角形的面积都是上一级三角形面积的1
8，那么
求出△PAB 的面积就可以得出弓形面积.若已知抛物线C：y2＝4x，直线l：x－y－1＝
0，则抛物线C 与直线l 围成的弓形面积为( )
A.4❑√2
B.8❑√2
C.16 ❑√2
3
D.16❑√2
