第 18 讲 圆锥曲线中的极点极线问题（高阶拓展）
（核心考点精讲精练）
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-12分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线极点极线的定义
2.理解、掌握圆锥曲线的极点极线问题及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，
需强化训练复习
知识讲解
1. 极点极线的定义
如图,
设 P 是不在圆雉曲线上的一点, 过 P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点 E,F,G,H, 连接 EH,FG
交于 N, 连接 EG,FH交于 M, 则直线 MN 为点 P 对应的极线. 若 P 为圆雉曲线上的点, 则过 P
点的切线即为极线.同理, PM 为点 N 对应的极线, PN 为点 M 所对应的极线. 因而将 △MNP 称为自极三点形. 设直线
MN 交圆锥曲线于点 A,B 两点, 则 PA, PB 恰为圆锥曲线的两条切线.
2. 其他定义
对于圆锥曲线 C:Ax2+Bxy+C y2+Dx+Ey+F=0, 已知点 P(x ,y ) (非中心) 及直线
0 0
x y+ y x x+x y + y
l:Ax x+ B⋅ 0 0 +C y y+D⋅ 0+E⋅ 0 +F=0, 则称点 P(x ,y ) 是直线 l 关于圆
0 2 0 2 2 0 0
锥曲线 C 的极点, 直线 l称为点 P 关于圆锥曲线 C 的极线。
配极原则: 共线点的极线必共点, 共点线的极点必共点。
3. 替换原则
x y+ y x x+x y+ y
x x→x2, 0 0 →xy,y y→y2, 0→x, 0→y.
0 2 0 2 2
4. 极点极线的几何意义 (以椭圆为例)
x2 y2 x x y y
已知椭圆方程: + =1, 设点 P(x ,y ) 的极线 l: 0 + 0 =1.
a2 b2 0 0 a2 b2
(1) 当点 P(x ,y ) 在椭圆上时, 极线 l 是以点 P 为切点的切线。(极点在极线上)
0 0
(2) 当点 P 在椭圆外时, 极线 l 与椭圆相交, 且为由 P 点向椭圆所引切线的切点弦所在直线。
(3) 当点 P 在椭圆内时, 极线 l 与椭圆相离, 极线 l 为经过点 P 的弦在两端点处的切线交点的轨迹, 且
极线 l 与以点 P 为中点的弦所在的直线平行。特别地:
x2 y2 x x y y
(1) 对于椭圆 + =1, 与点 P(x ,y ) 对应的极线方程为 0 + 0 =1;
a2 b2 0 0 a2 b2
x2 y2 x x y y
(2) 对于双曲线 − =1, 与点 P(x ,y ) 对应的极线方程为 0 − 0 =1;
a2 b2 0 0 a2 b2
(3) 对于抛物线 y2=2px, 与点 P(x ,y ) 对应的极线方程为 y y=p(x +x)
0 0 0 0
考点一、 极点极线在圆锥曲线中的应用
1．（2023·全国·高三专题练习）阅读材料：
（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G： ，则称点P( ， )和直线
l： 是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，
以 替换 ，以 替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P( ， )对应的极线方程.特别地，对
于椭圆 ，与点P( ， )对应的极线方程为 ；对于双曲线 ，与点P( ，
)对应的极线方程为 ；对于抛物线 ，与点P( ， )对应的极线方程为
.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题：
(1)已知椭圆C： 经过点P(4，0)，离心率是 ，求椭圆C的方程并写出与点P对应的
极线方程；
(2)已知Q是直线l： 上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当 时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ，
(2)存在，
【分析】(1)根据题意和离心率求出a、b，即可求解；
(2)利用代数法证明点Q在椭圆C外，则点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.
根据题意中的概念求出点Q对应的极线MN方程，可得该直线恒过定点T（2,1），利用点差法求出直线的
斜率，即可求解.
【详解】（1）因为椭圆 过点P(4,0)，
则 ，得 ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以椭圆C的方程为 .
根据阅读材料，与点P对应的极线方程为 ，即 ；
（2）由题意，设点Q的坐标为( , )，
因为点Q在直线 上运动，所以 ，
联立 ，得 ，
，该方程无实数根，
所以直线 与椭圆C相离，即点Q在椭圆C外，
又QM，QN都与椭圆C相切，
所以点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.
对于椭圆 ，与点Q( , )对应的极线方程为 ，
将 代入 ，整理得 ，
又因为定点T的坐标与 的取值无关，所以 ，解得 ，
所以存在定点T(2,1)恒在直线MN上.
当 时，T是线段MN的中点，
设 ，直线MN的斜率为 ，
则 ，两式相减，整理得 ，即 ，
所以当 时，直线MN的方程为 ，即 .
2．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
．证明：直线HN过定点．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；
（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.
【详解】（1）解：设椭圆E的方程为 ，过 ，
则 ，解得 ， ，
所以椭圆E的方程为： .
（2） ，所以 ，
①若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ，
可得 ， ，代入AB方程 ，可得，由 得到 .求得HN方程：
，过点 .
②若过点 的直线斜率存在，设 .
联立 得 ，
可得 ， ，
且
联立 可得
可求得此时 ，
将 ，代入整理得 ，
将 代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
3．（北京·高考真题）已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 和点
都在椭圆 上，直线 交 轴于点 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程，并求点 的坐标（用 ， 表示）；
（Ⅱ）设 为原点，点 与点 关于 轴对称，直线 交 轴于点 ．问： 轴上是否存在点 ，使得
？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ）存在点 ．
【详解】（Ⅰ）由于椭圆 ： 过点 且离心率为 ，， ，椭圆 的方程为 .
,直线 的方程为： ，令 ， ；
（Ⅱ） ，直线 的方程为： ，直线PB与x轴交于点N，令 ，
则 .
设
, ,
,
则 ，所以 ，（注：点 在椭圆 上， ），
则 ，存在点 使得 .
考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题.
4．（全国·高考真题）设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为
.
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： .
【答案】（1） 的方程为 或 ；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据 与 轴垂直，且过点 ，求得直线 的方程为 ，代入椭圆方程求得点 的坐
标为 或 ，利用两点式求得直线 的方程；
（2）方法一：分直线 与 轴重合、 与 轴垂直、 与 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较
简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.
【详解】（1）由已知得 ， 的方程为 .
由已知可得，点 的坐标为 或 .所以 的方程为 或 .
（2）［方法一］：【通性通法】分类＋常规联立
当 与 轴重合时， .
当 与 轴垂直时， 为 的垂直平分线，所以 .
当 与 轴不重合也不垂直时，设 的方程为 ， ，
则 ，直线 、 的斜率之和为 .
由 得 .
将 代入 得 .
所以， .
则 .
从而 ，故 、 的倾斜角互补，所以 .
综上， .
［方法二］：角平分线定义的应用
当直线l与x轴重合或垂直时，显然有 ．当直线l与x轴不垂直也不重合时，设直线l的方
程为 ，交椭圆于 ， ．
由 得 ．
由韦达定理得 ．
点A关于x轴的对称点 ，则直线 的方程为 ．
令 ， ，则直线 过点
M， ．
［方法三］：直线参数方程的应用
设直线l的参数方程为 （t为参数）．（*）将（*）式代入椭圆方程 中，整理得 ．
则 ， ．
又 ，则
，
即 ．所以 ．
［方法四］：【最优解】椭圆第二定义的应用
当直线l与x轴重合时， ．
当直线l与x轴不重合时，如图，过点A，B分别作准线 的垂线，垂足分别为C，D，则有
轴．
由椭圆的第二定义，有 ， ，得 ，即 ．
由 轴，有 ，即 ，于是 ，且 ．
可得 ，即有 ．
［方法五］：角平分线定理逆定理＋极坐标方程的应用
椭圆 以右焦点为极点，x轴正方向为极轴，得 .
设 ．
．
所以 ， ．
由角平分线定理的逆定理可知，命题得证．
［方法六］：角平分线定理的逆定理的应用
设点O（也可选点F）到直线 的距离分别为 ，根据角平分线定理的逆定理，要证，只需证 ．
当直线l的斜率为0时，易得 ．
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为： ．由方程组 得
恒成立， ． ．
直线 的方程为： ．
因为点A在直线l上，所以 ，故 ．
同理， ． ．
因为 ，所以 ，即 ．
综上， ．
［方法七］：【通性通法】分类＋常规联立
当直线l与x轴重合或垂直时，显然有 ．
当直线l与x轴不垂直也不重合时，设直线l的方程为 ，交椭圆于 ， ．
由 得 ．
由韦达定理得 ．
所以 ，
故 、 的倾斜角互补，所以 .
［方法八］：定比点差法
设 ， ，
所以 ，由 作差可得， ，所以，
，又 ，所以， ，
故 ， 、 的倾斜角互补，所以 .
当 时， 与 轴垂直， 为 的垂直平分线，所以 .
故 ．
【整体点评】（2）方法一：通过分类以及常规联立，把角相等转化为斜率和为零，再通过韦达定理即可
实现，是解决该类问题的通性通法；
方法二：根据角平分线的定义可知，利用点 关于 轴的对称点 在直线 上，证直线 过点 即可；
方法三：利用直线的参数方程证明斜率互为相反数；
方法四：根据点M是椭圆的右准线 与x轴的交点，用椭圆的第二定义结合平面几何知识证明，运算量
极小，是该题的最优解；
方法五：利用椭圆的极坐标方程以及角平分线定理的逆定理的应用，也是不错的方法选择；
方法六：类比方法五，角平分线定理的逆定理的应用；
方法七：常规联立，同方法一，只是设直线的方程形式不一样；
方法八：定比点差法的应用．
5．（全国·统考高考真题）已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，
，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【答案】（1） ；（2）证明详见解析.
【分析】（1）由已知可得： ， ， ，即可求得 ，结合已知即可求得：
，问题得解.
（2）方法一：设 ，可得直线 的方程为： ，联立直线 的方程与椭圆方程即可求
得点 的坐标为 ，同理可得点 的坐标为 ，当 时，可表示出
直线 的方程，整理直线 的方程可得： 即可知直线过定点 ，当 时，直线 ： ，直线过点 ，命题得证.
【详解】（1）依据题意作出如下图象：
由椭圆方程 可得： ， ，
，
，
椭圆方程为：
（2）[方法一]：设而求点法
证明：设 ，
则直线 的方程为： ，即：
联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得：
，解得： 或
将 代入直线 可得：
所以点 的坐标为 .
同理可得：点 的坐标为
当 时，
直线 的方程为： ，整理可得：
整理得：
所以直线 过定点 ．
当 时，直线 ： ，直线过点 ．
故直线CD过定点 ．
[方法二]【最优解】：数形结合
设 ，则直线 的方程为 ，即 ．
同理，可求直线 的方程为 ．
则经过直线 和直线 的方程可写为 ．
可化为 ．④
易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有 ，代入④式可
得 ．
故 ，可得 或 ．
其中 表示直线 ，则 表示直线 ．
令 ，得 ，即直线 恒过点 ．
【整体点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，
属于难题.
第二问的方法一最直接，但对运算能力要求严格；方法二曲线系的应用更多的体现了几何与代数结合的思
想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.
1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C： ＝1(a>b>0)经过点A ，其长半轴长为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点B(-1，0)的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于x轴的对称点为F，直线DF与x轴相交于点G，记△BEG与△BDG的面积分别为S，S，求 的最大值.
1 2
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）按照题目所给的条件，可以直接算出结果；
（2）将直线方程设为横截式，用水平底铅锤高表达面积，将其表示为关于 的函数，利用对勾函数求其
最值.
(1)
由已知的a=2，假设椭圆的方程为 ，将点 代入椭圆方程，得b=1，
∴椭圆方程为 .
(2)
作图如下：
设过点B的直线方程为 （依题意 ，并且存在），点 ， ，则 ；
联立方程 ；解得： ， …①
…②，
直线FD的方程为： ，令y=0解得： ，将①②并 ，
代入，解得x=-4，即点 ；， ， ， ，
由于点D与点E必然在x轴的两边， 与 异号，
∴ = ，
，当且仅当m= 2时，取得最大值 .
2．（2023秋·浙江衢州·高二浙江省龙游中学校联考期末）已知椭圆 ： 的长轴长为
4，离心率为 ，其左、右顶点分别为A、B，右焦点为F.
(1)求椭圆 的方程；
(2)如图，过右焦点F作不与x轴重合的直线交椭圆于C、D两点，直线AD和BC相交于点M，求证：点M
在定直线 上；
(3)若直线AC与（2）中的定直线 相交于点N，在x轴上是否存在点P，使得 .若存在，求出点
P坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在点 或 满足题意.
【分析】（1）根据椭圆的几何性质列式求出 可得结果；
（2）设直线 方程为 ， 、 ，代入 ，得到 和 ，写出直线
和 的方程，利用 和 求出点 的横坐标，根据点 的横坐标为定值可得点M在定直线
上；（3）假设存在点 满足题意，求出 的坐标，根据 求出 即可得解.
【详解】（1）由题可知 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）由题可知 ， ， ，且直线 的斜率不为0，
设直线 方程为 ， 、 ，
由 消去 得 ，
恒成立，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
所以直线 方程为 ，直线 方程为 ，
联立 ，消去 得 ，
得 ，
得 ，
得
，
所以点 的横坐标为定值 ，
所以点M在定直线 ： 上.
（3）假设存在点 满足题意，
直线 的方程为 ，由（2）可知点 ， ，
则
，
解得 或 ，
所以存在点 或 满足题意.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ，A，B分
别为椭圆E的左，右顶点，P为直线 上的动点（不在x轴上）， 与椭圆E的另一交点为C， 与
椭圆E的另一交点为D，记直线 与 的斜率分别为 ， ．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）证明：直线 过一个定点，并求出此定点的坐标．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）证明见解析，定点坐标 .
【分析】（Ⅰ）根据离心率以及点 列出 满足的方程，结合 求解出 的值，则椭圆
方程可求；
（Ⅱ）设出 点坐标，根据斜率的定义分别表示出 ，由此求解出 的值；
（Ⅲ）写出 的直线方程，分别与椭圆方程联立然后求解出 点的坐标，根据 点的坐标写出直线 的方程，并求解出所过的定点坐标.
【详解】（1）由条件可知： 且 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 ；
（2）因为 ，设 ，
所以 ，所以 ；
（3）设 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以
，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以
，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以直线 过定点 .
【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点问题的策略：
（1）参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目
中核心变量（通常为变量 ）；②利用条件找到 与过定点的曲线 之间的关系，得到关于 与
的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左焦点为 ，且过点
.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知 分别为椭圆 的左、右顶点， 为直线 上任意一点，直线 分别交椭圆 于不
同的两点 .求证：直线 恒过定点，并求出定点坐标.
【答案】（1） ；（2）证明见解析，定点为 .
【解析】（1）利用椭圆定义先求解出 的值，然后根据 求解出 的值，则椭圆方程可求；
（2）设出 点坐标，再分别联立直线 与椭圆方程从而得到 的坐标，由此确定出直线 的
方程，分析直线 的方程完成证明并求解出定点坐标.
【详解】（1）椭圆的一个焦点 ，则另一个焦点为 ，
由椭圆的定义知: ，所以 ，解得 .
又 ， 所以椭圆 的标准方程为 .
（2）设 ，
则直线 ，与 联立可得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又直线 ，与 联立可得 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以
所以直线 的斜率为 =
所以直线
所以直线 恒过定点，且定点坐标为 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中过定点问题的两种求解方法：
（1）若设直线方程为 或 ，则只需要将已知条件通过坐标运算转化为 之间的线性关
系，再用 替换 或用 替换 代入直线方程，则定点坐标可求；
（2）若不假设直线的方程，则需要将直线所对应线段的两个端点的坐标表示出来，然后选择合适的直线
方程形式表示出直线方程，由此确定出定点坐标.
5．（2023·全国·高三专题练习）椭圆有两个顶点 过其焦点 的直线 与椭圆交于 两
点，并与 轴交于点 ，直线 与 交于点 ．
（1）当 时，求直线 的方程；
（2）当 点异于 两点时，证明： 为定值．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】（1）先由题意求出椭圆方程，直线 不与两坐标轴垂直，设 的方程为 ，
然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去 ，利用根与系数的关系，再由弦长公式列方程可求出 的
值，从而可得直线方程；
（2）表示直线 ， 的方程，联立方程组可得 而 代入化简可得 ，而 ，则可得 的结果
【详解】（1）由题意，椭圆的方程为
易得直线 不与两坐标轴垂直，
故可设 的方程为 ，设 ，
由 消去 整理得 ，判别式
由韦达定理得 ，①
故 ，解得 ，
即直线 的方程为 ．
（2）证明：直线 的斜率为 ，故其方程为 ，
直线 的斜率为 ，故其方程为 ，
由 两式相除得
即
由（1）知 ，
故
解得 ．易得 ，
故 ，
所以 为定值1【能力提升】
1．（2023·全国·高三专题练习）椭圆方程 ，平面上有一点 ．定义直线方程
是椭圆 在点 处的极线．已知椭圆方程 ．
(1)若 在椭圆 上，求椭圆 在点 处的极线方程；
(2)若 在椭圆 上，证明：椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线；
(3)若过点 分别作椭圆 的两条切线和一条割线，切点为 ， ，割线交椭圆 于 ， 两点，过
点 ， 分别作椭圆 的两条切线，且相交于点 ．证明： ， ， 三点共线．
【答案】(1) 或 ；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）将 代入椭圆方程计算得点 的坐标，再写出极线方程即可；
（2）写出点 处的极线方程，先讨论 的情况，可得 处的极线就是过点 的切线；再讨论 的
情况，将椭圆方程与极线方程联立，消元得关于 的一元二次方程，计算得判别式 ，即可证明；
（3）分别写出过点 ，N的切线方程，从而可得割线 的方程，再写出切点弦 的方程，根据割线
过点 ，代入割线方程计算，从而可得 ， ， 三点共线.
【详解】（1）由题意知，当 时， ，所以 或 ．
由定义可知椭圆 在点 处的极线方程为 ，
所以椭圆 在点 处的极线方程为 ，即
点 处的极线方程为 ，即
（2）因为 在椭圆 上，所以 ，
由定义可知椭圆 在点 处的极线方程为 ，
当 时， ，此时极线方程为 ，所以 处的极线就是过点 的切线．当 时，极线方程为 ．
联立 ，得 ．
．
综上所述，椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线；
（3）设点 ， ， ，
由（2）可知，过点 的切线方程为 ，
过点N的切线方程为 ．
因为 ， 都过点 ，所以有 ，
则割线 的方程为 ；
同理可得过点 的两条切线的切点弦 的方程为 ．
又因为割线 过点 ，代入割线方程得 ．
所以 ， ， 三点共线，都在直线 上．
【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 （或 ）建立一元二
次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
2．（2022·全国·高三专题练习）极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特征.对于圆
，与点 对应的极线方程为 ，我们还知道如果点 在圆上，极线方程即
为切线方程；如果点 在圆外，极线方程即为切点弦所在直线方程.同样，对于椭圆 ，与点
对应的极线方程为 .如上图，已知椭圆C： ， ，过点P作椭圆C的
两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 ；直线AB与OP交于点M，则
的最小值是 .【答案】 （或 ）； .
【分析】（1）根据已知直接写出直线AB的方程；
（2）求出 ，再求出 ,利用基本不等式求解.
【详解】解：（1）由题得AB： ，即 ，
（2） ， ，∴ 的方向向量 ，
所以
，
即 .
故答案为： ； .
3．（2023·全国·高三练习）已知双曲线 ： （ ， ）实轴端点分别为 ，
，右焦点为 ，离心率为2，过 点且斜率1的直线 与双曲线 交于另一点 ，已知 的面
积为 ．
(1)求双曲线的方程；(2)若过 的直线 与双曲线 交于 ， 两点，试探究直线 与直线 的交点 是否在某条定直线
上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)在定直线方程 上
【分析】（1）联立直线方程与双曲线方程，可得点 ，进而根据三角形面积公式即可求出 的值；
（2）分直线斜率 和不存在两种情况讨论，求出两直线交点，代入化简即可求解.
【详解】（1）设直线 的方程为 ，联立 ，得 ，
又 ， ，代入上式得 ，即 ，
∴ ，解得 ，∴ ， ，∴双曲线的方程为 ．
（2）当直线 点的斜率不存在时， ， ，直线 的方程为 ，直线 的方程为
，联立直线 与直线 的方程可得的 ，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 得 ，∴ ， ，
∴直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立直线 与直线 的方程可得：
，两边平方得 ，
又 ， 满足 ，
∴
，∴ ，∴ ，或 ，（舍去）
综上， 在定直线上，且定直线方程为 ．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 、 分别为椭圆 : 的上、下焦点，其中 也
是抛物线 的焦点，点 是 与 在第二象限的交点，且 .
（1）求椭圆 的方程;
（2）已知点 和圆 : ，过点 的动直线 与圆 相交于不同的两点 ，在线段 上取一
点 ，满足: ， ，( 且 ).求证:点 总在某定直线上.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）设 ，由已知得 ，可求得点M的坐标，代入椭圆的方程中可求得 ，
可得椭圆 的方程；
（2）由向量的坐标运算和向量相等的条件，以及点在圆上可得出点Q所在的直线.
【详解】（1）设 ，因为点M在抛物线 上，且 ，所以 ，解得 ，
又点M在抛物线 上，所以 ，且 ，即 ，解得 ，
所以椭圆 的方程 ；
（2）设 ， ，因为 ，所以 ，即有，
又 ，所以 ，即有 ，
所以 得： ，
又点A、B在圆 上，所以 ，又 ，所以 ，
故点Q总在直线 上.
【点睛】本题考查椭圆和抛物线的简单几何性质，以及直线与圆的交点问题，属于较难题.
5．（2022秋·福建泉州·高三统考期末）曲线 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别
为 ，C上的点M(不在x轴上)满足 ，且直线 的斜率之积等于 ．
(1)求C的方程；
(2)过点 的直线l交C于A，B两点，若 ，其中 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由椭圆定义可得到 ，再利用斜率公式及直线 的斜率之积等于 ，列出方程，
化简对比系数可得；
（2）分直线l的斜率为0和不为0两种情况讨论，利用 可得到T在定直线上，且该直
线是 的中垂线即可得到证明.
【详解】（1）因为C上的点M满足 ，
所以C表示焦点在x轴上的椭圆，且 ，即 ， ，
所以 ，设 ，则 ，①
所以直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
由已知得 ，
即 ，②
由①②得 ，
所以C的方程为
（2）当直线l的斜率为0时，A与 重合，B与 重合， ， ，
成立.
当直线l的斜率不为0时，设l的方程为
联立方程组 ，消x整理得
所以 ，解得 或
设 ，则 ，
由 ，得 ，所以
设 ，由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
所以点T在直线 上，且 ，
所以 是等腰三角形，且 ，
所以 ，
综上，【点睛】关键点点晴：本题第二问突破点是证明T在定直线 上，且该直线是 的垂直平分线，从而
得到 ，考查学生的数学运算能力，转化化归思想.
6．（2023秋·北京·高三中关村中学校考开学考试）已知椭圆M： （a＞b＞0）过A（－2，0），
B（0，1）两点．
（1）求椭圆M的离心率；
（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点
Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】（1）由已知两点坐标得 ，求得 后可得离心率；
（2）直线 方程为 ，设 （ ， ）， ， ．由 三
点共线求得 点坐标（用 点坐标表示），由 共线求得 点坐标（用 点坐标表示），写出直线
的方程，把 代入化简对方程变形可得定点坐标．
【详解】解：（1）因为点 ， 都在椭圆 上，
所以 ， ．
所以 ．
所以椭圆 的离心率 ．
（2）由（1）知椭圆 的方程为 ， ．
由题意知：直线 的方程为 ．
设 （ ， ）， ， ．
因为 三点共线，所以有 ， ，
所以 ．所以 ．
所以 ．
因为 三点共线，
所以 ，即 ．
所以 ．
所以直线 的方程为 ，
即 ．
又因为点 在椭圆 上，所以 ．
所以直线 的方程为 ．
所以直线 过定点 ．
【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，考查椭圆的直线过定点问题，解题方法是设椭圆上的点
坐标 ，利用三点共线变为向量平行，求得直线交点 的坐标，得出直线 方程，再由 在椭圆
上，代入化简凑配出定点坐标．
7．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，如图，已知 的左、右顶点为 、 ，
右焦点为 ，设过点 的直线 、 与椭圆分别交于点 、 ，其中 ， ，
．
（1）设动点 满足 ，求点 的轨迹；
（2）设 ， ，求点 的坐标；
（3）设 ，求证：直线 必过 轴上的一定点（其坐标与 无关）．【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析．
【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得 、 、 的坐标,设动点 ，根据条件 ，结
合两点间距离公式,化简即可得解；
（2）根据 ， 代入椭圆方程即可求得 、 的坐标，进而求得直线 与直线 的方程，联
立两条直线方程即可求得交点 的坐标；
（3）设出直线 与直线 的方程，分别联立椭圆方程即可表示出 、 的坐标，讨论 与
，并分别求得 的值，即可求得所过定点的坐标.
【详解】（1）设点 ，则 ， ， ，
由 ，得 ，
化简得 ，
故所求点 的轨迹为直线 ．
（2）将 ， 分别代入椭圆方程，以及 ， ，
得 ， ，
直线 方程为 ，即 ，
直线 方程为 ，即 ，
联立方程组，解得 ，
所以点 的坐标为 ．（3）点 的坐标为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
直线 的方程为 ，即 ，
分别与椭圆 联立方程组，同时考虑到 ， ，
解得 、 ，
若 ， 且 ,得 ，
此时直线 的方程为 ，过点 ；
若 ，则 ，直线 的斜率 ，
直线 的斜率 ，
所以 ,所以直线 过点 ，
因此直线 必过 轴上一定点 .
8．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为 ，直线
与其相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为 ．
(1)求双曲线的方程；
(2)设 ， 为双曲线实轴的两个端点，若过F的直线l与双曲线C交于M，N两点，试探究直线 与直
线 的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)交点Q在定直线 上，理由见解析.
【分析】（1）令双曲线的方程 ，由题意有 ，并联立直线应用韦达定理得到 ，
即可得双曲线参数并写出方程；
（2）讨论直线l斜率存在性，并联立双曲线方程，应用韦达定理和直线 与直线 方程判断它们的
交点是否在一条直线上即可.【详解】（1）若双曲线的方程 且 ， ，则 ，
将 代入双曲线并整理得： ，
又直线与双曲线交于A，B两点，故 且 ，
由AB中点的横坐标为 ，所以 ，则 ，
所以 ， ，故 .
（2）由（1），不妨令 ， ，
当直线l斜率不存在时， ，则 ，此时 ， ，则交点
为 ；
当直线l斜率存在时， ，代入 并整理，得： ，
过F的直线l与双曲线C交于M，N两点，故 ，
令 ，则 ， ，
且 ， ，联立直线 与直线 得 ，
所以 ，
则 ，可得 或 （舍），
综上，交点Q在定直线 上.
9．（2023春·上海·高三期末）已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，上、下顶点分别
为 ， ，直线 经过点 且与椭圆 交于 ， 两点，当 时，四边形 的
面积为 ．
（1）求椭圆 的标准方程．
（2）若直线 ， 交于点 ，试判断点 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说
明理由．【答案】（1） ；（2）点 在定直线上， ．
【分析】（1）由题意可得 为 的中点，所以 ，由点 可计算出 ，再由四边形的面
积公式可得关于 的方程，再结合离心率以及 即可求得 的值，可得椭圆的方程；
（2）设 ： ， ， 联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得 、 ，求
出直线 ， 的方程，求得交点 的坐标，化简整理，可得点 在定直线上.
【详解】（1）由题意知 ，当 时，易得 为 的中点，
所以 ，
又直线 过点 ，所以
此时四边形 的面积
又 ， ，
得 ， ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）点 在定直线上．
显然直线 的斜率存在，由题可设 ： ， ， ．
将 代入 ，得 ，
则 ， ，
所以 ．
由（1）知 ， ，
直线 的方程为 即 ． ①
同理求得直线 的方程为 ，即 ． ②
由①②得 ，所以 ，
所以点 在定直线上，且定直线的方程为 ．
【点睛】关键点点睛：解决本题第（2）问的关键是利用根与系数的关系得到 ，后，能够
得到 ，所以 ，本题中动直线 经过的定点 在 轴上，所以若交点
在某条定直线上，则这条直线一定关于 轴对称，即证明交点 的纵坐标等于定值．
10．（2023春·湖北武汉·高三校考）在平面直角坐标系xOy中，已知点 ， ，设 的内切
圆与AC相切于点D，且 ，记动点C的轨迹为曲线T．
(1)求T的方程；
(2)设过点 的直线l与T交于M，N两点，已知动点P满足 ，且 ，若
，且动点Q在T上，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由切线长相等得 ，再结合椭圆的定义即可求得T的方程；
（2）由 解出 点坐标，代入曲线T得 ，同理将
点坐标代入曲线T得到关系式，由 得出动点P轨迹，再利用直线和曲线T相切求得 的最
小值即可.
【详解】（1）不妨设 的内切圆与BC，BA分别相切于点E，F，由切线长相等可知 ， ，
，
∴ ，∴ ，∴动点C的轨迹为以A，B
为焦点，
长轴长为4的椭圆（且C不在直线AB上），设动点C的轨迹方程为： ，易知 ，且
，解得 ，
∴T的方程为： ．
（2）设 ， ， ，∵ ，∴ ，
若 ，则 ， ，即P与R重合，与 矛盾，∴ ，∴ ，
，∴ ，
代入 ，又 ，化简得 ，
同理可得， ，∴ ， 为方程
的两根，
∵ ，∴ ，即 ，即动点P在定直线 ： 上，
令直线 ： ，当 与T相切时，记 ， 的距离为d，则 ，联立
可得 ，
由 ，解得 ，又 ，∴ ，此时，解得 ， ，即切点为
，
且直线 ， 的距离为 ，∴ ，当Q点坐标为 ，且 时，
，即 ，联立 得 ，此时， ，且直线P R即直线l： ，
即 显然不过点 和 ，符合题设条件，∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题关键点在于利用 解出 点坐标，代入曲线T得关系式，同理将 点坐标代入曲
线T得到关系式，进而得到 ， 为一元二次方程的两根，由 得出动点P轨迹，将 的最小
值转化为直线上一点和椭圆上一点距离的最小值即可求解.
【真题感知】
1．（2021·全国·统考高考真题）（多选）已知直线 与圆 ，点 ，则下
列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为 的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位
置关系即可得解.
【详解】圆心 到直线l的距离 ，
若点 在圆C上，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点 在圆C内，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点 在圆C外，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点 在直线l上，则 即 ，
所以 ，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.
2．（北京·高考真题）已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点 作直线l与抛物线C交于不同的两点
M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
【答案】（1）抛物线C的焦点坐标为 ，准线方程为x＝－ ；（2）见解析.
【详解】试题分析：（Ⅰ）代入点 求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直
线l的方程为 （ ），与抛物线方程联立，再由根与系数的关系，及直线ON的方程为
，联立求得点 的坐标为 ，再证明 .
试题解析：（Ⅰ）由抛物线C： 过点P（1，1），得 .
所以抛物线C的方程为 .
抛物线C的焦点坐标为（ ，0），准线方程为 .
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为 （ ），l与抛物线C的交点为 ， .
由 ，得 .
则 ， .
因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为 ，点A的坐标为 .
直线ON的方程为 ，点B的坐标为 .
因为，
所以 .
故A为线段BM的中点.
【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转化与化归能力，当看到题目中出现直线与圆
锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数的关系，找准题设条件中突
显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来即可，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体
代换到后面的计算中去，从而减少计算量.
3．（四川·高考真题）椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于
C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．
（Ⅰ）当|CD|= 时，求直线l的方程；
（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证： 为定值．
【答案】（Ⅰ）y= x+1（Ⅱ）见解析
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），焦点F（0，1），可知椭圆的焦
点在y轴上，b=1，c=1，，可以求得椭圆的方程，联立直线和椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方
程，利用韦达定理和弦长公式可求出直线l的方程；
（Ⅱ）根据过其焦点F（0，1）的直线l的方程可求出点P的坐标，该直线与椭圆交于C、D两点，和直线
AC与直线BD交于点Q，求出直线AC与直线BD的方程，解该方程组即可求得点Q的坐标，代入 即
可证明结论．
（Ⅰ）∵椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为 （a＞b＞0），
由已知得b=1，c=1，所以a= ，
椭圆的方程为 ，
当直线l与x轴垂直时与题意不符，
设直线l的方程为y=kx+1，C（x ，y ），D（x ，y ），
1 1 2 2将直线l的方程代入椭圆的方程化简得（k2+2）x2+2kx﹣1=0，
则x +x =﹣ ，x •x =﹣ ，
1 2 1 2
∴|CD|= =
= = ，
解得k= ．
∴直线l的方程为y= x+1；
（Ⅱ）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符，
设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x ，y ），D（x ，y ），
1 1 2 2
∴P点的坐标为（﹣ ，0），
由（Ⅰ）知x +x =﹣ ，x •x =﹣ ，
1 2 1 2
且直线AC的方程为y= ，且直线BD的方程为y= ，
将两直线联立，消去y得 ，
∵﹣1＜x ，x ＜1，∴ 与 异号，
1 2
=
= ，
y y =k2x x +k（x +x ）+1= =﹣ ，
1 2 1 2 1 2
∴ 与y y 异号， 与 同号，
1 2
∴ = ，解得x=﹣k，故Q点坐标为（﹣k，y ），
0
=（﹣ ，0）•（﹣k，y ）=1，
0
故 为定值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
点评：此题是个难题．本题考查了椭圆的标准方程和简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一
道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．体现了分类讨论和数形结合的思想
4．（北京·高考真题）已知椭圆 的右焦点为 ，且经过点 .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线 与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直
线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
【答案】（Ⅰ） ；
（Ⅱ）见解析.
【分析】(Ⅰ)由题意确定a,b的值即可确定椭圆方程；
(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM,ON的表达式，结合韦达定理确定t的值即可证明直
线恒过定点.
【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为 ，所以 ；
因为椭圆经过点 ,所以 ，所以 ，故椭圆的方程为 .
（Ⅱ）设
联立 得 ，
， ，
.
直线 ，令 得 ，即 ；
同理可得 .
因为 ,所以 ；，解之得 ，所以直线方程为 ，所以直线 恒过定点 .
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三
角形的面积等问题．
5．（全国·高考真题）在直角坐标系 中，曲线C：y= 与直线 交与M,N两点，
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
【答案】（Ⅰ） 或 （Ⅱ）存在
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求
思想即将 代入曲线C的方程整理成关于 的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设
而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用 表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出 关系，
从而找出适合条件的P点坐标.
试题解析：（Ⅰ）由题设可得 ， ，或 ， .
∵ ，故 在 = 处的导数值为 ，C在 处的切线方程为
，即 .
故 在 =- 处的导数值为- ，C在 处的切线方程为
，即 .
故所求切线方程为 或 .
（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设P（0，b）为复合题意得点， ， ，直线PM，PN的斜率分别为 .
将 代入C得方程整理得 .
∴ .
∴ = = .
当 时，有 =0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM=∠OPN，所以 符合题意.
考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力6．（北京·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 .斜率为 的直线 与
椭圆 有两个不同的交点 、 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若 ，求 的最大值；
（Ⅲ）设 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 .若 、
和点 共线，求 .
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .
【分析】（Ⅰ）根据题干可得 的方程组，求解 的值，代入可得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线方程为 ，联立，消 整理得 ，利用根与系数关系及弦长公式表
示出 ，求其最值；
（Ⅲ）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合 三点共线，利用共线向量基本定
理得出等量关系，可求斜率 .
【详解】（Ⅰ）由题意得 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
（Ⅱ）设直线 的方程为 ，
由 消去 可得 ，
则 ，即 ，
设 ， ，则 ， ，
则 ，
易得当 时， ，故 的最大值为 ；
（Ⅲ）设 ， ， ， ，
则 ①， ②，
又 ，所以可设 ，直线 的方程为 ，由 消去 可得 ，
则 ，即 ，
又 ，代入①式可得 ，所以 ，
所以 ，同理可得 ．
故 ， ，
因为 三点共线，所以 ，
将点 的坐标代入化简可得 ，即 ．
【点睛】本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到 三者之间的关系即可求解；第二问
主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式 变形为
，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键
在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.
7．（北京·统考高考真题）已知椭圆 过点 ，且 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点 的直线l交椭圆C于点 ,直线 分别交直线 于点 ．求 的值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）1.
【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；
(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA,NA的方程确定点P,Q的纵坐标，将线段长度的比值转化
为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得 ，从而可得两线段长度的比值.
【详解】(Ⅰ)设椭圆方程为： ，由题意可得：
，解得： ，
故椭圆方程为： .(Ⅱ)[方法一]：
设 ， ，直线 的方程为： ，
与椭圆方程 联立可得： ，
即： ，
则： .
直线MA的方程为： ，
令 可得： ，
同理可得： .
很明显 ，且 ，注意到，
，
而
，
故 .
从而 .
[方法二]【最优解】：几何含义法
①当直线l与x轴重合，不妨设 ，由平面几何知识得
，所以 ．
②当直线l不与x轴重合时，设直线 ，由题意，直线l不过 和点 ，所以 ．
设 ，联立 得 ．由题意知 ，所以 ．且．
由题意知直线 的斜率存在． ．
当 时，
．
同理， ．所以 ．
因为 ，所以 ．
【整体点评】方法一直接设直线 的方程为： ，联立方程消去y，利用韦达定理化简求解；
方法二先对斜率为零的情况进行特例研究，在斜率不为零的情况下设直线方程为 ，联立方程消
去x，直接利用韦达定理求得P,Q的纵坐标，运算更为简洁，应为最优解法.
8．（四川·高考真题）如图，椭圆E： 的离心率是 ，过点P（0,1）的动直线 与椭
圆相交于A，B两点，当直线 平行于 轴时，直线 被椭圆E截得的线段长为 .
（1）求椭圆E的方程；
（2）在平面直角坐标系 中，是否存在与点P不同的定点Q，使得 恒成立？若存在，求出点
Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在，Q点的坐标为 .
【详解】（1）由已知，点 在椭圆E上.
因此， 解得 .所以椭圆的方程为 .
（2）当直线 与 轴平行时，设直线 与椭圆相交于C、D两点.
如果存在定点Q满足条件，则 ，即 .
所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为 .
当直线 与 轴垂直时，设直线 与椭圆相交于M、N两点.
则 ，
由 ，有 ，解得 或 .
所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，
则Q点的坐标只可能为 .
下面证明：对任意的直线 ，均有 .
当直线 的斜率不存在时，由上可知，结论成立.
当直线 的斜率存在时，可设直线 的方程为 ，
A、B的坐标分别为 .
联立 得 .
其判别式 ，
所以， .
因此 .
易知，点B关于y轴对称的点的坐标为 .又 ，
所以 ，即 三点共线.
所以 .
故存在与P不同的定点 ，使得 恒成立.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理
论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.
9．（江西·高考真题）如图，椭圆 经过点P（1， ），离心率e= ，直线l的方程
为x=4.
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜
率分别为 .问：是否存在常数λ，使得 ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1） （2）存在
【详解】 ① ②
②代入①得
考点：本题主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线的交点等基础知识，考查分
析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理能力，推理论证能力和计算能力.
