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培优专题 05 圆锥曲线
参考答案
题型01 求面积或面积比值
1．
【答案】(1)
(2)
(3) ，
【分析】（1）求出 ，根据题意得到 ，从而求出离心率；
（2）根据 ，再由题意可求出 ，即可求出方程；
（3）设 ，根据题目信息求出 ，将点 代入椭圆方程
并化简得到 ，根据点 均在 上以及 得
到 ，解方程即可求出 ；根据题目信息及求出的 可得 ，求出 的长及原
点 到直线 的距离，利用三角形面积公式即可求出答案.
【详解】（1）由 ， 得， ，
将 代入椭圆方程得 ，解得 ，则 ，又四边形 是矩形，则 ，即离心率 .
（2）由 得， ，即 轴，
则 ，
当且仅当 过右焦点 时等号成立，即 的周长的最大值为 ，
即 ，即 ，
则 方程为
（3）设 ，
由 得，点 ，又 ，
则 ，
因为点 在 上，所以
则 ，
又点 均在 上，则 ，
由 得 ，即 ，
则 ，又 ，即 .由 得， ，
又 ，即直线 ，
由 得， ，
则 ，
则
由 得， ，
即 ，
即 ，
化简整理得， ，则 ，
又原点 到直线 的距离为 ，
则
则 .2．
【答案】(1)
(2)点 的坐标为
(3)
【分析】（1）根据椭圆的定义和性质求出椭圆方程，再根据题目条件求出双曲线方程；
（2）根据等腰三角形的性质和椭圆方程可求出点 的坐标；
（3）设出直线方程，与椭圆方程联立表示出弦 中点 的坐标，进而得到直线 方程，再与双曲线方
程联立，结合图形性质表示四边形面积即可求出最小值.
【详解】（1）由椭圆定义得， ，
的周长为 ，故 .
， ，
.
（2） ， ，故 .
若 ，设 ，则 ，解得 ，
点 的坐标为 .若 ，设 ，则 ，解得 或 （舍）， 点 的坐标为
.
综上, 点 的坐标为 .
（3）由题知： ， .
直线 不垂直于 轴， 设直线 的方程为 ，
由 得 ，
，故 .
点 在直线 上， ，
直线 的方程为 ，即 .
由 得 ，
由 得 ，且 .
设点 到直线 的距离为 ，则点 到直线 的距离也为 ，直线 的方程可化为 ， .
点 在线段 的两端， ，
点 在直线 上，
，
四边形 的面积为 ，
.
令 ， ，
在 上单调递增，
当 时， .
3．
【答案】(1)(2)点 的坐标为
(3) 的最小值为
【分析】（1）根据双曲线方程即可得其渐近线方程；
（2）由点 可得 ，从而可利用三角形外角关系从而可得直线 的斜率，将直线 方程代
入双曲线方程求解即可得点 的坐标；
（3）设直线 ，代入双曲线方程得交点坐标关系，由重心可得
，根据点线关系即可得 的范围，再结合三角形面积关系得 与 的关系，由基本不等式可
得最值.
【详解】（1）已知双曲线 ，则 ，所以双曲线方程为 ；
（2）双曲线 的右焦点 ，
又 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，
则直线 ，即 ，
所以 ，解得 ，即 ，
则 ，所以点 的坐标为 ；（3）设直线 ，
，
则 ，
因为直线 过点 且与双曲线 右支交于 、 两点，所以 ，
又因为 的重心 在 轴上，所以 ，
由点 在点 的右侧，可得 ，所以 ，解得 ，所以 ，
而 ，代入可得 ，
所以 ，
代入化简可得： ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，所以 的最小值为 .
4．【答案】(1)
(2)答案详见解析
(3)
【分析】（1）根据题意:利用为 为面积为1的直角三角形，可得到 ，再求解离心率即可.
（2）设 ，利用两点间距离公式表示 ，转化为二次函数分类讨论求解最值即可.
（3）设直线的方程为 ，利用圆锥曲线“设而不求”的方法可以把四边
形的面积可表示为关于 的函数，再利用函数单调性求得范围即可.
【详解】（1）如图，设椭圆 的焦距为 ，
易得 ， ， ，
又因为 为面积为1直角三角形， ，
所以椭圆的离心率 .
（2）有第一问知 ，故椭圆方程为 ，
设 ，且 ，即 ，
，
其对称轴为 ，而 ，当 ，即 时，
在 时取得最大值， ；
当 ，即 时，
在 时取得最大值， .综上，当 时，最大距离为 ；当 时，最大距离为 .
（3）设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 整理得 ，
则 ， .
因为点 分别在第一、四象限，
所以 ，即 ，
故 ，解得 ，
得到四边形 的面积为 ，
，
因为 ， ，
所以 ，
令 ， ，则 ，
因为 ，所以 在 上单调递增，
故 ，即四边形 面积的取值范围为 .5．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3) .
【分析】（1）设 ， ， ，与 联立求出 和韦达定理，根据
求出 即可求解；
（2）求出 即可证明；
（3）由（1）求出 ，考虑 和 两种情况，根据 求出 ，求出 ，
根据（2）求出 ，根据 结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）设 ， ， ，
与 联立可得 ， ，
， ， ，
因为 ，所以 ，
由 可得 ，故因为 在第一象限，所以 ，解得 ，
由 得 ；
（2）由题意得 ， ，故 ，
，
，
则 ，即 ；
（3）由（1）得 ， ，故 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ， ， ，故 ， ，
，故 ，所以 ⊥ ， ，
则 ，
由对称性可知 ，
则 ，
当 时， ， ，由 得 ，
将其代入 中得 ，
显然，当 时， ，当 时， ，
解得 ， ， ，
因为 ，
其中 ，
由（2）知 ，
又 ，故 ，
故 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，此时 ，
由于 ，
故 .题型02 线段相关问题
1．
【答案】(1) ,
(2) ,
(3)
【详解】（1）
由椭圆方程 知， ，所以右焦点 ，
设 ，则 ，由 代入得：
，
由于 ，对称轴 ，
所以 ，
即 的最小值为 ，此时点 为椭圆的右顶点.
（2）由直线 的斜率为1且经过 ，可得直线方程 ，
与椭圆 联立方程组，消元得： ，
解得 ，则代入 得： ，所以 ，
则 ，
设平行于直线 的直线方程为 ，则与椭圆 联立方程组，消元得：
，当此直线与椭圆相切时，满足判别式为 ，
即 ，解得 ，
根据数形结合可得 时，满足切点 取到 面积最大值，
此时方程为 ，
代入直线得 ，则 ，
由点 到直线 的距离公式得：
，
所以 面积的最大值为 ，此时点 ；
（3）
设过点 直线为： ，与椭圆 联立方程组，消元得：
，
由 ，
再由于交点D不在x轴上，即 ，
设交点 ，则有 ，
代入 得： ，
由于Q关于原点的对称点为点R，所以 ，
则直线 方程为 ，与直线 相交得：
点纵坐标为 ，
而直线 与直线 相交得：
点纵坐标为 ，所以可得
当且仅当 ，即 时， 取到最小值 .
即 的取值范围是
2．
【答案】(1) 或
(2) 和
(3)
【分析】（1）根据条件列出方程即可求解；
（2）联立抛物线方程，消元后得方程，分类讨论，根据方程有一根求解即可；
（3）设过P点的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出关于直线斜率 的方程，再由切线与准线
交点的纵坐标表示 ，利用韦达定理化简，换元求取值范围即可.
【详解】（1）由 可知 ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 ，
代入抛物线方程， ，
所以点 的坐标为 或 .
（2）联立方程 ，可得 ，即 ，
因为只有一个交点，所以 ，即 时，方程只有一解，满足题意，此时 ；
当 时，则需 ，解得 ，
此时 .
综上，直线 的方程为 和 .
（3）设 ，
由题意，切线与准线相交，故切线的斜率存在，设切线方程为 ，
即 ，
由圆 知，圆心 ，半径 ，
所以 ，即 ，
设 ，
代入切线方程可得， ，
所以 ，（其中 分别是 的斜率）
所以 ，
又 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
故求 的取值范围为 .
3．
【答案】(1) ；
(2)3个，理由见解析；
(3) .
【分析】（1）由已知可得 ，可求离心率；
（2）不妨设 直线方程为 ，与椭圆方程联立可得 ，进而可得
，求得 ，从而有 ，求解可得结论.
（3）设直线 与椭圆方程联立，由韦达定理求得的中点为 ，利用弦长公式求得
，进而得到以 为直径的圆的半径 ，由 ，三角换
元利用三角函数性质求出最大值.
【详解】（1）依题意有 ，解得 .
所以离心率 .
（2）不妨设 直线方程为 ，代入 ，整理得 ，可得 ，所以 ，
将 带入得 ，
由 得 ，
所以 ，
解得
所以满足条件的 的个数是3个.
（3）设直线 ，设 ，
联立 ，得 ，
所以 ，所以 .
所以 ，所以 的中点为 ，
所以
又 的轨迹是以 为圆心，半径 的圆，
所以 .令 ，
记 ，
又 ，所以 时， .
4．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出 和 ，求出 即可求解；
（2）设 ，求出 ，求出 和 ，求出 和 ，根据椭圆的定义即可求解；
（3）求出 ，设 ，对于每一个固定的 设点 到 的距离为 ，利用点到直线距离公
式求出 ，利用辅助角公式求出 ，证明 是第一象限的角，据此即可求解.
【详解】（1）由题可知， ，
，
所以椭圆 的离心率为 ；
（2）如图，设 ，
，
又 ，
是第一象限上的点，
，即解得 ，
，
由椭圆的定义知 ， .
（3）由椭圆的定义知 ．
，设 ，
对于每一个固定的 设点 到 的距离为 ，
利用点到直线距离公式有 ，
由辅助角公式得
，
是第一象限内的一点，
，注意到 ，
是第一象限的角，
设 ，当 时 为 在固定 下的最小值，
由题意知 对于 有解，
，
两边平方可得 ，
要求 的最小值，即求 的最大值，
，当 时取到．
题型03 求直线斜率或方程
1．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据双曲线 的焦距为 及点 在 上，列方程即可求得结果；
（2）设直线 的方程为 ，利用直线 与圆相切，求出直线的方程，将直线方程与双曲线方程联
立，利用韦达定理或求出两个交点坐标，从而求得 ；
（3）由双曲线的对称性，易知四边形 为平行四边形，设直线 的方程为 （或
），求出直线 和直线 的距离，再将直线 方程与双曲线方程联立，利用弦长公式求出
的长，根据平行四边形 的面积为 列出方程，求出 ，再根据直线 与双曲线左支有两个
交点对结果进行取舍，从而得到答案.
【详解】（1）由双曲线 的焦距为4，点 在 上，可得 ，所以 ，且 ，又因为 ，即 ，
联立方程组 ，解得 ， ，所以 的方程为 .
（2）设直线l方程为 ，代入圆的方程整理得 ，直线与圆相切，
所以判别式 ，所以 ，切点位于 轴上方，故 .
将直线 代入双曲线 方程，整理得 ，解得 ，
两点的坐标分别为（ ）、（ ），
从而 ；
另解：由题意设直线 方程为 ，该直线与圆 相切，
则圆心到直线 的距离 ，解得 . 联立 得
设 ， ，则 ，
（3）由题意直线 与 平行，由双曲线的对称性，易知 = ，四边形 为平行四边形．
当直线 垂直于x轴时， ，此时四边形 的面积为 ，不合题意，舍去；
设直线 方程为 ，则直线 方程为 ，
直线 和 的距离就是点 到直线 的距离 ，设 ， ，联立方程组 ，整理的 ，
则 ，且 ， ，
又由双曲线的渐近线的方程为 ，
要使得过 的左焦点 的直线 交 的左支于点 、 ，可得 ，( )
则 ，
所以 ，化简可得 ，
解得 ，或 ，因为 ，所以 ，
故直线 的方程为 或 ．
另解：设直线 方程为 ，代入双曲线方程得 ，整理得
，(因为双曲线的渐近线斜率为 ，直线AB与双曲线左支交于两点，所以 )
， ，所以 ，
点 到直线 的距离 ， ，
化简可得 ，解得 ，或 ，因为当 时，直线AB斜率平方 ，
此时AB与双曲线左支只能交于一点，舍去，所以 ，
故直线 的方程为 ，或 ．2．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据离心率的概念列式求 即可.
（2）根据题意，设 ，则 ， ，根据 列式可求 的值，在根据
点在椭圆上，可求 的值.
（3）根据题意，可求出 的坐标，进而求直线 的斜率.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 .
（2）因为 ，且 是线段 的垂直平分线，
所以 是线段 的中点.
所以可设 ，则 ， .
所以 ， .
由 .
又点 在第一象限，所以 ，所以 ，即 .
又点 在椭圆 上，所以 .又 ，所以 .
（3）因为 ，所以椭圆 ： .
如图，作出符合题意的图形，
因为点 是线段 的中点，可设 ， ，则 .
设 ，因为 .
因为 都在椭圆 上，所以 .
因为点 在第一象限，所以 .
所以 ， ， .
因为 ，所以直线 的方程为： .由 .
由 .
所以 .
可得 ，即直线 的斜率为 .
3．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据抛物线的定义及 ，求出 ；
（2）设 ，设直线 的直线方程为 ，与抛物线方程联立，根据韦达定理得到
， ，再根据中点的纵坐标为 ，可解得结果；
（2）设 ， ，求出 ，利用
可得结果.
【详解】（1）由抛物线方程知： ，设 ，
由 得： ， .
（2）由题意知：直线 斜率不为零，可设 ， ，由 得： ，则 ，
， ，
，又因为 中点的纵坐标为 ，所以 ，
所以 的面积为 ；
（3）由题意知：直线 斜率不为零，可设 ， ，
由 得： ，则 ，
， ，所以 中点为 ，
因为线段 的垂直平分线与抛物线 交于点 ，
设 ，
联立 可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
若以线段 为直径的圆经过点 ，
，
， 不相等， 不相等，
所以 ，同理
可得 ， 不相等，
所以即 ，解得 .
所以直线 的方程为 .
4．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）根据给定条件，列式求出 即可.
（2）利用点差法，结合斜率的坐标公式推理得证.
（3）设出直线 的方程，与椭圆方程联立，结合已知求出斜率 的范围，再将 表示为 的函数，借助对
勾函数单调性求出范围.
【详解】（1）依题意， ，解得 ，
所以椭圆 的方程为
（2）设 ，则 ，
由 ，得 ，直线 的斜率分别为 ，
则 ， ，因此 ，即 ，所以 .
（3）当直线 的方程为 ，由 ，得 ，
，即 ，
椭圆 左、右焦点 ，设 ,
由直线 的斜率 依次成等差数列，得 ，
又 ，则 ，
化简并整理得: ，若 ，则直线 ： 过点 ，不符合题意，
则 ，即 ，此时 ，整理得 ，
因此 ，解得 ，记点 到直线 的距离为 ，
则 ，
令 ， 在 上单调递减，则 ，
所以d的取值范围是 .
5．
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】（1）结合离心率相等列关于 的关系式，即可求得；
（2）设点坐标，表示 结合椭圆方程即可求得；
（3）设 ，联立方程组，根据韦达定理和第二问的结论即可求得结果.
【详解】（1）由椭圆 的方程可知，椭圆 的离心率为 ， ，
设椭圆 的半焦距为 ，
由已知 ， ，
所以 ， ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）设 ，则 ， 的斜率即 的斜率， 的斜率即 的斜率，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ， 斜率之积 为定值，且定值为 .
（3）设 ，由于 ，所以 ，
设直线 方程为 ，直线 方程为 ，
联立 得： ，联立 ， ，
因为 且 ，
所以 是方程 的两个实数根， 恒成立
，则 ，
，
整理得 ，
，
解得 ，又 ，
所以 .
题型04 定点问题
1．
【答案】(1)
(2) 或
(3)存在，
【分析】（1）直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可；（2）分 和 两种情况讨论即可求解；
（3）分 斜率不存在和 斜率存在两种情况讨论即可求解.
【详解】（1）双曲线的渐近线方程为 ．
（2）①当 时，横坐标 代入双曲线方程可得 ，
则 ；
②当 时，设 ，∴ ，
则 ，
解得 ，则 .
（3）①当 斜率不存在时，
，∴ ；
②当 斜率存在时，设为 ，则直线的方程为 ，设 ，∴ ，
联立方程 ，可得 ，
由题可知 ①，
同理 ②，
① ②式可得：
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 为定点 ．
2．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据焦点三角形的周长计算公式求解出结果；
（2）联立直线 与椭圆方程，求得 点坐标，然后根据纵坐标求得 的值；
（3）先判断出 的位置关系，然后通过联立直线与椭圆方程求得中点 的坐标，由此可表示出直
线 的方程，根据直线 过定点可求解出结果.
【详解】（1）由椭圆方程可知， ，
所以 的周长为 ；
（2）因为 ，所以 ，则 ，即 ，
联立 ，可得 ，解得 或 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ；
（3）因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ；
当 中有一条直线斜率不存在时，此时一定有一条弦的中点和 点重合，故不符合条件；
当 为坐标原点时，此时 均与 点重合，故不符合条件；由上可知， 的斜率都存在，
设 ， ，
联立 ，可得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以
，
同理可得 ，即 ，
所以 ，所以 ，
令 ，解得 ，
因为直线 恒过定点 ，所以 ，所以 ，
所以 .3．
【答案】(1)3；
(2)最大值为8，直线 ： ；
(3)存在， .
【分析】（1）求出点 的坐标及直线 的方程，与椭圆方程联立求出弦长.
（2）令椭圆左焦点为 ，利用线段和差大小关系及椭圆定义推理求解.
（3）由特殊位置确定点 的位置及坐标，再就一般情况推理求解.
【详解】（1）依题意， ，直线 的斜率为 ，方程为 ，
由 消去 得 ，解得 ，
所以线段 的长 .
（2）设椭圆的左焦点为 ，则 ，
于是 ，当且仅当直线 过左焦点 取等号，
所以 周长的最大值为8，此时直线 方程为 .（3）存在点 满足题意，
假设存在满足题意的定点 ，当直线 平行于 轴时，则 ， ， 两点关于 轴对称，
则 点在 轴上，不妨设 ，
当直线 垂直于 轴时， ， ， ，
解得 或 （舍去，否则 点就是 点），即 点的坐标为 ；
对于一般的直线 ： ， 也满足题意.
因为 ，由角平分线定理知， 轴为 的角平分线，则只需 .
设 ， ，则 ， ，
则 ，消去 可得， ，
则 ， ，
于是 ， ，
两式相加得， ，
即 从而，假设成立.
即存在与点 不同的定点 ，使得 恒成立.4．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用离心率及所过点计算即可得；
（2）设出直线 后，利用圆的切线的性质计算可得 ，联立直线与曲线方程，消去 可得与横坐标相关韦
达定理，再利用弦长公式计算即可得；
（3）设 ， ，联立直线与曲线方程，消去 可得与横坐标相关韦达定理，再利用
圆上的点的性质，借助向量有 ，计算后可得与 、 、 、 有关等式，再利用定点性质计算即
可得解.
【详解】（1）由题意可得 ，解得 ，
故椭圆 的方程为 ；
（2）由 ，则 ，可设 ， 、 ，则由直线 与 相切，可得 ，化简得 ，
联立 ，消去 可得 ，
，
则 ， ，
则
；
（3）设 ， 、 ， ，
联立 ，消去 可得 ，
，即 ，
， ，
由点 在以 为直径的圆上，则 ，由 ， ，
则
，
即
故 ，则有 ，
由 ，故 ，则有 ，
即 或 ，由 ，故 ，
即当且仅当 时，以 为直径的圆经过 轴上方的定点 ，
且 点坐标为 .题型05 点在定直线（曲线）上问题
1．
【答案】(1)
(2)
(3)是定圆
【分析】（1）求出 ，结合椭圆的定义即可得解；
（2）设 ，由 ，可得 ，再根据点 在椭圆上即可得解；
（3）设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，分布于椭圆方程联立，利用
韦达定理求出 两点的坐标，进而可求出 的方程，进而可得出答案.
【详解】（1）由椭圆 ，
得 ，所以 ，
所以 的周长为 ；
（2）设 ，
由 ，得 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
解得 ，
即点 的横坐标的取值范围为 ；
（3） ，
设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立 ，消 得 ，
则 ，所以 ，所以 ，
故 ，
联立 ，消 得 ，
则 ，所以 ，所以 ，
故 ，
当 ，即 时，
，则直线 的方程为 ，
即 ，过定点 ，
当 ，即 时，
此时 ，直线 过定点 ，
设 ，因为 ，
所以过点 为坐标原点 三点的圆即为过点 为坐标原点 三点的圆，
因为 过原点，点 ，点 ，
所以过点 为坐标原点 三点的圆是定圆 .
2．
【答案】(1) 或 ；
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】（1）令 ，应用两点距离公式求参数值，即可得点的坐标；
（2）若 垂直抛物线 的准线于 ，结合抛物线的定义得 ，数形结合确定其最小值；
（3）设 ， ，应用导数几何意义求过 的切线，进而得到
， ，联立直线 与抛物线并应用韦达定理得 ， ，即可证.
【详解】（1）由题设，令 ，则 ，即 ，
所以 ，故 或 ；
（2）若 垂直抛物线 的准线 于 ，由抛物线的定义知 ，
所以 ，当且仅当 三点共线时取等号，
又 抛物线 的准线时， 最小为 ，
所以 的最小值为 ；
（3）由题设，直线 的斜率一定存在，设 ， ，
而 ，则过 的切线斜率为 ，对应切线为 ，即 ，
同理过 的切线为 ，即 ，
联立 ，可得 ，整理得 ，
由题意 ，则 ， ，联立 ，得 ，且 ，
所以 ， 则 ， ，
显然点 在直线 ，即 上，得证.
3．
【答案】(1)
(2)24
(3)证明见解析
【分析】（1）利用离心率和焦点到渐近线的距离这两个条件，求出 的值，从而确定双曲线方程；
（2）由双曲线的对称性四边形 为平行四边形，故 ，设出直线 的方程，分别与双曲线
联立，由 计算四边形面积并借助函数的单调性求最小值；
（3）写出直线 和 的方程，联立求解交点 的坐标，证明其横坐标为定值.
【详解】（1）因为双曲线 的离心率 ，故 ，
而双曲线的渐近线为 ，故右焦点 到渐近线的距离为 ，
而 ，故 ，
故双曲线的方程为： .
（2）显然直线 与 轴不垂直，设 ，
由双曲线的对称性知 ，结合 ，即四边形 为平行四边形，
且 为平行四边形 的对角线中点，故 ，联立 ，故 ，
由于 均在双曲线右支，故 ，故 ，
而
，
令 ，则 ，
易知 在 上为减函数，则当 时， ，
综上，四边形 的面积的最小值为
（3）证明：左顶点 ，右顶点 ，
设过 的直线方程
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
两式相除得 ，代入
计算： ．
由（2）知 ，
注意到 ，代入得： ，
因此 ，解得 .故交点 的横坐标恒为 ，即 在定直线 上.
4．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析， 点在定直线 上
【分析】(1)由椭圆定义可判断点 的轨迹是椭圆，由题意求出 ，即可得解；
(2)求出直线方程，直线方程与椭圆联立求得弦长，再求出点到线的距离即可求出面积；
(3)设直线 的方程为 ，与椭圆联立，韦达定理
求出两根之和，两根之积. 的方程为与 的方程联立，解得 ，所以 点在定直线 上.
【详解】（1）这些折痕围成的图形是一个椭圆．定点 到圆心 的距离为2，按上述方法折纸，如图所示．
设 与折痕的交点为 ，设 ，由题意可知 且 ，
所以点 是以 为椭圆的左、右焦点，长轴长为 的椭圆，
即 ，所以 ，所以椭圆的标准方程为 .（2）经过 且与直线 夹角为 的直线的倾斜角 为或 ，
由椭圆的对称性，不妨设直线的倾斜角为 ，即直线的斜率 ，
又 ，则直线 ．
设 ，联立 ，消去 得 ， ，
， ，
（3）证明：显然直线 的斜率不为0，则可设直线 的方程为 ，
联立 ，此时 ，
由韦达定理得 ，所以 ，
又 ，所以直线 的方程为 ①
所以直线 的方程为 ②
联立①②，可得 ，解得
所以 点在定直线 上.
题型06 定值问题
1．
【答案】(1)椭圆的方程为 ，作图见解析(2)
(3)为定值
【分析】（1）根据椭圆中 的关系求解椭圆方程即可，利用椭圆的定义作图即可得椭圆的左焦点；
（2）设 ，则 ，根据三角形面积公式即可得 ， 关于 的式子，利用面积比例求
解 即可得所求；
（3）设 ，其中 ， ，其中 ，分别与椭圆方程联立，根据根于
系数的关系得 与 ， 与 的关系，再根据线段比例关系计算验证 是否为定值即可.
【详解】（1）因为椭圆 中 ， ， ，椭圆的离心率是 ，
则 ，解得 ，
则椭圆的方程为 ；
如下图：以 为圆心，以 的长为半径在线段 上画圆弧，与线段 的交点即为椭圆的左焦点
；（2）设 ，则 ①，且 ，
当 时， ，
又 ，
因为 ， ，所以直线 的方程为 ，即 ，
故点 到直线 的距离 ，
，
因为 ，所以 ，即 ②，
联立①②，且 ，解得 ，
故点 的坐标为 ；
（3）如图所示 ， ， 且 ， ，则 ，
过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，设 ，其中 ，
， 恒成立，
所以 ，
则 ，
设 ，其中 ，
， 恒成立，
所以 ，
则 ，
因为 ，
所以
为定值，
所以 为定值 .
2．
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，求得 ，得到 ，结合椭圆离心率的定义，即可求解；
（2）设 ，得到 ，由 ，代入求得 ，结合 ，结合直线的点斜
式方程，即可求解；
（3）设 的方程为 ，联立方程组求得 ，再设 的方程为
，联立方程组，求得 ， ，同理求得 ， ，结合
，化简得到 ，即可得证.
【详解】（1）解：由椭圆 ，可得 ，则 ，
所以 ，所以椭圆 的离心率为 .
（2）解：由（1）知，椭圆 的左焦点 ，
设 ，其中 ，则 ，
则向量 ，可得 ，
将 代入得 ，解得 ，则 ，即 ，
可得 ，
又由 过点 ，所以 的方程为 ，即 .（3）证明：设直线 的斜率为 ，则方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
设 ，可得 ，
由直线 过 ，设其直线方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
设 ，可得 ，
因为 在直线 上，可得 ，化简得 ，则 ，
同理可得：设 ，可得 ，则 ，
又因为 ，
又由 ，
即 ，所以 .
3．
【答案】(1)(2)
(3)存在，且定值为
【分析】（1）将点 的坐标代入抛物线 的方程，求出 的值，可得出该抛物线的标准方程，可求出其
焦点 的坐标，再利用斜率的斜率公式可求出直线 的斜率；
（2）设点 ，由题意可知，切线 、 的斜率都存在，设这两条切线的斜率分别为 、 ，设过
点 的切线方程为 ，利用圆心到切线的距离等于半径得出 ，结合韦达定理
得出 ， ，求出 、 的坐标，结合韦达定理可求出 的最小值；
（3）设点 ，设过点 的切线的方程为 ，因为圆心 到切线的距离为 ，可得
出 ，设切线 、 的斜率分别为 、 ，则 、 为该方程的两根，
利用韦达定理得出 ， ，将直线 的方程与抛物线的方程联立，可得出
，同理可得出 ，化简 的表达式，根据韦达定理结合 为定值可求得 的值，即可得出结论.
【详解】（1）将点 的坐标代入抛物线 的方程可得 ，解得 ，
故抛物线 的标准方程为 ，其焦点为 ，
故直线 的斜率为 .
（2）圆 的标准方程为 ，则圆心为 ，半径为 ，
因为抛物线 的准线方程为 ，即 ，可得 ，故抛物线 的方程为 ，
设点 ，由题意可知，切线 、 的斜率都存在，设它们的斜率分别为 、 ，不妨设过点 的切线方程为 ，即 ，
由题意知，圆心 到直线 的距离为 ，即 ，
整理可得 ，
依题意， 、 是关于 的方程 的两根，
所以 ，且 ， ，
易知直线 的方程为 ，令 可得 ，即得点 ，同理点 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 .
（3）若点 到准线 的距离为 ，即 ，故抛物线 的方程为 ，
其准线 的方程为 ，设点 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
由题意可知，过点 的切线的斜率存在，设过点 的切线方程为 ，即 ，
因为圆心 到切线的距离为 ，则 ，整理可得 ，
设切线 、 的斜率分别为 、 ，
则 、 为关于 的方程 的两根，
故 ， ，
将直线 的方程与抛物线 的方程联立 ，可得 ，
由韦达定理可得 ，同理可得 ，
故
为定值，则 ，
因为 ，解得 ，
故当 时，即存在定圆 ，使得当点 运动时， 为定值 .
4．
【答案】(1)
(2) 或
(3)存在 符合题意.
【分析】（1）利用双曲线的焦距确定c，渐近线斜率确定 ，结合 求出 ，进而得到双曲线
方程.
（2）联立直线与双曲线，由判别式得 以确定 点坐标，设 点坐标后，利用向量垂直的数量积为0求解的坐标.
（3）先确定直线 的方程，联立 与双曲线得韦达定理，联立 与 得 点坐标，计算 和
并化简对比，得出常数 的值.
【详解】（1）依题意， ，解得 ，
所以 的方程为 .
（2）联立 ，消去 并化简得 ，
由题意可得 ，解得 ，因为 ，
所以 ，代入上式，解得 ，
所以 ，设 ，
因为 为直角，
所以 ，
解得 或 ，
所以 或 .
（3） ，设 ， ，
联立 ，消去 并化简得 ，
，，
联立 ，解得 ，
所以 ，
，
代入 点坐标及韦达定理得
，
，
所以 ，使得 .
5．
【答案】(1)
(2)0
(3)是，
【分析】（1）根据已知确定椭圆参数，即可求离心率；
（2）设直线 ， ，联立椭圆方程并应用韦达定理，代入
化简即可得；（3）由题设 为 的外心，由 ，从而有 ，得 ，设出三角形外接圆的方程
，联立 整理得一元二次方程，其与（2）中方程同解得到等比例关
系求得 ，进而确定 坐标并求得 ，即可得结论.
【详解】（1）由题设 ，则 ，离心率为 ；
（2）由（1）知， ，即 ，
设直线 ， ，
联立得 ，则 ，
，
，
所以 ；
（3）由 ，则 为 的外心，
由 ，根据对称性知 ，则 ，
设过 的圆为 ，过 得， ，
联立圆与直线 ，整理得 ，
上述方程与 有同解，
所以 ，可得 ，
外心 ，则 ，
所以 为定值.
