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培优专题 06 导数
题型1 含参函数的单调性
一、含参函数单调性讨论依据
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论。
二、一般性技巧
（1）导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零
时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的
单调区间．
（2）若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义
域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.
（3）若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨
论.一、解答题
1．（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知函数
(1)若 ，求 在 上的最大值；
(2)讨论函数 的单调性．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性．
3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线的斜率为 ，求实数 的值；
(2)讨论函数 的单调性．
4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数 ，( )．
(1)若函数 的图象在 处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)讨论 的单调性．
5．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知
(1)当 时，过原点作函数 的切线l，求切线l的方程；(2)讨论函数 的导函数 的单调性.
6．（24-25高三上·广东潮州·阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求 的极值点；
(2)讨论 的单调性．
7．（24-25高三下·河南新乡·阶段练习）已知函数
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)试讨论 的单调性．
题型2 极值问题
一、求可导函数 极值的一般步骤
（1）先确定函数 的定义域；
（2）求导数 ；
（3）求方程 的根；
（4）检验 在方程 的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，
那么函数 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数
在这个根处取得极小值.
注①可导函数 在点 处取得极值的充要条件是： 是导函数的变号零点，即 ，且在 左
侧与右侧， 的符号导号.
② 是 为极值点的既不充分也不必要条件，如 ， ，但 不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数 ，在极小值点 是不可导的，于是有如下结论：
为可导函数 的极值点 ；但 为 的极值点.
一、解答题
1．（2024·西藏拉萨·一模）已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 既有极大值，又有极小值，求实数 的取值范围.
2．（2025·山东菏泽·一模）已知函数
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 不是 的极值点，求 ；
3．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）已知函数 ．
(1)若曲线 在 处的切线 与直线 垂直，求 的方程；
(2)证明： 无极值点．
4．（2025·江西·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)若 在区间 上有且只有一个极值点，求实数 的取值范围.
5．（2025·广东江门·一模）已知函数 ．(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)当 时，求函数 的极值．
6．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 是函数 唯一的极值点，求实数a的取值范围.
题型3 最值问题
一、函数的最值
函数 最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数 最小值为极小值与靠近极大
值的端点之间的最小者．
一般地，设 是定义在 上的函数， 在 内有导数，求函数 在
上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求 在 内的极值（极大值或极小值）；
（2）将 的各极值与 和 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值
是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
一、解答题
1．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）设函数 ．
(1)若 恒成立，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，当 时，函数 的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
2．（24-25高三下·四川内江·阶段练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，求函数 在 的最小值 .
3．（2025·河北石家庄·一模）已知函数 .
(1)讨论 的极值点个数；
(2)若存在实数 使得 轴为 的切线，求 的最大值.
4．（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习）已知函数 （ 且 ）
(1)判断 的单调性；
(2)若m，n为方程 的两个根 ，求 的最小值．
题型4 恒成立和有解问题
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和
放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．一、解答题
1．（23-24高三下·福建漳州·阶段练习）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
2．（24-25高三上·湖北·期中）已知 为函数 的极小值点.
(1)求 的值；
(2)设函数 ，若对 ， ，使得 ，求 的取值范围.
3．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数 .
(1)求 的单调区间;
(2)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求实数 的取值范围.
4．（2025·河北保定·一模）已知函数 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)若关于 的不等式 有实数解，求 的取值范围.
5．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知函数 和 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围；(3)若存在 ， ，使得 ，证明： ．
6．（2025·江西·一模）已知函数 ，
(1)若 ，求函数 的最小值；
(2)设函数 ，讨论函数 的单调性；
(3)若在区间 上存在一点 ，使得 成立，求 的取值范围．
题型5 零点问题
利用导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点
的探索、参数的分类讨论等），需要对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过
极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问
题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需
要思考的地方。
一、解答题
1．（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在 上的函数 .
(1)若 ，判断 是否存在极小值点，并说明理由；
(2)若 存在两个零点，求 的取值范围.
2．（2025·山东临沂·一模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；(2)若函数 在 上恰有两个零点，求 的取值范围.
3．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数 .
(1)若 ，求函数 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 在 上零点的个数.
4．（2024·湖北荆州·模拟预测）函数 .
(1)若 均有极值且极值互为相反数，求 的值；
(2)若 有两个零点 ，求证：当 时， .
5．（2025·安徽滁州·一模）已知函数
(1)若不等式 恒成立，求实数a的取值范围;
(2)若 ，求证： 有且只有1个零点.
6．（24-25高三下·河南·阶段练习）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调区间；
(2)若直线 为 的切线，求a的值.
(3)已知 ，若曲线 在 处的切线与C有且仅有一个公共点，求a的取值范围.题型6 极值点偏移问题
一、常规方法
1、和型 （或 ）问题的基本步骤：
①首先构造函数 ，求导，确定函数 和函数 的单调性；
②确定两个零点 ，且 ，由函数值 与 的大小关系，
得 与零进行大小比较；
③再由函数 在区间 上的单调性得到 与 的大小，从而证明相应问题；
2、积型 问题的基本步骤：
①求导确定 的单调性，得到 的范围；
②构造函数 ，求导可得 恒正或恒负；
③得到 与 的大小关系后，将 置换为 ；
④根据 与 的范围，结合 的单调性，可得 与 的大小关系，由此证得结论.
二、其他方法
1、比值代换
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点
的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用 表示)表示两个极值点，即 ，
化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 的函数问题求解．
2、对数均值不等式
两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 时，等号成立．
3、指数不等式在对数均值不等式中，设 ， ，则 ，根据对数均值不等式有如
下关系：
一、解答题
1．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）已知函数 ．若函数 有两个不相等的零
点 ．
(1)求a的取值范围；
(2)证明： ．
2．（23-24高三下·北京西城·期中）已知函数 ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ， ，则 ．
3．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数 ， .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 ，求 的取值范围；
(3)若 有两个实数解 ， ，证明： .
4．（2024·山东日照·二模）已知函数 ．(1)若 恒成立，求实数 的值：
(2)若 ， ， ，证明： ．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)若函数 有两个零点，求 的取值范围；
(2)设 是函数 的两个极值点，证明： ．
6．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 有2个不同的零点 ，求证： ．
题型7 隐零点问题
一、隐零点的处理思路
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的
区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的
替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
二、隐零点的同构
实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看
到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简
方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.
一、解答题
1．（24-25高三下·河南·开学考试）已知函数
(1)探究 在定义域内是否存在极值点；
(2)求 在定义域内的零点个数.
2．（24-25高三上·湖北·期中）设函数 .
(1)讨论函数 在区间 上的单调性；
(2)判断并证明函数 在区间 上零点的个数.
3．（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数 ， ，其中 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处切线的方程；
(2)求函数 的零点；
(3)用 表示 、 的最大值，记 ．问：是否存在实数 ，使得对任意
， 恒成立？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由．4．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知
(1)讨论 的单调性;
(2)当 时，证明 对于任意的 成立.
（参考数据： ）
5．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数 ，直线l为曲线 在点 处的切线.
(1)当 时，求出直线 的方程；
(2)若 ，求 的最值；
(3)若直线 与曲线 相交于点 ，且 ，求实数 的取值范围．
6．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调递增区间；
(2)若 有两个极值点 ．
（ⅰ）求 的取值范围；
（ⅱ）证明： ．
题型8 导数与不等式证明
一、利用导数证明或判定不等式问题
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
一、解答题
1．（2025·山东青岛·一模）已知函数 ， .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，证明： .
2．（2025·湖北鄂州·一模）已知函数 有两个零点.
(1)求 的值；
(2)证明：当 时， .
3．（2025·江西·二模）已知函数 ．
(1)若函数 在定义域上单调递增，求 的取值范围；
(2)若 ，证明： ；
(3)设 ， 是函数 的两个极值点，证明： ．
4．（2025·重庆·模拟预测）已知函数 ， ， .
(1)证明： .
(2)讨论函数 在 上的零点个数.
(3)当 ， 时，证明： ， .5．（2025·山东淄博·一模）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)证明： 时， ；
(3)若不等式 对任意的 都成立（其中 是自然对数的底数），求整数 的最大值．
题型9 导数与数列
导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变
量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不
等式常由第一问根据特征式的特征而得到.
一、解答题
1．（24-25高三上·浙江嘉兴·阶段练习）已知关于x的函数 ，其图象与x轴相切．
(1)求 的表达式；
(2)证明： ；
(3)设数列 ，（ ）， 的前n项和为 ，证明： ．
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数 .
(1)讨论函数 极值点的个数；(2)当 时，数列 满足： .求证： 的前 项和满足 .
3．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知 .
(1)求证：当 时， ；
(2)设 .
（ⅰ）求证：数列 为递减数列；
（ⅱ）求证： .
4．（2025·江西·一模）已知函数 是区间 上的可导函数，数列 满足 ，若点
与 所在直线的斜率存在，且与 的图象在 处的切线斜率相等，
则称 为 的“ —和谐数列”.
(1)若 ， ， 是 的“1—和谐数列＂，且 ，求 ；
(2)若 ， .
①判断 在 上的单调性；
②若 是 的“ —和谐数列”，且 ，求证： .
5．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数 有两个不同的零点 .
(1)证明： ；(2)当 时，求 的最大值；
(3)若 ，数列 满足 ，证明： .
题型10 导数中的新定义问题
导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新
概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考
生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸．
一、解答题
1．（2025·贵州安顺·模拟预测）有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认
知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线
弯曲度．曲线的曲率定义如下：记 为 的导函数， 为 的导函数，则曲
线 在点 处的曲率为 ．
(1)已知函数 ，求曲线 在点 处的曲率 ；
(2)已知函数 ，求曲线 的曲率 的范围．
2．（2024·江西新余·模拟预测）偏导数在微积分领域中有重要意义.定义：设二元函数 在点
附近有定义，当 固定在 而 在 处有改变量 时，相应的二元函数 有改变量，如果 存在，那么称此极限为二元函数 在点 处对
的偏导数（计算时相当于将 视为常数），记作 ，若 在区域 内每一点 对 的偏
导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于 的偏导函数，它被称为二元函数 对 的偏导函数，
记作 .以上定义同样适用于三元函数.
(1)气体状态方程描述的三个变量 满足： （ 是非零常量）.求 的值，并说明
其为常数.
(2)求值：对 的偏导数 .
(3)将偏导数应用于包络线在金融领域可以发挥重要价值.在几何学中，某个平面内曲线族的包络线是跟该曲
线族的每条线都至少有一点相切的一条曲线，例如：曲线族 的包络线为 .不难发现：
对于任何一个给定的 的值，包络线与原曲线的切点 的 总是对应 值在参数取遍后得到的极值.
已知函数 的包络线为 .
（i）求证： .
（ⅱ）设 的极值点构成曲线 ，求证：当 时， 与 有且仅有一个公共点.
3．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）定义：如果函数 在定义域内，存在极大值 和极小值
，且存在一个常数 ，使 成立，则称函数 为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数 .
(1)当 时，判断 是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在 使 的极值差比系数为 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由；
(3)若 ，求 的极值差比系数的取值范围.
4．（24-25高三上·山西阳泉·期末）如果函数 的导数 ，可记为 .若
，则 表示曲线 ，直线 以及 轴围成的“曲边梯形”的面
积.
(1)求曲线 在 上与 轴围成的封闭图形的面积；
(2)当 时，求证： ；
(3)求证： .
5．（24-25高三下·湖北·阶段练习）意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然
下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、
双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数 的图象，现定
义双曲正弦函数 ，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知 ）
(1)证明：①倍元关系： ；②平方关系：
(2)对任意 ，恒有 成立，求实数a的取值范围；(3)证明： ．
6．（2025·辽宁·模拟预测）给定两个正整数 ，函数 在 处的 阶帕德逼近定义为
，且满足 （注： 为
的导函数， 为 的导函数， 为 的导函数，以此类推）.已知函数 .
(1)记 为 在 处的 阶帕德逼近，判断函数 的单调性；
(2) ，求 的取值范围；
(3)求证： （ 为自然对数的底数）.
