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大题 函数及导数
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根据近几年的高考情况，解析几何是高考解答题必考题目，考查的内容比较多，比较广泛。本篇主要总结
了高考中经常出现的定点，定值，以及面积面积范围问题。对于解析几何中的范围问题，非对称问题。新
高考中新定义问题也是解析几何考查的一个重要方向。预计2025年高考中解析几何依然会以这几种形式出
现。
题型一 利用导数中恒成立或不等式求参数范围
1．（24-25高三上·安徽安庆·期末）已知函数 ， ， 为函数 的导函数．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若任意 ， 恒成立，求a的取值范围．2（2025·广东佛山·二模）已知函数 ，其中 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知 ，若 对任意的 恒成立，求 的最小值．
对于含有参数的不等式来说，要求参数的取值及取值范围。一般采用参编分离的思想，将参数移到一
边，从而重新构造函数，求出函数的单调性，从而求出参数的取值范围。对于含有两个参数的，一般是
将两个参数转换成一个参数处理。利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进
行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， .
（2025·陕西·一模）已知 ，函数 在 处取得极值．
(1)求a；
(2)证明：对任意的m， ，都有 ；
(3)若存在实数 ，使得 成立，求k的最小整数值．2．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知函数 （a为实常数）．
(1)若 ，求证： 在 上是增函数；
(2)当 时，求函数 在 上的最大值与最小值及相应的x值；
(3)若存在 ，使得 成立，求实数a的取值范围．
题型二 证明恒成立及不等式问题
1（2025·山东青岛·一模）已知函数 ， .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，证明： .2（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 ，证明：当 时， ．
求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， .
1（25-26高三上·上海·单元测试）设函数 ，其中 ，曲线 过
点 ．2（24-25高三下·重庆·开学考试）已知函数 ， ．
(1)若函数 在 单调增，求实数a的取值范围：
(2)当 时， ，求实数a的值；
(3)求证： ．
题型三 极值点偏移问题
1（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数 ，
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)若 时， 恒成立，求 的范围；
(3)若 在 内有两个不同零点 、 ，求证： .2（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数 ， .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 ，求 的取值范围；
(3)若 有两个实数解 ， ，证明： .
极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数 存在两个零点 且 ，求证： （ 为函数 的极值点）；
2.若函数 中存在 且 满足 ，求证： （ 为函数 的极值点）；3.若函数 存在两个零点 且 ，令 ，求证： ；
4.若函数 中存在 且 满足 ，令 ，求证： .
1（2025·青海海南·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性．
(2)假设存在正实数 ，满足 ．
（i）求实数 的取值范围；
（ii）证明： ．
2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知 ．
(1)当 时，讨论函数 的极值点个数；
(2)若存在 ， ，使 ，求证： ．题型四 函数导数中隐零点问题
（24-25高三上·河北·期末）已知函数 ， ， ．
(1)若 ，函数 在 上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若 ， ，求函数 在 上的零点个数．
2（24-25高三上·江西宜春·期末）已知函数 .
(1)当 时， ，求实数 的取值范围；(2)判断函数 在 的零点个数，并说明理由.
隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我
们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.
基本步骤：
第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程 , 并结合 的单调性
得到零点的范围;
第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到 的最值表达式;
第 3 步: 将零点方程 适当变形, 整体代入 最值式子进行化简:
（1）要么消除 最值式中的指对项
（2）要么消除其中的参数项;
从而得到 最值式的估计.
二、函数零点的存在性定理
函数零点存在性定理：设函数 在闭区间 上连续，且 ，那么在开区间 内
至少有函数 的一个零点，即至少有一点 ，使得 .
三、隐零点的同构
实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看
到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简
方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.
四、一般思路
针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的
函数，再来求原函数的极值或者最值问题或证明不等式。构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数
值域或者证明不等式恒成立问题。在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取
含参的特殊值来确定零点存在区间。
1（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 有3个零点 ， ， ，其中 .求实数 的取值范围.
2 （2025·山西晋中·模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 在区间 上的最小值；
(2)判断函数 的零点个数，并证明.题型五 函数导数与其他知识点相结合
1（2025高三下·全国·专题练习）已知实数 ，函数 （e为自然对数的底数）．
(1)求函数 的单调区间及最小值；
(2)若 对任意的 恒成立，求实数a的值；
2（2025·甘肃·一模）函数 ，且 .
(1) 时，判断 的单调性；(2)若 ，判断 与 的大小 ，且 ，并说明理由；
(3)证明：对于任意的 ，有
.
1（24-25高三下·河南信阳·开学考试）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 是 的一个极大值点．
（i）证明： ；
（ii）设 ， ， 是 的3个极值点，若存在 ，使得 ， ， ， 成递增的等差数列，求该
等差数列的公差．2．（22-23高三上·湖南长沙·开学考试）已知数列 的前n项和为 ，且满足 （
）， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)当 时，数列 满足 ，求证： ；
(3)若对任意正整数n都有 成立，求正实数 的取值范围.
题型六 函数导数的新定义问题
1（24-25高三上·湖北·期末）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻
找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数 和 满足下列条件：
① ，
②在点a的去心邻域内 与 可导，且③ ，那么 据此回答下面问题：
(1)求 的值，并用导数的定义证明：
(2)已知
（i）求函数 的单调递减区间;
（ii）若 对任意 恒成立，求实数a的取值范围.
（24-25高三上·山东青岛·期末）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式
近似特定函数的方法，给定两个正整数m，n，函数 在 处的 阶帕德近似定义为：
，且满足： ， ， ，……，，注： ， ， ， ，
……已知函数 ．
(1)求函数 在 处的 阶帕德近似 ．
(2)在（1）的条件下：
①求证： ；
②若 恒成立，求实数m的取值范围．
对于新定义的导数题目，注意理解题目给出的新定义所包含的意义，充分利用题目给出
的新定义的例题去解决实际问题，一般考查学生的举一反三能力以及创新能力。
1（24-25高三上·河南·期末）拉格朗日是十八世纪著名的数学家，在数学领域作出了重大贡献，人们常把很多数学领域中新的发现用他的名字命名.如对一组数据（ ）（ 互不相等）进行研究时，
记 时 ，
，称 为这组数据的拉格朗日插值多项式.
(1)试求数据 的拉格朗日插值多项式 的表达式；
(2)对于（1）中求出的 ，若函数 满足 ，
（i）研究 的单调性；
（ii）若 有两个零点，求 的取值范围.2（2025·广东江门·一模）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂，那么项链
所形成的曲线是悬链线．在17世纪，惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利等得到悬链线方程是
，其中c为参数．当 时，该方程就是双曲余弦函数 ．相应地就有双曲
正弦函数 ．已知三角函数的三个关系式：①平方关系： ；②二倍角关系：
；③导数关系：
(1)类比关系式①②③，写出 和 之间的三种关系式（不需要证明）；
(2)当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围；
(3)设无穷数列 满足 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存
在，说明理由．1．（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习）已知 、 ，函数 ．
(1)若曲线 在 处的切线方程为 ，求 的值；
(2)若函数 在 上单调递增，求 的取值范围；
(3)若对 ，函数 至多有两个零点，求 的取值范围．
2．（2025·山西·一模）已知函数 .
(1)判断函数 的单调性；
(2)若存在 ，使得 ，求 的取值范围.3．（2025·浙江·一模）已知函数 ，其中 .
(1)若函数 是偶函数，求 ；
(2)当 时，讨论函数 在 上的零点个数；
(3)若 ， ，求 的取值范围.
4．（24-25高二上·湖南长沙·期末）设函数 （ ）.
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)当 时，曲线 与直线 交于 ， 两点，求证： ；
(3)证明： （ ， ）.5．（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间与极值；
(2)若数列 满足 ，记 为数列 的前 项和. 求证：
①当 时， ；
②当 时， .
6．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数 .
(1)若 有唯一极值，求 的取值范围；
(2)当 时，若 ， ，求证： .7．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，讨论 的单调性．
(2)已知关于 的方程 恰有 个不同的正实数根 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）求证： ．
8．（2025·广西·一模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)证明： ．
一、解答题
1．（2024·新高考Ⅰ卷·高考真题）已知函数
(1)若 ，且 ，求 的最小值；
(2)证明：曲线 是中心对称图形；
(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围．2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 在 存在极值，求a的取值范围.
7．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
8．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 各恰有一个零点，求a的取值范围．
9．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
10．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．11．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
