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培优专题 04 导数的综合应用问题
题型01 利用导数讨论函数单调性
抓关键 · 破难点
导数的符号直接决定函数的单调性——若函数在区间上导数大于零，则函数严格递增；若导数小于零，
则函数严格递减。这是上海高考导数应用的基础考点。
先确定函数的定义域（这是最容易忽略的扣分点），再求导并化简导函数表达式，然后解导数大于零或
小于零的不等式，所得区间即为单调区间。对于含参函数，需根据参数取值对导数零点的大小关系进行
分类讨论。
通过题干条件的细微设计来区分学生层次。命题注重“基础锚点”与“障碍设计”的结合——表面考查
求导运算，实际考验定义域意识、分类讨论的严谨性以及与不等式证明的综合能力。
刷经典 · 通方法
1．（25-26高三上·上海·开学考试）已知 为常数，函数 ．
(1)根据 的不同取值，讨论函数 的奇偶性，并说明理由；(2)若 ，判断函数 在 上的单调性，并求它的单调区间．
2．（25-26高二下·上海·月考）已知函数 ；
(1)若函数 在 处取得极小值－4，求实数 的值；
(2)写出当 时函数 的单调区间；
3．（2025高三·专题练习）已知函数 （m， ， ）.
(1)若函数 的两个极值点为0与 ，求m，n的值及函数 的单调区间；
(2)若 ，求证：当 时，函数 在区间 上单调递增.
4．（2025高三·全国·专题练习）已知 ，函数 ，当 时，讨论函数
的单调性.
单调递增 单调递减
题型02 利用导数求极值或最值
抓关键 · 破难点
极值点是导数为零的点，但需验证该点两侧导数符号是否相反（左正右负为极大值，左负右正为极小
值）；最值是极值与端点值的比较结果。
求极值时先求导，解方程得到可疑点，再列表分析各点两侧导数符号，判断是极大值还是极小值。求最
值时需计算所有极值点及端点处的函数值，比较后取最大或最小。
已知极值或最值反求参数，通常先求导，根据极值点处导数为零列方程；或根据最值在端点或极值点处
取得，建立含参方程后分类讨论求解。
上海卷常在解答题中考查，通常第一问求单调性或极值，第二问结合不等式或零点问题。重点在于讨论
过程的完整性，尤其含参分类讨论的标准（如参数与定义域的关系、导数零点的大小比较）是得分关
键。刷经典 · 通方法
1．（2025·上海·高考真题）已知 ．
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若函数 满足在 上存在极大值，求m的取值范围；
2．（25-26高三下·上海·月考）已知函数 ， ， 为自然常数．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)若函数 在区间 上有最小值 ，求实数 的值．
3．（2025·上海静安·一模）已知函数 （ ）的图象关于点 成中心对称的充要条件是
（ ）是奇函数；如果一个函数 的图象关于点 成中心对称，则称这
个函数是点 奇函数，其中点 为对称中心；设函数 ， .
(1)若函数 是点 奇函数，求实数 的值；
(2)证明：对于任意给定的实数 ，函数 存在两个极值点；若 是 的极小值点，求出
的所有极值点；
(3)若 是 的极大值点，函数 是否是点 奇函数？若是，求出对称中心 ；若
不是，请说明理由.
4．14．（2025·上海黄浦·三模）已知函数 是定义在D上的连续函数，其导函数为 ，函
数 的导函数为 ，定义函数运算： ．(1)若 ，求出函数 的极值点 ，并判断 的符号；
(2)若 ， ，讨论方程 解的个数；
(3)若 ，当 ， ，记 与 中较大者为 ．证明： ．
题型03 利用导数解决恒成立（能成立）
抓关键 · 破难点
恒成立问题通常转化为函数最值问题——若f(x)≥a恒成立，则 f(x)min≥a；能成立问题则转化为
f(x)max≥a。利用导数求出函数的最值后建立不等式。
分离参数法：将参数与变量分离，得到a≥g(x) 或 a≤g(x) 的形式，然后求g(x)的最值。分离后
函数结构通常更简单，便于求导分析单调性。
分类讨论法：当参数无法分离或分离后函数复杂时，直接构造函数 F(x)=f(x)-a，利用导数研究其
最小值，通过最小值与0的比较确定参数范围。需注意定义域对最值的影响。
上海卷恒成立问题常与不等式证明结合出现在压轴题中，强调逻辑推理的严谨性。近年来命题倾向于
“避免单纯分类讨论”，转而要求考生敏锐观察函数结构特征，通过“放缩”或“端点效应”先探路，
再针对性讨论。
刷经典 · 通方法
1．（2026高三·上海·专题练习）已知函数 ．当 时， 恒成立，求
的取值范围．
2．（2026高三·上海·专题练习）已知函数 ， ，其中 为自然对数的底数，
,若对任意的. .，总存在 ，使得 ，求 的取值范围.
3．（2026高三·上海·专题练习）设函数 ，其中 .若对
，都 ，使得不等式 成立，求a的取值范围.
4．（25-26高三下·上海·月考）设 ，已知 ．
(1)若 ，求曲线 在 处的切线方程；(2)若当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
5．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数 ， ， .
(1)求函数 在区间 上的最小值；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围；
(3)对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
题型04 利用导数解零点问题
抓关键 · 破难点
零点问题转化为函数图象与x轴的交点问题，利用导数研究函数的单调性、极值（最值）和端点符号，通
过分析函数走势判断零点个数。
解题流程：先求导确定函数单调区间和极值点，再计算各极值及区间端点的函数值，结合零点存在定理
（端点值异号则存在零点）分析零点分布。零点个数取决于极值的符号——极大值大于 0且极小值小于0
时通常有三个零点。
含参零点问题：根据参数变化讨论函数极值的符号，确定零点个数的临界情况。常用方法：分离参数转
化为a=g(x)的方程，利用导数求 g(x)g(x) 的值域和单调性，通过分析y=a 与y=g(x) 图象的交点
个数反推零点个数。
上海卷常在压轴题中考查，综合性强，常与不等式、恒成立等问题结合。解题关键在于准确画出“草
图”——通过导数和极限分析函数变化趋势，再数形结合求解参数范围。
刷经典 · 通方法
1．（2026高三·上海·专题练习）设函数 ．记 ，若 ，试讨论 在
上的零点个数．
2．（2026高三·上海·专题练习）已知函数 ，讨论函数 的零点个数.
3．（2026高三·上海·专题练习）已知
(1)若 ，求函数 在 处的切线方程；(2)令 ，若函数 在 处有极值，且关于 的方程 有3个不同的实根，
求实数 的值和实数 的取值范围.
4．（2026高三·上海·专题练习）已知函数 是定义在D上的连续函数，其导函数为 ，函
数 的导函数为 ，定义函数运算： .
(1)若 ，求出函数 的极值点 ，并判断 的符号；
(2)若 ， ，讨论方程 解的个数；
5．（2026高三·上海·专题练习）已知 ， ， ，若方程 在区间
上有两个不相等的解，求 的取值范围.
6．（25-26高三上·上海浦东新·期中）设二次函数 ，且函数图象与 轴交于 .
(1)求函数 的解析式；
(2)求 的图象在点 处的切线方程；
(3)若函数 在区间 上有两个不同的零点，求实数 的取值范围；
题型05 函数新定义
抓关键 · 破难点
新定义压轴题是上海卷的热点问题，承担保证试题区分度的使命。解题的本质是“翻译”——将题目给
出的新概念、新规则转化为已学的导数与函数知识，再用常规方法求解。
先逐字逐句理解定义，通过举正例和反例明确新概念的内涵；再将新定义“降维”转化为熟悉的数学语
言，如将新性质转化为方程或不等式。这类问题形式新颖，但其核心仍依托导数与函数的基础知识，深
入理解函数与导数的本质是关键。
上海卷的导数新定义题从不考“偏题怪题”，但总能通过题干条件的细微设计，区分出“会算题”和
“懂数学”的学生。命题注重转化与化归、数形结合的思想，重点考查学生的数学抽象、逻辑推理和直
观想象等核心素养。解题时需紧扣定义，通过特例探索规律，避免被“新”吓住。
刷经典 · 通方法1．（2025·上海普陀·一模）设函数 的定义域为 ，导函数为 ，对于实数 ，若存在
，使得 成立，则称函数 具有性质 ．
(1)若函数 ，请判断该函数是否具有性质 ，并说明理由；
(2)设 ，若函数 具有性质 ，且 的值恰有三个，求 的取值范围；
(3)若函数 ，求证：该函数具有性质 的充要条件是
0
0 + 0
↘ 极小值0 ↗ 极大值 ↘
2．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知函数 ， 的导函数为 ，其中 ，
若对于任意的 ，都有 ，则称函数 ， 满足“性质 ”.
(1)设 ，求曲线 在点 处切线的方程；
(2)设 ， ，若函数 ， 满足“性质 ”，求 的取值范围；
(3)如果正数 满足：对于任意满足“性质 ”的函数 ， ，都有 ，求 的取值集合.
3．（2025·上海闵行·一模）已知函数 的定义域为 ，对于 ，若 ，
且 ，则称 为 的一个“ 点”，记 为 的所有“ 点”构
成的集合．
(1)若 ，分别判断 与1 是否正确；(2)证明：“ ”的一个充要条件为“当 时， ”；
(3)已知 ， ，其中 、 ，记
， ．若 ，求 的取值范围．
4．（2025·上海奉贤·一模）记 ， 分别为函数 和 的导数，存在 ，
满足 且 ，则称 为 和 的一个“ 点”．
(1)若函数 与 存在“ 点”，求实数 的值；
(2)证明函数 与 不存在“ 点”；
(3)已知函数 ， ，对任意的 ，判断是否存在 ，使得函数 和
在区间 内存在“ 点”，请说明理由．
5．（2025·上海崇明·一模）已知函数 ，其导函数是 ．对于任意 ，记曲线
在点 处的切线方程为 ．定义集合 ．
(1)若 ，求集合 ；
(2)若定义域 且函数 是偶函数，证明：若 则 ；
(3)设 ，若集合 ，求实数 的取值范围．
