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培优专题 01 解三角形 6 大重难题型
参考答案
题型01三角函数图象性质与三角恒等变换
1．【答案】(1)选择①②或②③，
(2)
【分析】
【详解】（1）选择①②
由题意，函数
，
因为函数 图象的相邻两对称轴间的距离为 ，所以 ，可得 ，
又由函数 为奇函数，可得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以函数 .
（选择②③证明过程和①②一致；因为①的推论为 ，与③一致，故不可选择①③）
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 的图象，
再把横坐标缩小为原来的 ，得到函数 的图象，
当 时， ，当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，
当 时，函数 取得最大值，最大值为 ，
故函数 的值域 .
2．【答案】(1)选择①，不符合条件，选择②或选择③， ；
(2)最大值为 ，最小值为
【分析】
【详解】（1）选择条件①：
由函数 ， 是偶函数，
则 ，因为 ，
则此时 不存在，即函数 不存在；
选择条件②： 右移 个单位后为奇函数。
平移后函数为 ，
因为 为奇函数，
所以 ，解得： ，
因为 ，所以 ，此时
选择条件③： 在 上单调递增，
正弦函数 的单调递增区间为 ， ，
因为 在 上单调递增，所以 ， ，解得：
因为 ，所以 ，此时 ，
后续最值与条件②一致，
（2）当 时，即 ，
当 时， ，
当 ，即 时， ，
当 ，即 时，
3．【答案】(1) ；
(2) ， .
【分析】
【详解】（1）由 ，得 ，而 ，
所以 .
（2）函数 ，
由表格中数据知， 是函数 图象的对称轴，对称中心可能为 或 ，
又所给取值在函数 的一个周期内，则周期 ， ，
则 或 ，解得 或 ，则 或 ，而 ，因此 ， ，
由 ，得 ，又 ，则 ，
所以 的解析式是 ；
由 ，得 ，
所以 的单调递增区间是 .
4．【答案】(1) ，
(2)
【分析】
【详解】（1）由题意得，
.
若选条件①：因为 是 图象的对称轴，所以 ，不可能满足 ，
所以不能选择条件①；
若选条件②：因为 在区间 上单调递增， 是 图象的对称轴，当 时， 取
到最小值，
所以 的最小正周期 ，且 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故 ，
所以 ， ，即 ， ，因为 ，所以 .
若选条件③：因为 在区间 上单调递增， 是 图象的对称轴， ，
所以 的最小正周期 ，且 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故 ，
所以 ， ，即 ， ，
因为 ，所以 .
（2）由（1）知， ，
因为 ，所以 ，
因为函数 在区间 上单调递减，
所以 ，解得 ，
故实数m的最大值为
5．【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】
【详解】（1）解：若 ，可得 ，
所以 .
（2）解：由，
若选择条件①：
由 ，可得 ，所以 ，因为 ，可得 不存在；
故只能选择条件②③：
由 ，由 且 的最小值为 ，
可得 ，可得 ，可得 ，所以 ，
此时 ，
又由 图象关于直线 对称，可得 ，
即 ，所以 ，可得 ，
因为 ，可得 ；
所以 ，当 时， ，
时， 取最大值 ，
所以， .
6．【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）
，
因为 的最小值为 ，所以 ，所以 ；（2）因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
若选择条件①：函数 的图象的对称轴为 ，
所以 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，
因为 ，故 ，且 ，对应的 满足题意，
所以函数 存在且不唯一；
若选择条件②：因为 在区间 上单调，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
因为 的图象关于点 对称，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，解得 ，因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，此时当 时， ，
故 在 上单调减，故 符合题设要求.
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ；
若选择条件③：因为 的最小正周期 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 或 ，
所以 或 ，
当 时， ，因为 ，所以 ，此时 ，
当 时， ，因为 ，所以不存在满足不等式的 ，此时 无解，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
7．【答案】(1) ，
(2)答案见解析
【分析】
【详解】（1）因为
，
当 时， ，则 ，
令 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ；（2）因为 ， 在区间 上单调递增，且 ，
所以 ，解得 ；
若选①： ，又 在区间 上单调递增，
所以曲线 关于 对称，且点 在曲线的递增部分上，
则 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
则 ，所以 的最小正周期为 ；
若选②： 是 的一个极值点，又 在区间 上单调递增，
所以 在 处取得最大值，
则 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
则 ，所以 的最小正周期为 ；
若选③： 是 的一个零点，
则 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 或 ，
当 时， ，所以 的最小正周期为 ；当 时， ，所以 的最小正周期为 ；
则函数 唯一，不符合题意.
题型02正余弦定理解三角形的边角问题
8．【答案】(1)
(2)选择条件①②, ②③,可得 ，选择①③，不合题意
【分析】
【详解】（1）由 ，将 代入得： ，
根据正弦定理 ，可得 ，即
已知 ，代入得： ，
在 中， ，约去 ，得 ，
又因为 ，所以 ；
（2）选择条件①、②来作解答：
已知 ， ， 在 上， ， ，
故 ，
在 中，由余弦定理可得： ，
在 中，由余弦定理可得： ，
代入已知条件得： ，由上两式消 整理可得，
，
若 ，代入上式可得 ，此时判别式小于0，该方程无解；
若 ，代入上式可得 ，
解得正根 ，
代入： ，
此时三角形的解是唯一一组解，故满足题意，
则 .
选择条件①、③来作解答：
已知 ， 在 上， ， ， ，
在 中，由正弦定理可得： ，
当 为锐角时，由 ，可得 ，
在 中，由余弦定理可得： ，
整理得： ，
在 中，由余弦定理： ，
代入已知条件得： ，
解得： 或 ，
由于 为钝角，则满足 ，即 ，
故 ，此时 ，当 为钝角时，由 ，可得 ，
在 中，由余弦定理可得： ，
整理得： ，
在 中，由余弦定理： ，
代入已知条件得： ，
解得： 或 ，
由于 为锐角，则满足 ，即 ，
故 ，此时 ，
则此时三角形 为等边三角形，
故满足题意的三角形有两个，不满足题意，故不能选①、③来作解答；
选择条件②、③来作解答：
已知 ， 在 上， ， ， ，
过点 作 ，垂足为 ，因为 ，所以 ，
由点 在 上，可知 为锐角，则 ，
又由 ， ，在直角三角形 中，可解得： ，
再由 ，可得 ，再由 ，可得 ，即 ，
在 中，由余弦定理： ，
代入已知条件得： ，
解得： 或 ，
由于 为钝角，则满足 ，即 ，
故 ，此时 ，
此时三角形的解是唯一一组解，故满足题意，
则 .
9．【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）在 中，由正弦定理得： ，可得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 ．
因为 ，所以 ，所以 ，可得 ．
（2）因为 的面积为 ， ，由（1）知 ，
所以 ，得 ，
所以 ，可得 ，
所以 ，所以 ．
在直角 中， ，可得 .
10．【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】
【详解】（1）选择①，在 中，由 ，得 ，而 ，则 ，矛盾，
所以这样的 不存在.
选择②，由 及正弦定理得 ，
则 ，于是 ，解得 ，
所以 .
选择③， ，而 ，
则 ，即 ，
又 ，所以 ，
故 .
（2）选择②，由余弦定理得 ，
即 ，而 ，解得 ，
所以 .
选择③， ，
由正弦定理 ，则 ，所以 .
11．【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）在 中，因为 ，
由正弦定理 及 ，得 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
所以 ．
（2）因为 ，
由余弦定理 ，得 ，
所以 ．设 边上的高为 ，
又 的面积 ，
所以 ，
所以AB边上的高为 ．
12．【答案】(1) ， ；
(2)证明见解析.【分析】
【详解】（1）在 中 ,所以 是锐角，.
由 ，可得 ，而 ，
所以 ，
可得 ，则 ，
故 ；
（2）由（1）易知 ，则 ，
由（1）及余弦定理有 ，
所以 ，又 ，则 .
13．【答案】(1) ；
(2)选择①无解；选择②和③ ABC面积均为 .
△
【分析】
【详解】（1）由题意得 ，因为 为钝角，
则 ，则 ，则 ，解得 ，
因为 为钝角，则 .
（2）选择① ，则 ，因为 ，则 为锐角，则 ，
此时 ，不合题意，舍弃；
选择② ，因为 为三角形内角，则 ，则代入 得 ，解得 ，
,
则 .
选择③ ，则有 ，解得 ，
则由正弦定理得 ，即 ，解得 ，
因为 为三角形内角，则 ，
则
，
则
14．【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由 ，得 ．
由 ，得 ，故 ，
所以 ．（2）由正弦定理得， ，即 ．
由余弦定理得， ，
即 ，解得 或 （舍）．
所以 ，
故 ．
题型03解三角形中边长与周长的最值范围
15．【答案】(1) ；
(2)3.
【分析】
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
即有 ，
又因为 ，
所以 ；
（2）解：因为 ， ，
所以 ，
当 时，等号成立，
所以 ，
故 的最小值为：3.
16．【答案】(1)(2)答案见解析
【分析】
【详解】（1）由 可得 ,
因为在 中 ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 .
（2）（i）若选条件① ，结合（1） 及 ，
由正弦定理 ,可得 ，
则满足条件的三角形不存在，故不能选条件①，
若选条件②： ，结合（1） 及 ，
由余弦定理 ，可得 ，解得 ，
易知 ，故此时满足条件的三角形唯一.
所以 .
若选条件③： ，结合（1） 及 ，
因为 ,所以 为锐角,
由 ,可得 ，
因为在 中
所以 .
易知满足条件的三角形唯一.由正弦定理 ,可得 ,
所以 .
（ii）由余弦定理 ，
可得 ，
结合基本不等式 ，可得 ，
解得： ,当且仅当 ，原式取等.
又在 中易得 .
所以 周长 .
周长的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：在求解对边对角模型问题中的周长或面积范围时常见有2种方法：
（1）借助余弦定理、基本不等式及三角形的性质，进行适当放缩；
（2）利用正弦定理边化角，转化为三角函数求值域问题.
17．【答案】(1)
(2)3
【分析】
【详解】（1）因为锐角 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ， .（2）解法一：由正弦定理可得 ，
所以
，
在锐角 中， ，
所以当 ，即 时， 取最大值，
.
解法二：由余弦定理可得 ，
代入得 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，
当且仅当 时等号成立，
所以 .
18．【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .
【分析】
【详解】（Ⅰ） ，
设 边上的高为 ，
，
.
（Ⅱ） ，，
，
，
，
，
，
.
（Ⅲ） ， ，
，
，
，
，
， ，
，当且仅当 时，等号成立.
，
，
，
当且仅当 时， ，此时周长 的最大值等于 .
19．【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，故 .
（2）由正弦定理 ，可得 ，
所以 ， ，所以 .
因为 ，所以 ，
因为
，
所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
所以 ，即 ，所以 ，
即△ 周长的取值范围为 .
20．【答案】(1)
(2)【分析】
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，
在 中， ， ，
，
，因为 ，所以 ，所以 ，
， ；
（2）由正弦定理得 ， ，
所以
，
因为 是锐角三角形，
所以 ， ，
即 且 ，
所以 ，所以 ，
即 ，
所以 ，所以 ，
三角形周长的取值范围为 ．题型04解三角形中面积的最值范围
21．【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）首先根据三角函数恒等变换得到 ，再求其单调减区间即可.
（2）首先根据 得到 ， ，根据余弦定理和基本不等式得到 ，再求
面积的最大值即可.
【详解】（1）由题意 ．
由 ，得 ，
所以 的单调递减区间是 ．
（2）因为 ，所以 ，
由题意 是锐角，所以 ，
由余弦定理： ，可得 ，
所以 ，且当 时成立．
所以 ， 面积最大值为 ．
22．【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由题可得，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以
，
因为 ，则 ，所以 ，
所以 的值域为 ；
（2）由（1）得 ，又 ，所以 ，
即 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 的最大值为 ，
所以 ，即 的面积最大值为 .
23．【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）在 中， ，而 ，即 ，
，由余弦定理得 ，所以 .
（2）由（1）知， ， ，而 ，于是 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
因此 的面积 ，
所以当 时， 面积取得最大值 .
24．【答案】(1) ，
(2)
【分析】
【详解】（1）在锐角 中，由正弦定理得 ，
又 ，
∵ ，
所以 ，
则 ，
在锐角 中， ，
，即 .
，（2）由（1）得 ，
由正弦定理： ，得
因为 为锐角三角形，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
故 面积的取值范围为 ．
25．【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由正弦定理，因为 ，
所以 ，化简整理得 ，
由余弦定理， ，
，
．
（2）由（1）知 ， ，由正弦定理可得 ，
面积 ，又 ， ，
又 ，其中 ，
当 ，即 时，面积有最大值，为 ．
题型05解三角形中涉及角平分线问题
26．【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由已知 ，
又由正弦定理可得 ，
又 ，所以 ，
则 ，又 ，即 ，
又 ， ，即 ，
则 ，所以 ， ；
（2）由已知 ，所以 ，
因为 为角 的角分线，
故 ，
所以 ，
即 ，解得 .
27．【答案】(1)
(2)正确条件为①③，（i） ，（ii）
【分析】
【详解】（1）由题设 ，
而 ，
所以 ，故 ；
（2）若①②正确，则 ，得 或 ，
所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，
若②③正确，则 ，可得 ，即②为错误条件，
综上，正确条件为①③，
（i）由 ，则 ，即 ，
又 ，可得 ，
所以 ，可得 ，则 ，
故 ；
（ii）因为 且 ，得 ，
由 平分 得 ，
在 中， ，在 中，由 ，得 ．
28．【答案】(1) ；
(2)条件 正确，(i) ；(ii) .
【分析】
【详解】（1） ，
，
，
，得 Z，
由 ，得 ；
（2）若条件①正确，由 ，得 ，
由余弦定理，得 ，即 ，
解得 不符合题意，故条件①不正确，则条件②③正确；
(i)由 ， ，
得 ，解得 ，
由余弦定理，得 ，
因为 ，所以 ，由正弦定理，得 ，即 ；
(ii)由正弦定理，得 ，即 ，
因为 平分 ， ，所以 ，
在 中，由正弦定理，得 ，
在 中，由正弦定理，得 ，
又 ，上述两式相除，得 ，
解得 ，所以 .
29．【答案】（1） ；（2） .
【分析】
【详解】（1）在 中，由余弦定理可得 ，所以
由三角形的面积公式可得 ，
因为 ，所以 ，
整理可得： ，即 ，
因为 ，所以
（2）由（1）知： ， 为 的角平分线，所以 ，由 可得
在 中，由正弦定理可得： ，即 ，
因为 ，
所以 ， ，
由 可得：
整理可得： ，解得： ，
所以线段 的长为 .
30．【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
即 ，
所以 ，因为 ，则 ，可得 ，
则 ，故 ；
（2）由 ，解得 ，
因为 ，即 ，
即 ，
解得 .
31．【答案】(1) ；
(2) .
【分析】
【详解】（1）已知 ，
由正弦定理得 ，
，
，
又 ，所以 ，
，即 ，
，即
又 ，所以 ，
所以 ，则 ；（2）由（1）知 ，
则 ，所以 ，又 ，
由余弦定理有 ，
，则 ，
又 为 的角平分线，则 ，
则 ，
.
题型06解三角形中涉及中线问题
32．【答案】(1) ， .
(2) ， .
(3) ，
【分析】
【详解】（1）因为
.
由 .所以 .
所以函数 的最小正周期为： .
（2）由 ， .
， .
所以不等式 的解集为 ， .
（3）因为 ，所以 .
由题意： ，所以 ，
所以 .
如图：
设 ， ， ，
在 中，由余弦定理得： ①
在 中，由余弦定理得： ②
① ②得： .
在 ，由余弦定理得： .所以 ，因为 ，所以 .
所以 ，即 .
33．【答案】(1)角 为 ， 的面积为 ；
(2) .
【分析】
【详解】（1）由 ，得 ，且 ，
所以 ， .
（2）因AC边上的中线 ，
在 中， ，
即 ，又 ，
所以 ，消去 ， ，
即 ，解得 或 ，所以 或 .
当 时， ， 的周长 ；
当 时， ， 的周长 ；
故三角形 的周长 .
34．【答案】(1) ；
(2) ， .
【分析】【详解】（1）因为 ， ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 .
（2）因为 ， ，所以 ，
在 中， ，
根据余弦定理 得 ，
整理得 ，解得 或 （舍），
因为D为AC中点，故 ，
.
故中线 .
35．【答案】（1） ；（2）a＝1.
【分析】
【详解】（1） 由正弦定理可得： ，
因为 ，所以 ，即 .
因为 ，所以 ，即 .
（2）在 中， ，
所以 ，即 .
整理得： ，解得 （舍去）或 .36．【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
又因为 ，
即 ，即 ，
且 ，则 ，可得 ，即 ，
且 ，所以 .
（2）因为 ， ，
由题意可知： ，
又因为 ， ，
则 ，即 ；
，即 ；且 ；
可得 ，
所以 的余弦值为 .
37．【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，由正弦定理得 ，即
，
且 ，则 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
（2）由题意得 ，则 ，
即有 ，且 ，解得： ，所以 ，
故 的面积为 .
38．【答案】(1)
(2)
【分析】【详解】（1）由正弦定理得：
，再根据两角和的正弦公式展开得：
，
消去 ，整理得： ，
，两边同除以 得： ，
由辅助角公式得： ，
又 ，则 ，故 ，解得 ．
（2）由题意得： ，
平方得： ，化简得 ，
解得 舍 .
由余弦定理得：
的面积
