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第三章 一元函数的导数及其应用
必刷大题6 导数的综合问题
[分值：60分]
【高考考向预测】
近三年高考导数综合问题属于试卷压轴必考内容，考查频次极高，常以解答大题形式出现，
融合切线求解、单调区间判定、极值最值分析、零点探究、含参不等式恒成立与存在性证明等基
础考点，同时串联隐零点、端点效应、参数分离、极值点偏移、指对放缩、双变量构造等高频解
题技巧，题型综合性强、思维难度大，是拉开分数差距的关键题型；预测2027 年该类题型依旧为
高考重难点压轴题型，命题将进一步弱化固定解题模板，侧重复杂超越函数与分段函数结合考查，
增多区间限制型探究、多参数分类讨论、实际背景建模以及跨知识点融合设问，更加注重考查学
生等价转化、分类讨论、数形结合的数学思想，以及式子灵活变形、精准估值推理和完整规范书
写论证过程的综合解题素养。
【限时训练】
（45分钟）
1.(13分)已知函数f(x)=xex-mx2.
(1)求曲线y=f(x)在(0，f(0))处的切线方程；(4分)
(2)若函数g(x)=f(x)-ex在x=0处取到极小值，求实数m的取值范围.(9分)
【解析】(1)由题意，f'(x)=(x+1)ex-2mx，
则f'(0)=1，
又f(0)=0，故所求切线方程为y=x.
(2)由题意，g(x)=xex-mx2-ex，
故g'(x)=xex-2mx=x(ex-2m).
若m≤0，则ex-2m>0，
故当x∈(-∞，0)时，g'(x)<0，g(x)单调递减，
当x∈(0，+∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
故当x=0时，函数g(x)取到极小值；
若m>0，则令g'(x)=0，
解得x=0或x=ln(2m)，
要使函数g(x)在x=0处取到极小值，
1
则需ln(2m)<0，即0<m< ，
2
此时当x∈(-∞，ln(2m))时，g'(x)>0，
当x∈(ln(2m)，0)时，g'(x)<0，
当x∈(0，+∞)时，g'(x)>0，满足条件.( 1)
综上，实数m的取值范围为 −∞， .
2
2.(15分)已知函数f(x)=a
(1 x2−x )
+(x-2)ex(a∈R).
2
(1)讨论函数f(x)的单调性；(8分)
(2)若对∀x∈[2，+∞)，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.(7分)
【解析】(1)因为f(x)=a
(1 x2−x )
+(x-2)ex(a∈R)，
2
则f'(x)=a(x-1)+(x-2+1)ex=(x-1)(ex+a)，
①当a≥0时，ex+a>0，由f'(x)>0可得x>1，由f'(x)<0可得x<1，
所以函数f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增；
②当-e<a<0时，0<-a<e，则ln(-a)<1，
由f'(x)>0可得x<ln(-a)或x>1，由f'(x)<0可得ln(-a)<x<1，
所以函数f(x)在(-∞，ln(-a))，(1，+∞)上单调递增，在(ln(-a)，1)上单调递减；
③当a=-e时，f'(x)=(x-1)(ex-e)≥0在x∈R上恒成立，
所以函数f(x)在R上单调递增；
④当a<-e时，-a>e，则ln(-a)>1，
由f'(x)>0可得x<1或x>ln(-a)，
由f'(x)<0可得1<x<ln(-a)，
所以函数f(x)在(-∞，1)，(ln(-a)，+∞)上单调递增，在(1，ln(-a))上单调递减.
ax(x−2)
(2)f(x)= +(x-2)ex
2
=(x-2) ( ex+ a x ) ，
2
因为对任意的x≥2，有f(x)≥0，
a
所以当x≥2时，ex+ x≥0，
2
2ex
即a≥- ，
x
2ex
令g(x)=- ，x≥2，
x
2ex (x−1)
则g'(x)=- <0，
x2
所以函数g(x)在[2，+∞)上单调递减，
则g(x) =g(2)=-e2，故a≥-e2，
max
因此实数a的取值范围是[-e2，+∞).3.(15分)(2025·武汉模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，若f'(x)在区间D上单调递增，则称f(x)为区间
x
D上的凹函数；若f'(x)在区间D上单调递减，则称f(x)为区间D上的凸函数.已知函数f(x)= +λln(x+1).
ex
(1)若f(x)在[2，3]上为凹函数，求实数λ的取值范围；(6分)
(2)已知F(x)=f(x-1)，且F(x)在(1，+∞)上存在零点，求实数λ的取值范围.(9分)
1−x λ
【解析】(1)令f'(x)= + =m(x)，
ex x+1
x−2 λ
则m'(x)= - ，
ex (x+1) 2
依题意知，m'(x)≥0对任意的x∈[2，3]恒成立，
(x+1) 2 (x−2)
则 ≥λ在x∈[2，3]上恒成立，
ex
(x+1) 2 (x−2) x3−3x−2
令n(x)= = ，x∈[2，3]，
ex ex
1
则n'(x)= (-x3+3x2+3x-1)
ex
x+1
= (-x2+4x-1)>0，
ex
故n(x)在[2，3]上单调递增，
故n(x) =n(2)=0≥λ，
min
则实数λ的取值范围为(-∞，0].
x−1
(2)依题意得，F(x)=f(x-1)= +λln x，
ex−1
x−1
若λ≥0，当x>1时， >0，ln x>0，
ex−1
所以F(x)>0，F(x)在(1，+∞)上无零点，舍去；
λex−1−x2+2x
若λ<0，则F'(x)= ，令g(x)=λex-1-x2+2x，
xex−1
则g'(x)=λex-1-2(x-1)<0，
则g(x)在(1，+∞)上单调递减，且g(1)=λ+1，
①若λ+1>0，即-1<λ<0，此时g(2)=λe<0，
则存在m∈(1，2)，使得g(m)=0，即F'(m)=0，
故F(x)在(1，m)上单调递增，在(m，+∞)上单调递减，
所以F(m)>F(1)=0，
x−1 x−1 1
当x>m时，F(x)= +λln x< +λln x=1- +λln x<1+λln x，
ex−1 x x1
令1+λln x<0，解得x>
e
−
λ
，
1
因为
e
− λ>e>m，
1
且F(
e
− λ)<0，
所以存在唯一x
1
∈ (
m，e
− 1
λ
) ，使得F(x
1
)=0，满足条件；
②若λ+1≤0，即λ≤-1，此时g(x)<0，F(x)在(1，+∞)上单调递减，
又F(1)=0，所以F(x)<0，不符合题意，舍去.
综上所述，实数λ的取值范围为(-1，0).
ex−e−x
4.(17分)已知f(x)= ，g(x)=f(x)-ax.
2
(1)当a=1时，求函数y=g(x)在[0，+∞)上的最小值；(5分)
(2)若函数y=g(x)为增函数，求实数a的取值范围；(5分)
1 1 1
(3)若当x>0时，f(x)>x，证明： + +…+ >ln(n+1)，n∈N*.(7分)
❑√12+1 ❑√22+2 ❑√n2+n
ex−e−x
(1)【解析】当a=1时，g(x)= -x，
2
1
则g'(x)= (ex+e-x)-1，
2
因为ex+e-x≥2❑√ex·e−x=2，
当且仅当ex=e-x，即x=0时取等号，
所以g'(x)≥0在[0，+∞)上恒成立，
则g(x)在[0，+∞)上单调递增，
所以函数y=g(x)在[0，+∞)上的最小值为g(0)=0.
ex−e−x
(2)【解析】因为g(x)= -ax，
2
ex+e−x
则g'(x)= -a，
2
因为函数y=g(x)为增函数，
ex+e−x
则g'(x)= -a≥0恒成立，
2
由(1)知ex+e-x≥2❑√ex·e−x=2，
当且仅当ex=e-x，即x=0时取等号，
所以a≤1，即a的取值范围为(-∞，1].
(3)【证明】因为当x>0时，f(x)>x，ex−e−x
即 >x，即ex-e-x>2x，
2
1
令ex=t>1，则t- >2ln t，
t
√ 1
令t=❑1+ ，n∈N*，
n
1
√ 1 √ 1
则❑1+ -√ 1>2ln❑1+ ，
n ❑1+ n
n
1
n n+1 1 n+1
所以 >ln ，即 >ln ，
√ 1 n ❑√n2+n n
❑1+
n
1 1 1 2 3 n+1
所以 + +…+ >ln +ln +…+ln ，
❑√12+1 ❑√22+2 ❑√n2+n 1 2 n
1 1 1
即 + +…+ >ln(n+1)，n∈N*.
❑√12+1 ❑√22+2 ❑√n2+n
