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专题06 三角函数中ω、φ的取值范围与最值问题
目录
高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）
核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）
聚焦题型精准解密（5 大题型精讲+变式拔高训练）
题型一 已知单调性求ω的取值范围 （
）
题型二 已知对称性（对称轴 或 对称中心）求ω、φ取值范围（
）
题型三 已知零点个数求ω的取值范围（
）
题型四 已知最值 / 极值点个数求 ω的取值范围（
）
题型五 结合多性质（单调性 + 对称性 + 零点等）求ω、φ的取值范围（
）
实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
高考中ω、φ 取值范围问题集中在选择题中档题至压轴题（5 分）：
基础知识必备：三角函数核心定义与公式：任意角三角函数定义、同角三角函数基本关系（平方关系、商
数关系）、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）。三角函数图象与性质基础：周期公式（T = 2π
ω ，
ω>0）、振幅与值域关联、“五点法” 画图核心步骤。单调性、对称性、零点的核心表达式：单调性：
正弦函数增区间[−π
2 +2kπ , π
2 +2kπ ]、减区间[ π
2 +2kπ , 3 π
2 +2kπ ]（k ∈Z）；对称性：对称轴满足
ωx +φ = π
2 +kπ，对称中心满足ωx +φ =kπ；零点：满足ωx +φ =kπ（k ∈Z）。三角恒等变换核心公式：
两角和差公式、倍角公式，以及公式的逆用与变用技巧。
2026 高考预测：考查重点聚焦：多性质综合（单调性 + 对称性 + 零点 / 最值）求 ω 取值范围为绝对
热点，φ 的求解常与初始条件、图象过定点结合考查。 命题趋势创新： 跨模块交汇增强，可能与导数
（求极值点个数）、平面向量（数量积结合单调性）融合； 应用性设问增加，结合实际场景（如振动、
旋转）转化为三角函数最值或范围问题； 设问方式更灵活，如 “已知区间内零点个数的取值范围，求 ω
的范围”，强化逻辑推理能力考查。 难度梯度清晰：基础题侧重单一性质求参数，中档题考查两性质综
1
合，压轴题聚焦多条件约束下的参数范围，突出分类讨论与数形结合能力。
重难知识汇总：①ω 的取值范围核心模型：单调性约束模型：给定区间为单调区间子集，结合区间长度≤
半周期（x2−x1≤π
ω）；②零点 / 极值点个数模型：由区间内零点（极值点）个数；③对称性约束模型：
利用对称轴 / 对称中心的间隔关系（相邻对称轴间隔T
2 ）锁定周期范围。φ 的求解与范围约束：④由奇偶
性求 φ：正弦函数为偶函数时φ= π
2 +kπ，奇函数时φ =kπ（k ∈Z）；由图象过定点求 φ：代入已知点坐
标，结合 φ 的限定范围（如φ∈(−π
2 , π
2 )）求解；φ 与 ω 的联动：通过对称性、零点条件建立 φ 与
ω 的关系式，代入其他性质约束求解。
常用技巧方法：①整体换元法：设θ =ωx +φ，将复合三角函数转化为标准正弦 / 余弦函数，简化性质分
析。②数形结合法：绘制三角函数图象或局部片段，直观判断区间内零点、极值点个数，辅助建立不等式。
③赋值验证法：对k ∈Z优先赋值 0，再根据范围验证k =±1，避免漏解或多解。④区间包含法：将 θ 的
取值范围转化为标准三角函数单调区间、零点区间的子集，精准建立不等式。⑤分离参数法：对含参最值
问题，分离参数后转化为 “参数≤函数最大值” 或 “参数≥函数最小值” 求解。⑥端点验证法：求解
范围后代入区间端点，验证性质是否成立（如单调性、零点存在性），排除矛盾解。
易错避坑提效：①忽略隐含条件：忘记ω>0的默认前提，导致范围包含负数解；φ 的限定范围（如题目给
出φ∈(0,π )）未充分利用。②k 值赋值不当：盲目取 k=0 导致漏解，或未根据 θ 的范围限定 k 的取
值区间，引发多解。③区间端点判断错误：混淆 “闭区间” 与 “开区间” 对零点、极值点个数的影响，
未验证端点是否符合条件。④整体换元失误：计算 θ 的取值范围时出错（如ωx +φ在区间[a,b]上的范围
应为[ωa+φ ,ωb+φ]，忽略 ω 正负影响）。⑤性质关系混淆：误将相邻对称轴间隔记为T（实际为T
2 ），
或混淆零点与极值点的周期关联。
题型一 已知单调性求ω的取值范围
方法点拨：
①整体换元：设θ =ωx +φ，将原函数转化y =sinθ或y =cosθ，明确θ在给定区间内的取值范围；
②区间包含：根据单调性要求，使θ的取值区间是标准三角函数单调区间的子集；
③关键约束：给定区间长度不超过原函数半周期（x2−x1≤π
ω），避免遗漏隐含条件；
④赋值验证：对k 赋值（通常k =0，特殊情况需验证k =±1），结合ω>0求解，最后端点验证合理性。
2
【典例01】（2025·陕西西安·二模）已知函数
在
上单调，则
的
最大值为（ ）
A．
B．3
C．2
D．
【典例02】（2025·山西·三模）已知函数
在
上单调递减，则正数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式01】（2025·河南·模拟预测）将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
，纵坐标不变，得到函数
的图象，若
在
上单调，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式02】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
的图象关于原点对称，且在
上单调，在
处取得极值，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
【变式03】（2025·辽宁·二模）已知函数
在区间
上单调，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二 已知对称性（对称轴或对称中心）求ω、φ取值范围
3
方法点拨：
①核心公式：对称轴：ωa+φ = π
2 +kπ；对称中心：ωa+φ =kπ，k ∈Z；
②周期关联：相邻对称轴 / 对称中心间隔为T
2 ，对称轴与相邻对称中心间隔为T
4 ；
③区间约束：结合对称点在给定区间内的个数，确定θ =ωx +φ的取值范围，进而解出ω；
④代换化简：通过φ =kπ −ωa（对称中心）或φ = π
2 + kπ −ωa（对称轴）消去φ，聚焦ω的求解。
【典例01】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数
在区间
上单调
递增，在区间
上单调递减，且
.若将
的图象向左平移
个单位长度后所得
函数的图象关于
轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例02】（2025·浙江丽水·一模）若函数
的图象向右平移
个单位后得到的图象关于
轴
对称，则实数
可以是（ ）
A．
B．
C．2
D．
【变式01】（2025·湖南湘潭·一模）将函数
的图象向左平移
个单位长度后得
到函数
的图象，若
为奇函数，则实数φ 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式02】1．（2025·北京海淀·一模）已知函数
的部分图象如图所示.若
4
四点在同一个圆上，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【变式03】（2025·河南·模拟预测）将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到
的图象关于坐标原点对称，则
的值可以是（ ）
A．4
B．5
C．10
D．16
题型三 已知零点个数求ω 的取值范围
方法点拨：
①零点转化：令ωx +φ =kπ（k ∈Z），解得零点横坐标x = kπ −φ
ω
；
②周期关系：设区间长度为L，零点个数为n，则(n−1)T < L≤nT（T = 2π
ω ），初步锁定ω范围；
③整体分析：结合正弦 / 余弦函数零点分布（每周期 2 个零点），建立不等式nπ <ω x2+φ≤(n+1)π；
④端点验证：注意区间端点是否为零点，避免多解或漏解，最终通过整数k 的取值确定ω的精确范围。
【典例01】（25-26 高三上·广东·月考）已知函数
的图象是由
的图象向右平移
个单位得到的．若
在
上仅有一个零点，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例02】（2025·陕西咸阳·模拟预测）将函数
（
）图象上所有点的横坐标缩
5
短为原来的
，再向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，若
在
上恰有2 个零点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式01】（2025·江苏淮安·模拟预测）函数
的图像如图所示，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式02】（25-26 高三上·重庆·月考）已知
将
向左平移
个单位得
到函数
的图象，若函数
在区间
上恰有4 个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式03】（24-25 高三上·山东潍坊·期中）已知函数
，甲、乙、丙、
丁四位同学各说出了这个函数的一条结论：
6
甲：函数
的图象关于
对称；
乙：函数
在
上单调递增；
丙：函数
在区间
上有3 个零点；
丁：函数
的图象向左平移
个单位之后与
的图象关于
轴对称.
若这四位同学中恰有一人的结论错误，则该同学是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
题型四 已知最值/极值点个数求ω 的取值范围
方法点拨：
①极值关联：最值点（极值点）对应θ =ωx +φ = π
2 + kπ（k ∈Z），且区间内极值点个数与半周期相关；
②区间长度约束：若区间内有m 个极值点，则(m−1)⋅T
2 < L≤m⋅T
2 （L 为区间长度）；
③范围锁定：通过θ的取值范围，结合正弦 / 余弦函数极值点分布（每半周期 1 个极值点）；
④最值存在性：若题目明确 “有最值无最小值” 或 “唯一最值点”。
【典例01】（2025·江苏·模拟预测）已知函数
和它的导函数
的部分图象如图所示，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例02】（2025·河南·三模）将函数
的图象上所有点的横坐标变为原来的
，
得到函数
的图象，若
在
上只有一个极大值点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7
【变式01】（2025·湖北·模拟预测）已知函数
的图像向左平移
个单位后，得到的图
像关于
轴对称，则满足条件且
最小的
的值为（ ）
A．3
B．
C．15
D．2
【变式02】（2025 高三·全国·专题练习）已知
，将
图象上所有点的
横坐标变为原来的
倍，再向右平移
个单位，得到函数
的图象，若
，则
的
最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【变式03】（2025·山东·二模）将函数
的图象向左平移
个单位长度得到
的图象．
若
的图象关于y 轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五 结合多性质（单调性 + 对称性 + 零点等）求ω 的取值范围
方法点拨：
①分步拆解：分别根据每个性质（单调性、对称性、零点）建立独立的不等式（组）；
②核心优先级：先利用对称性或零点求出φ与ω的关系（如φ =kπ −ωa），再代入单调性或极值条件；
③周期兜底：通过任意两个性质的关联（如对称轴与零点的间隔为T
4 ）确定周期范围，得到ω的初步约束；
④交集求解：将各条件对应的ω范围取交集，最后代入特殊值验证（如ω的整数解、边界值），排除矛盾
解。
8
【典例01】（2025·湖北黄石·二模）已知随机变量
，且
，若函数
，将
向左平移
个单位后，所得函数在
上单调递增，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例02】（2025·全国·模拟预测）已知函数
在
上单
调，
，若将曲线
向右平移
个单位后恰好关于
轴对称，则正数
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式01】（2025·江苏南通·三模）已知函数
，将
的图象向左平移
个单位后，得到函数
的图象，若
与
的图象关于y 轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式02】（2025·天津·模拟预测）已知
．给出下列判断：
①若
，且
，则
；
②若
在
恰有9 个零点，则
的取值范围为
；
③存在
，使得
的图象向右平移
个单位长度后得到的图象关于
轴对称；
④若
在
上是增函数，则
的取值范围为
．
其中，判断正确的个数为（ ）
9
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式03】（25-26 高三上·天津武清·月考）已知定义在
上的函数
在
上有且仅有3 个零点，其图象关于点
和直线
对称，给出下列结论：①
；②函数
在
上有且仅有3 个最值点；③函数
在
上单调递增；④函数
的最小正周期是
2；⑤函数
右移
个单位是奇函数，则
.其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
（限时训练：15 分钟）
1． （2025·江苏镇江·模拟预测）已知点
在函数
的图象上，
若
恒成立，且
在区间
上单调，则
（ ）
A．3
B．6
C．12
D．
2． （2025·陕西西安·模拟预测）已知函数
的图像向左平移
个单位后，得到
的图像，若
，
的图像关于
轴对称，则
的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．
D．
3．（2025·湖南·模拟预测）已知函数
的最小正周期为T，且
，函数
10
为奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三·河南焦作·月考）已知函数
在
上有且仅有2 个零点，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（2025·天津·一模）已知
是函数
图象的一个对称轴，则下列说法错误的
是（ ）
A．
是函数
图象的一个对称中心
B．函数
的图象可由
图象向左平移
个单位长度得到
C．函数
在区间
上单调递减
D．函数
在区间
上有且仅有一个零点
6 （2025·天津河北·二模）已知函数
（
，
，
）的部分图象如图所示，
给出下列结论：
①
； ②当
时，
；
③函数
的单调递减区间为
，
；
④将
的图象向右平移
个单位，得到
的图象；其中正确的结论个数是（ ）
11
A．1
B．2
C．3
D．4
7（2025·河北·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，在
上单调递增，且
圆
内恰好包含
的三个极值对应的点，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8（2025·广东清远·二模）已知函数
在
内恰有3 个最值点和3 个零点，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9（2024·天津河西·一模）已知函数
，若将函数
的图
象平移后能与函数
的图象完全重合，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．将
的图象向右平移
个单位长度后，得到的函数图象关于
轴对称
C．当
取得最值时，
D．当
时，
的值域为
12
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