文档文本内容
专题06 三角函数中ω、φ的取值范围与最值问题
目录
高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）
核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）
聚焦题型精准解密（5 大题型精讲+变式拔高训练）
题型一 已知单调性求ω的取值范围 （
）
题型二 已知对称性（对称轴 或 对称中心）求ω、φ取值范围（
）
题型三 已知零点个数求ω的取值范围（
）
题型四 已知最值 / 极值点个数求 ω的取值范围（
）
题型五 结合多性质（单调性 + 对称性 + 零点等）求ω、φ的取值范围（
）
实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
高考中ω、φ 取值范围问题集中在选择题中档题至压轴题（5 分）：
基础知识必备：三角函数核心定义与公式：任意角三角函数定义、同角三角函数基本关系（平方关系、商
数关系）、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）。三角函数图象与性质基础：周期公式（T = 2π
ω ，
ω>0）、振幅与值域关联、“五点法” 画图核心步骤。单调性、对称性、零点的核心表达式：单调性：
正弦函数增区间[−π
2 +2kπ , π
2 +2kπ ]、减区间[ π
2 +2kπ , 3 π
2 +2kπ ]（k ∈Z）；对称性：对称轴满足
ωx +φ = π
2 +kπ，对称中心满足ωx +φ =kπ；零点：满足ωx +φ =kπ（k ∈Z）。三角恒等变换核心公式：
两角和差公式、倍角公式，以及公式的逆用与变用技巧。
2026 高考预测：考查重点聚焦：多性质综合（单调性 + 对称性 + 零点 / 最值）求 ω 取值范围为绝对
热点，φ 的求解常与初始条件、图象过定点结合考查。 命题趋势创新： 跨模块交汇增强，可能与导数
（求极值点个数）、平面向量（数量积结合单调性）融合； 应用性设问增加，结合实际场景（如振动、
旋转）转化为三角函数最值或范围问题； 设问方式更灵活，如 “已知区间内零点个数的取值范围，求 ω
的范围”，强化逻辑推理能力考查。 难度梯度清晰：基础题侧重单一性质求参数，中档题考查两性质综
1
合，压轴题聚焦多条件约束下的参数范围，突出分类讨论与数形结合能力。
重难知识汇总：①ω 的取值范围核心模型：单调性约束模型：给定区间为单调区间子集，结合区间长度≤
半周期（x2−x1≤π
ω）；②零点 / 极值点个数模型：由区间内零点（极值点）个数；③对称性约束模型：
利用对称轴 / 对称中心的间隔关系（相邻对称轴间隔T
2 ）锁定周期范围。φ 的求解与范围约束：④由奇偶
性求 φ：正弦函数为偶函数时φ= π
2 +kπ，奇函数时φ =kπ（k ∈Z）；由图象过定点求 φ：代入已知点坐
标，结合 φ 的限定范围（如φ∈(−π
2 , π
2 )）求解；φ 与 ω 的联动：通过对称性、零点条件建立 φ 与
ω 的关系式，代入其他性质约束求解。
常用技巧方法：①整体换元法：设θ =ωx +φ，将复合三角函数转化为标准正弦 / 余弦函数，简化性质分
析。②数形结合法：绘制三角函数图象或局部片段，直观判断区间内零点、极值点个数，辅助建立不等式。
③赋值验证法：对k ∈Z优先赋值 0，再根据范围验证k =±1，避免漏解或多解。④区间包含法：将 θ 的
取值范围转化为标准三角函数单调区间、零点区间的子集，精准建立不等式。⑤分离参数法：对含参最值
问题，分离参数后转化为 “参数≤函数最大值” 或 “参数≥函数最小值” 求解。⑥端点验证法：求解
范围后代入区间端点，验证性质是否成立（如单调性、零点存在性），排除矛盾解。
易错避坑提效：①忽略隐含条件：忘记ω>0的默认前提，导致范围包含负数解；φ 的限定范围（如题目给
出φ∈(0,π )）未充分利用。②k 值赋值不当：盲目取 k=0 导致漏解，或未根据 θ 的范围限定 k 的取
值区间，引发多解。③区间端点判断错误：混淆 “闭区间” 与 “开区间” 对零点、极值点个数的影响，
未验证端点是否符合条件。④整体换元失误：计算 θ 的取值范围时出错（如ωx +φ在区间[a,b]上的范围
应为[ωa+φ ,ωb+φ]，忽略 ω 正负影响）。⑤性质关系混淆：误将相邻对称轴间隔记为T（实际为T
2 ），
或混淆零点与极值点的周期关联。
题型一 已知单调性求ω的取值范围
方法点拨：
①整体换元：设θ =ωx +φ，将原函数转化y =sinθ或y =cosθ，明确θ在给定区间内的取值范围；
②区间包含：根据单调性要求，使θ的取值区间是标准三角函数单调区间的子集；
③关键约束：给定区间长度不超过原函数半周期（x2−x1≤π
ω），避免遗漏隐含条件；
④赋值验证：对k 赋值（通常k =0，特殊情况需验证k =±1），结合ω>0求解，最后端点验证合理性。
2
【典例01】（2025·陕西西安·二模）已知函数
在
上单调，则
的
最大值为（ ）
A．
B．3
C．2
D．
【答案】B
【分析】法一：由
，求得单调增区间，再结合集合包含关系即可求解，法二：
由
得到
，再结合集合包含关系即可求解.
【详解】方法一：由正弦函数的单调性，令
，
解得
，
又
在
单调，
所以当
时，
，即
，
解得
，所以
的最大值为3.
方法二：
在
单调，
故
，
所以
的最大值为3.
故选：B
【典例02】（2025·山西·三模）已知函数
在
上单调递减，则正数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3
【答案】D
【分析】利用函数
图象的特征，可得
，
，求解即可.
【详解】原函数为
，
相当于把
位于
轴下方的图象翻折到上方，
则有
，
，
当
时，
.
故选：D．
【变式01】（2025·河南·模拟预测）将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
，纵坐标不变，得到函数
的图象，若
在
上单调，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用正弦函数的单调性来确定参数
的取值范围.
【详解】
，则
．
由
，得
．
因为
在
上单调，所以
，得
．
故选：A.
4
【变式02】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
的图象关于原点对称，且在
上单调，在
处取得极值，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
【答案】B
【分析】根据余弦型函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性求解即可.
【详解】由题意可得函数
为奇函数，所以
，
，
又因为
在
处取得极值，
即
关于
对称，所以
，
，即
，
，
由
为奇函数且在
上单调，可得
在
上单调，
所以
的周期
，所以
，又
，所以
.
故选：B.
【变式03】（2025·辽宁·二模）已知函数
在区间
上单调，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合题设和函数的周期公式可得
，再根据余弦函数的性质可得
，进而求解即
可.
【详解】由题可知
的最小正周期为
，因为
在区间
上单调，
5
所以
，则
，解得
，
当
时，
，
且
，
，
所以
，解得
，结合
，得
的取值范围为
．
故选：D．
题型二 已知对称性（对称轴或对称中心）求ω、φ取值范围
方法点拨：
①核心公式：对称轴：ωa+φ= π
2 +kπ；对称中心：ωa+φ =kπ，k ∈Z；
②周期关联：相邻对称轴 / 对称中心间隔为T
2 ，对称轴与相邻对称中心间隔为T
4 ；
③区间约束：结合对称点在给定区间内的个数，确定θ =ωx +φ的取值范围，进而解出ω；
④代换化简：通过φ =kπ −ωa（对称中心）或φ= π
2 +kπ −ωa（对称轴）消去φ，聚焦ω的求解。
【典例01】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数
在区间
上单调
递增，在区间
上单调递减，且
.若将
的图象向左平移
个单位长度后所得
函数的图象关于
轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意，利用辅助角公式得
，其中
.根据题设知，
为
图象的一条对称轴，结合
可求得
，
，
，再根据
6
关于
轴对称，得到
，
，从而求得
的最小值.
【详解】由题意，知
，其中
.
因为
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以
为
图象的一条对称轴，所以
，
.
又
，所以
，
，解得
，
，
，
所以
.将
的图象向左平移
个单位长度后，
得到
的图象.
由
的图象关于
轴对称，得
，
，
所以
，
，
所以
的最小值为
.
故选：C.
【典例02】（2025·浙江丽水·一模）若函数
的图象向右平移
个单位后得到的图象关于
轴
对称，则实数
可以是（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】分析可知函数
关于直线
对称，分
和
两种情况，结合函数
的对称性分析求解即可.
【详解】因为函数
的图象向右平移
个单位后得到的图象关于
轴对称，
7
可知函数
关于直线
对称，
若
，则函数
关于直线
对称，符合题意；
若
，设
，
则函数
的对称轴
所对应的值（
）必为函数
的对称轴，
又因为函数
的对称轴为
轴，
则
，解得
；
综上所述：
或
.
结合选项可知：A 正确，BCD 错误.
故选：A.
【变式01】（2025·湖南湘潭·一模）将函数
的图象向左平移
个单位长度后得
到函数
的图象，若
为奇函数，则实数φ 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先化简函数
解析式，接着由平移变换得到
解析式，再由奇偶性列出关于
的方程，即
可计算求解.
【详解】由题意可知，函数
，
所以
，
又
为奇函数，所以
，
又
，所以
.
8
故选：C
【变式02】1．（2025·北京海淀·一模）已知函数
的部分图象如图所示.若
四点在同一个圆上，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据对称性可知
为圆心，根据
即可求解.
【详解】连接
交
轴于
,
由于
，
，
，
四点在同一个圆上，且
和
均关于点
对称，
故
为圆心，故
，
,
,
故
，解得
，
故选：D
9
【变式03】（2025·河南·模拟预测）将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到
的图象关于坐标原点对称，则
的值可以是（ ）
A．4
B．5
C．10
D．16
【答案】B
【分析】先根据三角函数图像的平移规则得到平移后的函数解析式，再结合正弦函数图像关于原点对称的
性质，求出
的表达式，最后根据选项进行判断即可.
【详解】由题意，令函数
的图象向左平移
个单位长度后所得函数为
，
则
，
又平移后得到的图象关于坐标原点对称，即函数
为奇函数，
所以
，解得
，
当
时，
.
故选：B
题型三 已知零点个数求ω 的取值范围
方法点拨：
①零点转化：令ωx +φ =kπ（k ∈Z），解得零点横坐标x = kπ −φ
ω
；
②周期关系：设区间长度为L，零点个数为n，则(n−1)T < L≤nT（T = 2π
ω ），初步锁定ω范围；
③整体分析：结合正弦 / 余弦函数零点分布（每周期 2 个零点），建立不等式nπ <ω x2+φ≤(n+1)π；
④端点验证：注意区间端点是否为零点，避免多解或漏解，最终通过整数k 的取值确定ω的精确范围。
【典例01】（25-26 高三上·广东·月考）已知函数
的图象是由
的图象向右平移
个单位得到的．若
在
上仅有一个零点，则
的取值范围
是（ ）
10
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将问题化为函数
在
上仅有一个零点，求出零点，然后讨论由第一个正
零点在区间
上，第二个正零点大于
列不等式组求解可得.
【详解】由题知，函数
在
上仅有一个零点，
所以
，所以
，
令
，得
，即
.
若第一个正零点
，则
（矛盾），
因为函数
在
上仅有一个零点，
所以
，解得
.
故选：A
【典例02】（2025·陕西咸阳·模拟预测）将函数
（
）图象上所有点的横坐标缩
11
短为原来的
，再向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，若
在
上恰有2 个零点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】现根据三角函数变换法则求得
，结合正弦函数的性质列不等式求解即可.
【详解】由题知，
.
当
时，
，
因为
在
上恰有2 个零点，所以
，解得
.
故选：C.
【变式01】（2025·江苏淮安·模拟预测）函数
的图像如图所示，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由图象的最值得到
的值，由两个零点求出
，最后代入特殊点求得
，即可得到函数解析式.
12
【详解】观察图象可得函数
的最大值为，最小值为
，又
，
所以
，
又∵
，∴
，∴
，
因为
时函数
取最大值，
所以
，
，又
，
∴
，
∴
.
故选：C.
【变式02】（25-26 高三上·重庆·月考）已知
将
向左平移
个单位得
到函数
的图象，若函数
在区间
上恰有4 个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换得
，利用图像的变换得
，由
得
，进而得
，解出即可.
【详解】由题意有：
，
所以
，
13
由
有
，
又函数
在区间
上恰有4 个零点，
所以
，解得
，即
，
故选：B.
【变式03】（24-25 高三上·山东潍坊·期中）已知函数
，甲、乙、丙、
丁四位同学各说出了这个函数的一条结论：
甲：函数
的图象关于
对称；
乙：函数
在
上单调递增；
丙：函数
在区间
上有3 个零点；
丁：函数
的图象向左平移
个单位之后与
的图象关于
轴对称.
若这四位同学中恰有一人的结论错误，则该同学是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】C
【分析】对每位同学的结论进行推敲，求出对应的
的取值范围或值，再对比四个结论，可得出结果.
【详解】设函数
的最小正周期为
.
对于甲：因为函数
的图象关于
对称，则
；
对于乙：因为函数
在
上单调递增，
则
，可得
，又
所以，
，又因为
，则
；
14
对于丙：因为函数
在区间
上有个零点，则
，可得
，
所以，
，由于
，则
；
对于丁：因为函数
的图象向左平移
个单位之后与
的图象关于
轴对称.
则
，即
，
因为
，所以，
满足条件，
故丙的结论错误，此时，
，则
，
因为
，故
，所以，
，
且当
时，
，即函数
在
上单调递增，
乙同学的结论正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对每位同学的结论进行推敲，求出符合条件的
的范围或值，进
而判断.
题型四 已知最值/极值点个数求ω 的取值范围
方法点拨：
①极值关联：最值点（极值点）对应θ =ωx +φ = π
2 + kπ（k ∈Z），且区间内极值点个数与半周期相关；
②区间长度约束：若区间内有m 个极值点，则(m−1)⋅T
2 < L≤m⋅T
2 （L 为区间长度）；
③范围锁定：通过θ的取值范围，结合正弦 / 余弦函数极值点分布（每半周期 1 个极值点）；
④最值存在性：若题目明确 “有最值无最小值” 或 “唯一最值点”。
【典例01】（2025·江苏·模拟预测）已知函数
和它的导函数
的部分图象如图所示，则
（ ）
15
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据导数正负和函数单调性的关系得到函数的最小值和导函数的最大值即可求解.
【详解】观察函数图象发现在
的左侧，
，函数
单调递增，
在
的右侧，
，函数
单调递减，
所以由图函数
的最小值为
，解得
，
故
，求导得
，
由图可知
，故
.
故选：B
【典例02】（2025·河南·三模）将函数
的图象上所有点的横坐标变为原来的
，
得到函数
的图象，若
在
上只有一个极大值点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用三角函数图象变换求出函数
的解析式，根据
可求出
的取值范围，根据
在
上只有一个极大值点，可得出关于
的不等式，从而可得出正整数
的最大值.
16
【详解】将函数
的图象上所有点的横坐标变为原来的
，
得到函数
的图象，则
，
当
时，
，
因为
在
上只有一个极大值点，则
，解得
，
因为
，故正整数
的最大值为
.
故选：D.
【变式01】（2025·湖北·模拟预测）已知函数
的图像向左平移
个单位后，得到的图
像关于
轴对称，则满足条件且
最小的
的值为（ ）
A．3
B．
C．15
D．2
【答案】A
【分析】根据平移得出偶函数计算求得
，再计算得出最小值求参.
【详解】由题设，函数
为偶函数，
所以
，得
，
要
最小，取
，得
，
故选：A.
【变式02】（2025 高三·全国·专题练习）已知
，将
图象上所有点的
横坐标变为原来的
倍，再向右平移
个单位，得到函数
的图象，若
，则
的
最小值为（ ）
17
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】首先将函数
化简为标准三角函数形式，再根据图像变换规律得到
的表达式，最后利用
正弦函数的性质分析不等式
的条件，求出
的最小值.
【详解】
，
将
图象上所有点的横坐标变为原来的
倍，得到
的图象，
从而
，
因为
，所以当
时，
取得最小值，即
，
，
解得
，故当
时，
取最小值
．
故选：C.
【变式03】（2025·山东·二模）将函数
的图象向左平移
个单位长度得到
的图象．
若
的图象关于y 轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先用到函数图象平移的规律,求出
的表达式. 然后根据正弦函数的性质,则
在
处取
得对称轴，由此可列出关于
的方程，进而求出
的最小值.
【详解】根据函数图象平移规律，将函数
的图象向左平移
个单位长度，可得：
18
.
因为
的图象关于
轴对称，所以
是偶函数，对于正弦函数
，当
时函数图
象关于
轴对称.
那么在
中，当
时，
，
即
，可得
.
当
时，
，此时
.
故选：B.
题型五 结合多性质（单调性 + 对称性 + 零点等）求ω 的取值范围
方法点拨：
①分步拆解：分别根据每个性质（单调性、对称性、零点）建立独立的不等式（组）；
②核心优先级：先利用对称性或零点求出φ与ω的关系（如φ =kπ −ωa），再代入单调性或极值条件；
③周期兜底：通过任意两个性质的关联（如对称轴与零点的间隔为T
4 ）确定周期范围，得到ω的初步约束；
④交集求解：将各条件对应的ω范围取交集，最后代入特殊值验证（如ω的整数解、边界值），排除矛盾
解。
【典例01】（2025·湖北黄石·二模）已知随机变量
，且
，若函数
，将
向左平移
个单位后，所得函数在
上单调递增，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性求出
，由正弦函数的图像变换及正弦函数的单调性可得
19
，从而可求解.
【详解】因为随机变量
，且
，
所以
，解得
，
所以
.
将
向左平移
个单位后，所得函数为
.
时，
，故
.
因为函数
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
.
因为
，所以
，解得
，
所以
，所以
.
故选:B.
【典例02】（2025·全国·模拟预测）已知函数
在
上单
调，
，若将曲线
向右平移
个单位后恰好关于
轴对称，则正数
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
20
【答案】D
【分析】利用函数的单调区间长度可以估计周期的长度，再结合
，可确定
的取值，然后进行讨论
检验即可得解.
【详解】因为函数
，
又函数
在
上单调，
所以函数
的最小正周期
，
则
，又
，所以
．
若
，则由
，
又因为
，
，所以此时
无解．
若
，则
，
因为
，所以
．又
，符合题意．
若
，则
，
又
，
，则此时
无解．
综上，
，所以函数
图像向右平移
个单位，
，
由
的图象关于
轴对称，
所以有
，
则正数
的最小值为
，
故选：D．
21
【变式01】（2025·江苏南通·三模）已知函数
，将
的图象向左平移
个单位后，得到函数
的图象，若
与
的图象关于y 轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换化简
，根据图象变换求出
的解析式，进而根据
即可代
入化简得
求解.
【详解】因为
，
所以
，
因为
与
关于y 轴对称，则
，
，
，得
，
，
所以
的最小值为
.
故选：C.
【变式02】（2025·天津·模拟预测）已知
．给出下列判断：
①若
，且
，则
；
22
②若
在
恰有9 个零点，则
的取值范围为
；
③存在
，使得
的图象向右平移
个单位长度后得到的图象关于
轴对称；
④若
在
上是增函数，则
的取值范围为
．
其中，判断正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】首先对函数进行化简，然后分别针对每个判断，利用三角函数的周期、零点、对称轴以及单调性
等性质和条件列出式子求解，判断正确性.
【详解】根据二倍角余弦公式
，对
进行化简可得：
.
对于①：
已知
，
，且
，则
，
为函数
的周期.
根据正弦函数周期公式
，由
可得
，解得
，所以①错误.
对于②：
令
，则
（
），解得
（
）.
若
在
恰有9 个零点，令
，则
.
解第一个不等式
：
，
，
，解得
.
解第二个不等式
：
23
，
，
，解得
.
所以
的取值范围是
，②正确.
对于③：
的图象向右平移
个单位长度后得到
的图象.
若该图象关于
轴对称，则
（
），
，
（
）。
当
时，
，不存在
满足条件，所以③错误。
对于④：
令
（
），解关于
的不等式得：
（
）.
若
在
上是增函数，则
解第一个不等式
得：
，
，
；
解第二个不等式
得：
，
，
，又
，
所以
的取值范围是
，④错误.
综上，只有②正确，正确的个数是1 个，答案是A.
故选：A.
【变式03】（25-26 高三上·天津武清·月考）已知定义在
上的函数
在
24
上有且仅有3 个零点，其图象关于点
和直线
对称，给出下列结论：①
；②函数
在
上有且仅有3 个最值点；③函数
在
上单调递增；④函数
的最小正周期是
2；⑤函数
右移
个单位是奇函数，则
.其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据给定性质求出函数
的解析式，再结合正弦函数的图象性质逐一判断得解.
【详解】由函数
的图象关于点
对称，得
，
由函数
的图象关于直线
对称，得
，
则
，即
，
由函数
在
上有且仅有3 个零点，得
，即
，
于是
，
，由
，得
，
而
，因此
，
，
对于①，
，①错误；
对于②，令
，得
，令
，得
，
因此函数
在
上有且仅有3 个最值点，②正确；
对于③，由
，得
，
因此
在
上单调递增，③正确；
对于④，函数
的最小正周期
，④错误；
25
对于⑤，函数
右移
个单位，得
，
由
是奇函数，得
，解得
，⑤错误，
所以所有正确的结论个数为2.
故选：B
（限时训练：15 分钟）
1． （2025·江苏镇江·模拟预测）已知点
在函数
的图象上，
若
恒成立，且
在区间
上单调，则
（ ）
A．3
B．6
C．12
D．
【答案】A
【分析】由题可得
在
上单调递增，且
，得
，得解.
【详解】因为点
在函数
的图象上，所以
，
由
，则
，且
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，由余弦型函数的对称性易知
，
所以
，即
，故
.
故选：A.
26
2． （2025·陕西西安·模拟预测）已知函数
的图像向左平移
个单位后，得到
的图像，若
，
的图像关于
轴对称，则
的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的平移变换和对称性可得
，再利用余弦函数的周
期性列式求解即可.
【详解】由题意可得
，
因为
，
的图像关于
轴对称，
则
，
所以
，
，解得
，
，
又
，所以
的最小值为4，
故选：A
3．（2025·湖南·模拟预测）已知函数
的最小正周期为T，且
，函数
为奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正弦型最小正周期公式，结合奇函数的性质进行求解即可.
【详解】由
，
因为函数
为奇函数，
27
所以有
，则
，
所以
，
故选：B
4．（24-25 高三·河南焦作·月考）已知函数
在
上有且仅有2 个零点，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用余弦函数图象和性质结合零点个数可得
，解不等式即可得出答案.
【详解】
，
令
，因为
，所以
，
令
可得
，
，
因为
在
上有且仅有2 个零点，所以
，
解得
．
故选：C．
5.（2025·天津·一模）已知
是函数
图象的一个对称轴，则下列说法错误的
是（ ）
A．
是函数
图象的一个对称中心
B．函数
的图象可由
图象向左平移
个单位长度得到
C．函数
在区间
上单调递减
28
D．函数
在区间
上有且仅有一个零点
【答案】D
【分析】根据题意，求得
，结合正弦型函数的图象与性质，逐项分析求解，即可得到
答案.
【详解】由
是函数
图象的一个对称轴，
可得
，可得
，即
，
因为
，所以
，所以
，
对于A 中，由
，
所以
是函数
图象的一个对称中心，所以A 正确；
对于B 中，将函数
图象向左平移
个单位长度得到
，所以B 正确；
对于C 中，由
，可得
，
因为函数
在
上单调递减，所以
在区间
上递减，所以C 正确；
对于D 中，
，可得
，
当
时，即
时，可得
，即
是
的一个零点；
当
时，即
时，可得
，即
是
的一个零点，
所以函数
在
上有两个零点，所以D 错误.
故选：D.
29
6 （2025·天津河北·二模）已知函数
（
，
，
）的部分图象如图所示，
给出下列结论：
①
； ②当
时，
；
③函数
的单调递减区间为
，
；
④将
的图象向右平移
个单位，得到
的图象；其中正确的结论个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】先根据图象，求出函数的解析式，在结合正弦函数的图象和性质，逐项分析，即可得到答案.
【详解】由图象可知：
，
.
由
，又
，所以
.
所以
.
因为
，故①正确；
当
时，
，所以
，所以
，故②正确；
由
，
，
，
30
所以函数
的单调递减区间为
，
.故③正确；
将的图象向右平移个单位，得到
的图象，故④错误.
故选：C
7（2025·河北·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，在
上单调递增，且
圆
内恰好包含
的三个极值对应的点，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由函数单调性得到函数的对称轴，由函数单调区间得到周期的范围，从而得到
的值得到函数
解析式，由图像得到距离最大和距离最小的点，则可以求出半径的范围.
【详解】由已知
在
处取得最小值，
，
，解得
，
∵函数
在
上单调递减，
，即
，
，
当
时，
，
，符合条件，
.
由图像知
轴右侧包含两个极值对应的点，左侧包含一个极值对应的点，
31
的取值范围是大于原点右侧第二个极值对应的点
到原点的距离，小
于等于原点左侧第二个极值对应的点
到原点的距离，即
，
故选：B.
8（2025·广东清远·二模）已知函数
在
内恰有3 个最值点和3 个零点，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简后，根据正弦函数的图象与性质列出不等式求解即可.
【详解】因为
，
且当
时，
，
因为函数
在
内恰有3 个最值点和3 个零点，
所以
，解得
，
故选：D．
9（2024·天津河西·一模）已知函数
，若将函数
的图
象平移后能与函数
的图象完全重合，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
32
B．将
的图象向右平移
个单位长度后，得到的函数图象关于
轴对称
C．当
取得最值时，
D．当
时，
的值域为
【答案】D
【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简函数解析式，再依题意求出
，最后根据正弦函数的性
质一一分析即可.
【详解】因为
，
又因为将函数
的图象平移后能与函数
的图象完全重合，且
，
所以
，解得
，
所以
，
所以
的最小正周期
，故A 错误；
将
的图象向右平移
个单位长度得到
，
又
为奇函数，函数图象不关于
轴对称，故B 错误；
令
，
，解得
，
，
令
，
，解得
，
，
所以当
取得最大值时，
，
当
取得最小值时，
，
33
则当
取得最值时，
，故C 错误；
当
时
，所以
，
即当
时，
的值域为
，故D 正确；
故选：D
34
