大家好，我是毛老师。

我带初中数学这么多年，越来越觉得，初中三年真正让孩子拉开差距的，不是每一个章节都难，而是有两道特别明显的坎。

第一道是几何，第二道是函数。

很多家长会发现一个很有意思的现象。孩子刚进初中时数学还不错，计算、方程都能跟上，考试分数也挺稳。

可几何一上来，突然开始觉得数学有点难了；好不容易把几何熬过去，函数一来，又发现以前那套做题方式不够用了。

各位，我跟你们说，这其实很正常。因为几何和函数，不只是多学了两个知识板块，而是要求孩子完成两次真正的思维升级。

几何这一关，逼着孩子从会算走到会推理。函数这一关，逼着孩子从看一个具体结果，走到理解两个量之间怎么变化。

这两关如果一直靠背题型、套模板过去，后面数学会越学越累。可一旦真的跨过去，孩子会明显感觉，很多题开始通了。

1、

第一关是几何：从看着像，到真正会证明

很多孩子第一次学几何时，最大的问题不是完全看不懂图，而是觉得自己看懂了，却写不出来。

他看着图，会说这两个角应该相等，这两条边感觉一样，这两个三角形应该全等。可你问他为什么，他就卡住了。

这就是几何给孩子上的第一课：数学不是觉得对就行，你必须讲依据。

为什么角相等？是平行线得到的，还是等腰三角形得到的，还是全等以后对应角相等？为什么边相等？是已知，中点，还是全等后的对应边？为什么两个三角形能全等？条件够不够，对应关系有没有找对？

这一步对很多孩子来说特别难，因为以前做数学，大量时间都在计算。算式列对，数字算出来，答案就结束了。

到了几何，突然要求孩子把思路一层一层写出来。所以我一直觉得，几何真正筛选的，不是谁图形感觉好，而是谁能把条件转成关系，再把关系一步一步推到结论。

很多孩子几何学不好，不是定理背得不够，而是看到条件以后，不知道它能干什么。

看到平行，只知道有两条线平行，却没有主动找角；看到中点，只知道两段相等，却没想到能不能构造全等；看到角平分线、等腰、垂直这些特殊条件，也没有意识到它们其实都是题目给你的入口。

这就是为什么有些孩子几何刷了很多题，还是觉得每一道都是新的。因为他记住的是这道题怎么做，没有学会条件怎么转。

2、

几何真正过关，不是背会多少模型

我见过不少孩子学几何特别依赖模型。

看到某种图就套某种辅助线，看到中点就背一个固定做法。短期确实可能有效，尤其题型比较熟的时候，孩子会觉得自己突然会做了很多题。

但一到考试，图形稍微旋转一下，条件换个位置，孩子马上又不会了。

所以我不太赞成把几何学成背图。模型可以总结，但一定要知道为什么。

为什么这里连这条线？是因为要制造全等，还是想得到平行？为什么这里延长？是为了把两个分散条件放到同一个三角形里，还是想制造一个新的角关系？

孩子能说出为什么，模型才是他的。说不出来，那只是记住了一张图片。

我跟你们讲，几何这一关真正跨过去以后，孩子会有一个很明显的变化：他看到复杂图形不再只是发呆，而是会开始主动找条件。

平行在哪里，中点在哪里，哪些角相等，哪些边有关系，结论需要什么条件。哪怕一开始做不出来，他也知道该从哪里试。

这时候，几何才算真正入门了。

3、

第二关是函数：从一个数，走向研究变化

如果说几何是孩子第一次真正接触推理，那函数就是孩子第二次明显的思维升级。

很多孩子刚学函数时特别不习惯。以前做题，大部分都是求一个具体答案，解方程求出x是多少，计算最后得到一个数字。

可函数不一样，它开始研究两个量之间的关系。

一个量变，另一个量怎么跟着变；一个点为什么在图像上；表达式和图像到底是什么关系；两条图像为什么会相交；交点为什么又能和方程联系起来。

孩子如果还停留在以前那种看到数字就算的思维里，函数会学得特别痛苦。

比如题目给一个点在函数图像上，很多孩子知道坐标，却不知道应该代入表达式。给两条直线的交点，他看着图会，却想不到这个点同时满足两个表达式，所以可以联立。

再往后结合面积、动点、最值，孩子就更容易乱。

其实函数真正难的不是公式，而是孩子脑子里有没有把几个东西连起来：点、坐标、表达式、图像、方程、面积。

这些如果是分开的，函数每一道题都像新题。一旦连起来，很多题其实是在重复同一件事。

点在图像上，就满足表达式；两个图像相交，就有共同的坐标；坐标可以表示位置，也可以转成线段长度；线段长度又可以继续转成面积。

这条链一通，函数会突然变得没那么神秘。

4、

函数这一关，最怕只会套步骤

很多孩子函数学得不好，却觉得自己已经会了，因为老师讲的时候，他能跟上。

先设表达式，再代点，再求参数，再求交点，他都会照着写。可题目一变，尤其一加上面积、动点、几何条件，马上就断了。

这就是典型的只会步骤，不会关系。

函数真正需要训练的，不是孩子记住一道题有几步，而是每一步为什么这样做。

为什么这个点可以代入？因为它在图像上。为什么要求交点要联立？因为交点同时在两条图像上。为什么面积题要看坐标差？因为坐标差可以变成底和高。

为什么动点题要先写点的坐标？因为点在动，但它仍然受到函数关系或几何关系的限制。

孩子把这些为什么想明白，函数才是真的会。

所以我一直说，函数不要急着大量刷难题，先把最基础的关系打通。关系通了，后面题目再复杂，也有地方可以下手；关系不通，刷再多综合题，只会越刷越慌。

5、

几何和函数，其实在考同一种能力

看起来，几何和函数是两个完全不同的板块，一个全是图形，一个全是坐标和表达式。

但我带学生越久，越觉得它们最后考的其实是同一种能力：孩子能不能把题目给的信息，转成自己能用的关系。

几何里，平行转成角关系，中点转成边关系，特殊条件转成全等、相似或者新的辅助结构。函数里，点转成坐标，坐标转成表达式，交点转成方程，坐标差转成线段和面积。

所以很多真正数学好的孩子，几何和函数最后往往都不会太弱。不是因为他背得多，而是他已经形成了一种习惯：看到条件，先想这个条件能推出什么；看到目标，再想需要什么关系才能走过去。

这就是数学真正开始开窍的感觉。

如果孩子现在还在初一，几何刚刚起步，千万不要只让他背结论。让他多说为什么，多写理由，多从条件往后推。

如果孩子已经到了初二、初三，函数开始吃力，也不要只想着再刷一堆题。先检查点、坐标、表达式、图像这些最基本的关系有没有真正连起来。

这两道坎确实不好过，但一旦跨过去，孩子会发现，初中数学后面虽然仍然有难题，却不再是完全没方向。

几何再复杂，他知道先找条件和关系；函数再综合，他知道先找点、坐标和表达式之间的联系。

这才是我说的一马平川。

不是以后所有题都变简单了，而是孩子终于不再只靠记题、套题往前走，而是开始真正会用数学的方式思考了。