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习题精讲——重积分
重积分例题解析
在前面文章梳理了重积分计算过程的常用技巧，但是实际做题遇到的问题依旧会很多。
多元函数积分总结——重积分
“方法看懂了，一做题还是不知道选哪个坐标系。”
“对称性、形心公式，什么时候能用，什么时候不能用？
“先一后二和先二后一，到底怎么选？”
这些问题其实很正常。重积分的难点从来不是公式本身，而是面对一道具体题目时，能不能快速判断该走哪条路。坐标系选错了，积分限写得再对也算不下去；次序选反了，被积函数再简单也积不出来。
所以这篇文章通过几道典型例题，加深对这些技巧的掌握和运用。
1、
先画出区域示意图：
首先区域无对称性，不用考虑对称性方面，直接积分求解即可；
如果考虑先y后x，很明显需要分段讨论(以1为分段点)，比较麻烦，因此考虑先x后y：
确定积分上下限： ,则有：
先画出区域示意图：
首先区域对称性，第一眼可能觉得是个不规则区域，但是仔细观察就能发现，原区域D可以分割成两个区域D1和D2，而这两个区域刚好分别关于Y轴和X轴对称。
先看D1部分：
Y轴对称看X的奇偶性，很明显 是关于x的奇函数，所以在D1这部分的结果为0；
再看D2部分：
X轴对称看Y的奇偶性，很明显 是关于Y的奇函数，所以在D1这部分的结果为0；
因此原式 = 0。
方法一（常规方法，不考虑任何技巧）：
先画出区域示意图（因为积分中有绝对值，需要分类讨论去绝对值符号，很明显零线是）：
区域是圆，直接考虑使用极坐标：
方法二：
积分区域明显关于X、Y轴对称，如果将其划分成以下8个区域：
方法三：
先画出区域示意图：
这个区域是一个上半球体，非常简单，这里就不作示意图了 。计算如下：
方法一(先一后二)：
方法二(先二后一)：
这里其实也有两种方法，大家可以比较一下这两种方法的计算过程。
先固定x
先固定z
（1）先固定x
（2）先固定z
这几道例题做下来，其实可以归纳成一句话：
重积分的计算，先看区域，再看函数，最后才看技巧。
区域决定坐标系和积分次序，函数决定能不能积得动，技巧只是在两者都清楚之后，帮你省掉一部分计算。顺序不能反。如果一上来就想着用对称性或者形心公式，很容易忽略前提条件，最后反而卡在某个积分上。
具体来说，可以记住三个判断步骤：
第一步，看区域。区域是圆、环、扇形，优先考虑极坐标；区域是柱体、锥体、球体，优先考虑柱面或球面坐标。区域不规则，再回到直角坐标，比较先一后二和先二后一哪个上下限更简单。
第二步，看被积函数。函数里出现极坐标往往更顺；出现球面坐标值得优先考虑。
第三步，看能不能用技巧。区域关于坐标面对称，函数有奇偶性，先想“偶倍奇零”；区域轮换后不变，函数也轮换后不变，先想轮换对称性；积分里出现 (x) 或 (y) 的一次项，且区域面积好求，先想形心公式。
如果这三步都走完了，积分还是复杂，那就回到最朴素的办法：选一个上下限简单、容易积出来的次序，一步一步积下去。
重积分没有那么多偏方。基本功牢了，技巧才有意义；基本功不牢，再漂亮的公式也只是空中楼阁。
希望这几道例题，能帮你把上一篇文章里的方法，真正变成自己手里的工具。