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【小学数学模型】02|中线一画,面积正好对半分
数学模型 · 小学数学 · 第 02 篇
02｜一半模型｜把这一类题一次讲透
一、开门见山：这节课解决什么问题
同学们，小升初卷子里有一类题特别喜欢考「一半」：三角形里画一条中线，问分出来的小块面积是多少；长方形里随便点一个点连两条边，问围出的三角形面积是多少。这类题看着花样多，其实全是一个套路——「一半模型」。今天这节课我们就把这个套路连根挖出来，学完你再看到「中线」「长方形内一点」这些字眼，答案基本能脱口而出。
二、知识清单：先把地基打牢
●中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。中线的前提是有「中点」，这是本模型的入场券。
●等底同高面积相等：底相等、高相同的两个三角形面积必然相等，这是一半模型的理论根基（来自上一篇的等积模型）。
●三角形面积公式：S=12×底×高，所有「一半」结论都能用它推出来。
●长方形（平行四边形）的面积：S=底×高，其中「底乘高」恰好是同底等高三角形面积的 2 倍。
三、概念讲透：这个模型到底在说什么
一半模型讲的是两类「天然一半」的结构。第一类：三角形被任意一条中线分成面积相等的两块。设 AD 是 △ABC 的中线，D 是 BC 中点，那么 BD=DC，而 △ABD 与 △ACD 从顶点 A 作高，高是同一条，等底同高，面积自然各占总面积的一半。注意「任意」两个字——不管三角形长成什么样、中线画在哪条边上，结论都成立。
第二类：长方形（或平行四边形）内一点与一组对边端点连成的三角形，面积是整个长方形的一半。比如长方形 ABCD 中，E 是 BC 边上（甚至长方形内部）任意一点，以 AD 为底看 △AED，它的高恰好等于长方形的宽，于是 S△AED=12×AD×宽=12S长方形。为什么是「一半」？因为三角形面积公式里天生带着一个 12，底和高又和长方形完全一致，这个 12 就原封不动地保留了下来。核心说穿了就一句话：它们都是「等底同高」的等积变形。
什么时候用？题干出现「中线」「中点连线」，或者「长方形（平行四边形）内一点连一组对边」，并且问面积关系，立刻调用一半模型。要和等积模型区分：等积模型只说「相等」，一半模型进一步告诉你「恰好是整体的一半」；要和后面蝴蝶模型区分：蝴蝶模型要求梯形加两条对角线，结构完全不同。
四、核心公式（每个字母都要认识）
●S△ABC：整个三角形的面积；
●S△ABD：中线 AD 分出的其中一块的面积（D 为 BC 中点）；
●成立条件：AD 必须是中线，即 BD=DC；
●常见变形：已知小块求整体，S△ABC=2S△ABD；长方形版本：S△AED=12S长方形（E 在一组对边之一上）。
五、图形长什么样
模型结构示意图
1认结构：图中有没有中线（中点连线）？或者「长方形内一点连一组对边」？两者居一，进入本模型。
2定关系：中线 ⇒ 两块面积相等，各占一半；长方形内一点连对边 ⇒ 三角形面积是长方形的一半。
3做拆分：把所求图形拆成或拼成「一半结构」，再代入已知面积计算。
4查倍数：看清题目问的是「一半」还是「整体」，决定除以 2 还是乘 2。
六、标准解题流程
1识别中线（或「长方形内一点连对边」）这一结构特征。
批注 必须确认是「中点」，题目没说是中点就不能当中线用，这是本模型最常踩的坑。
2利用等底同高得到面积一半关系。
批注 心里默推一遍「等底同高 ⇒ 面积相等」，别只背结论，考试变形题要靠原理兜底。
3把所求图形拆成/拼成一半结构后计算。
批注 问小块就除以 2，问整体就乘 2，方向搞反是低级失分点。
七、例题精讲：从基础到变式
例1（基础）
题目
AD 是 △ABC 的中线，S△ABC=24 平方厘米，求 S△ABD。
例1 题图
审题关键
圈出「中线」两个字——它保证了 D 是 BC 的中点。
规范解答
中线 AD 把 BC 分成相等的两段 BD、DC。△ABD 与 △ACD 等底（BD=DC）同高（从 A 向 BC 作的同一条高），面积相等，各为总面积的一半：S△ABD=24÷2=12（平方厘米）
方法提炼
见中线，想一半——中线就是三角形的「面积平分线」。
例2（变式）
题目
（变式）长方形 ABCD 中，E 是 BC 边上任意一点，长方形面积为 40，求 S△AED。
例2 题图
审题关键
变在没有中线，换成了「长方形边上任意一点连对边」，考的是第二类一半结构。
规范解答
以 AD 为底，E 在 BC 上，BC∥AD，所以 E 到 AD 的距离（即 △AED 的高）等于长方形的宽。S△AED=12×AD×宽=12×40=20E 点位置不影响结果。
方法提炼
「边上任意一点」是一半模型的暗号——点在平行于底的边上滑动，高不变，一半的关系雷打不动。
八、小升初常考题型精讲
题型一：中线平分面积型
题目
AD 是 △ABC 的中线，S△ABC=36 平方厘米，则 S△ABD=（ ）
A．9 平方厘米 B．12 平方厘米 C．18 平方厘米 D．36 平方厘米
题型一 题图
审题关键
「中线」＋求分块面积，直接一半。
规范解答
中线把三角形分成等底同高的两块，S△ABD=12×36=18（平方厘米）。
方法提炼
基础送分题，速度要快，把时间留给后面的题。
题型二：长方形中一点连对边型
题目
长方形 ABCD 的面积为 56 平方厘米，E 是 BC 边上任意一点，连接 AE、DE，则 S△AED= ____ 平方厘米。
题型二 题图
审题关键
「长方形」「边上任意一点」「连一组对边的端点」——三要素齐全。
规范解答
以 AD 为底，E 到 AD 的距离等于长方形的宽，S△AED=12×AD×宽=12×56=28（平方厘米）
方法提炼
三角形与长方形同底等高，面积必为一半。
题型三：平行四边形内一点两组对边型
题目
平行四边形 ABCD 的面积为 50，P 是平行四边形内部任意一点，则 S△ABP+S△CDP=（ ）
A．25 B．50 C．12.5 D．无法确定
题型三 题图
审题关键
点在「内部」，连的是「一组对边」AB 与 CD，求两块之和。
规范解答
设 P 到 AB、CD 的距离分别为 h1、h2，则 h1+h2 等于平行四边形的高。S△ABP+S△CDP=12×AB×h1+12×CD×h2而 AB=CD，提取公因式得 12×AB×(h1+h2)=12×S平行四边形=25。
方法提炼
内部任意一点连一组对边，两个三角形面积之和仍是整体的一半——这是「一半模型」的升级版。
题型四：由小块反求整体型
题目
△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，S△ABD=17 平方厘米，则 S△ABC= ____ 平方厘米。
题型四 题图
审题关键
这次给的是「一半」，求整体，方向反了，要用乘法。
规范解答
中线 AD 把 △ABC 分成同高、底相等（BD=DC）的两块，S△ABD=S△ACD=17，所以 S△ABC=17×2=34（平方厘米）。
方法提炼
一半和整体之间是「乘 2、除 2」的关系，先判断方向再动笔。
题型五：平行四边形边上一点型
题目
平行四边形 ABCD 的面积为 36，E 是 BC 边上任意一点，连接 AE、DE，则 S△AED=（ ）
A．9 B．18 C．36 D．12
题型五 题图
审题关键
长方形换成了平行四边形，结论变不变？——不变。
规范解答
△AED 以 AD 为底，E 在与 AD 平行的直线 BC 上，E 到 AD 的距离等于平行四边形的高，S△AED=12×AD×高=12×36=18E 在 BC 上怎么移动都不影响。
方法提炼
一半模型对长方形和平行四边形通吃，关键只看「同底等高」。
九、真题再现：经典考题拆解
考题一（经典考题）
题目
△ABC 中，D、E 分别是 BC、AD 的中点，S△ABC=48 平方厘米，求 S△BDE。
考题一 题图
审题关键
连续两个中点——中线套中线，一半再一半。
规范解答
AD 是中线，△ABD 占一半：S△ABD=48÷2=24。在 △ABD 中，E 是 AD 中点，BE 是它的中线，再分一半：S△BDE=24÷2=12（平方厘米）
方法提炼
中线可以连续使用，每出现一次中线，面积就再折一次半。
考题二（改编自常见考题）
题目
长方形 ABCD 的长为 10 厘米、宽为 8 厘米，E 是长方形内部任意一点，求 S△ABE+S△CDE。
考题二 题图
审题关键
内部一点连一组对边 AB、CD——升级版一半模型。
规范解答
设 E 到 AB、CD 的距离分别为 h1、h2，则 h1+h2=8。S△ABE+S△CDE=12×10×h1+12×10×h2=12×10×8=40（平方厘米）
方法提炼
点在内部时，两个三角形「高的和」拼成整条宽，面积之和仍是长方形的一半，与点的位置无关。
十、易错点与避坑指南
✗ 常见错误把「任意一条线段」当成中线来分面积。
✓ 正确做法必须是中点连线（或长方形内一点连一组对边）才有一半关系，题目没给中点就要先证明或放弃本模型。
✗ 常见错误两条中线交出的四块面积，记成「各占一半」。
✓ 正确做法两条中线把三角形分出的四块中，相关小块是整体的四分之一层级的关系，别和「一条中线分一半」混淆。
✗ 常见错误给小块求整体时还除以 2。
✓ 正确做法先问自己「已知的是一半还是整体」，一半求整体乘 2，整体求一半除 2。
✗ 常见错误以为点在内部就不满足一半关系。
✓ 正确做法只要连的是一组对边，点在边上还是内部，「一半」都成立（内部时两块之和为一半）。