广州初中数学教研群常规讨论记录4

旋转相似出定值：一道教研群热题的三种解法

—— 今天广州初中数学教研群的部分讨论

引言：题目条件里藏着"旋转相似"的经典结构——等边三角形配 60° 夹角，再补一组等角，相似便一触即发。先剧透一个结论：点 F 的轨迹其实是一条平行于 AB 的直线，正因如此，△FAB 的面积才是定值。

01题目　PROBLEM

（广州甘清改）如图，等边△ABC 中，AB=1，BE=CD，F 为等边外一点（如图 AB 左方），连接 FB、FA，∠FAE=60°，∠F=∠AED。求证：△FAB 的面积是定值。

图 1：题目原图

02方法一：直奔主题，作双高比较　施老师 · 金刚老师的方法

这是施老师和金刚老师的方法，笔者照此解析，直奔主题，简单利索。

思路：过 F 作 FM⊥AB 于点 M。要证面积为定值，只需证 FM 是定值。由图中阴影部分相似，故作 DH⊥AC 于点 H——相似三角形的对应高之比等于相似比，又 BD=AE，于是有：

从而 △FAB 的面积为：

图 2：方法一解析（施老师 · 金刚老师）

03方法二：面积比连乘，一路通到底　苏老师的方法

苏老师的方法更妙：全程只用一组相似三角形，把三个面积比连乘，一路面积比直接出答案，堪称"无招胜有招"。

由 △FAB∽△ADE（旋转相似），面积比等于相似比的平方；再由 BE=CD 得 AD=AE、EC=BC，逐项相乘恰好全部约去，立得 [FAB]=[ABC]，即面积为：

图 3：方法二解析（苏老师）

04方法三：全等之中藏相似，角平分线现形　平头哥的方法

平头哥的方法视角独特：在发现一组全等的同时还发现了相似，从而得到角平分线，后续便是一串自然又完美的几何构造。

思路：由 △AFB∽△AED，导出 △AFE∽△ABD∽△CAE，于是得到下面的角的关系，进而 PA=PF：

从而 FH=AG=AK 均为定值：

最终 △FAB 的面积为：

图 4：方法三解析（平头哥）

05结语　SUMMARY

三种解法殊途同归：方法一直接作高、用相似比转移；方法二面积比连乘、一气呵成；方法三从全等与相似交织处找到角平分线，构造水到渠成。而这一切的背后，都是 F 的轨迹——那条平行于 AB 的定值直线。

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