高等数学第一章习题课:函数、极限、连续与间断点

参照 Stewart《Calculus》、Spivak《Calculus》等英文教材习题风格编写，适合作为第一章综合习题课使用。

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一、函数与定义域

1. 求下列函数的定义域与值域

（1）f(x) = √(4 − x²)

（2）g(x) = ln(2x − 1)

（3）h(x) = 1 / (x² − 5x + 6)

2. 设 f(x) = x / (1 + x²)，求 f(f(x)) 并确定其定义域。

3. 判断下列函数的奇偶性

（1）f(x) = x³ sin x

（2）g(x) = eˣ + e⁻ˣ

（3）h(x) = ln(x + √(1 + x²))

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二、极限的计算

4. 计算下列极限，写出完整代数步骤，不得使用洛必达法则

（1）lim(x→2) (x² − 4) / (x² − 3x + 2)

（2）lim(x→0) (√(1 + x) − 1) / x

（3）lim(x→0) (tan x − sin x) / x³

（4）lim(x→1) [ 1/(x − 1) − 2/(x² − 1) ]

（5）lim(x→+∞) (√(x² + x) − x)

5. 利用夹逼定理计算

（1）lim(x→0) x² sin(1/x)

（2）lim(x→+∞) sin x / x

6. 计算下列与 e 有关的极限

（1）lim(x→0) (1 + 2x)^(1/x)

（2）lim(x→+∞) (1 + 3/x)^(2x)

（3）lim(x→0) (eˣ − 1) / x

7. 设分段函数 f(x)：

· 当 x < 0 时，f(x) = sin 2x / x

· 当 x = 0 时，f(x) = a

· 当 x > 0 时，f(x) = (√(1 + x) − 1) / x

求使 lim(x→0) f(x) 存在的 a 值。

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三、连续性与间断点

8. 指出下列函数的间断点，并判断类型（可去、跳跃、无穷）

（1）f(x) = (x² − 1) / (x − 1)

（2）g(x) = x / (x² − x)

（3）h(x)：当 x < 0 时 h(x) = x + 1；当 x ≥ 0 时 h(x) = x² + 1

（4）p(x) = tan x

（5）q(x) = 1 / (e^(1/x) − 1)

9. 设 f(x)：当 x ≠ 3 时 f(x) = (x² − 9) / (x − 3)；当 x = 3 时 f(x) = k。求使 f 在 x = 3 处连续的 k 值。

10. 设 f(x)：

· 当 x < 0 时，f(x) = (1 − cos x) / x²

· 当 x = 0 时，f(x) = a

· 当 x > 0 时，f(x) = ln(1 + x) / x

求使 f 在 x = 0 处连续的 a 值。

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四、闭区间上连续函数的性质

11. 利用介值定理证明方程 x³ − 4x + 1 = 0 在区间 (0, 1) 内至少有一个根。

12. 证明方程 cos x = x 在 (0, 1) 内至少有一个解。

13. 设 f 在 [0, 1] 上连续，且对任意 x ∈ [0, 1] 有 0 ≤ f(x) ≤ 1。证明存在 c ∈ [0, 1] 使 f(c) = c。

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五、综合题

14. 设 f(x) = (x² + ax + b) / (x − 1)。若 lim(x→1) f(x) = 3，求 a、b。

15. 讨论 f(x) = lim(n→∞) (x^(2n) − 1) / (x^(2n) + 1) 的连续性，并画出图像。

16. 设 f(x)：当 x ≠ 0 时 f(x) = x sin(1/x)；当 x = 0 时 f(x) = 0。

（a）证明 f 在 x = 0 处连续；

（b）证明 f 在 x = 0 处不可导。

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参考答案与提示

题号 答案 / 提示

1（1） 定义域 [−2, 2]，值域 [0, 2]

1（3） 定义域 x ≠ 2, 3

2 f(f(x)) = x(1 + x²) / [x² + (1 + x²)²]，定义域 R

3（1） 偶函数

3（3） 奇函数

4（1） 2

4（2） 1/2

4（3） 1/2

4（4） 1/2

4（5） 1/2

6（1） e²

6（2） e⁶

6（3） 1

8（1） x = 1，可去间断点

8（3） x = 0，跳跃间断点

8（5） x = 0 跳跃间断点；x = 1 无穷间断点

9 k = 6

10 a = 1/2

14 a = −5，b = 4

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教学建议：本习题课建议安排 2 课时。第一课时重点讲解极限计算与夹逼定理；第二课时重点讲解间断点分类与闭区间上连续函数性质。第 16 题可作为压轴题，引导学生理解“连续不一定可导”这一重要概念。