(184)--第一章求极限测试卷答案_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

第一章测试卷答案
求解下列各题(每题10分,共100分)
 3 1 
1.【解】limx sinln(1 )sinln(1 )
 
x  x x 
3 1
limxsinln(1 ) limxsinln(1 )
x x x x
3 1
limx( ) limx( )
x x x x
2
m1xn 1x 1
2.【解1】lim
x0 x
m1xn 1x m1x m1x 1
lim lim
x0 x x0 x
x
n 1x 1
m
lim lim
x0 x x0 x
x
  
n
lim   
x0 x m n m
m1xn 1x 1
【解2】lim
x0 x
x x
[1 (x)][1 (x)]1
m n
lim (泰勒公式)
x0 x
x x
 (x)
m n
lim
x0 x
 
 
m n
m1xn 1x 1
【解3】lim
x0 x
 1 1  1 1
(1x)m n 1x  (1x)n m1x
m n
lim (洛必达法则)
x0 1
 
 
m n
1ex2 e22cosx e22cosx[ex222cosx 1]
3.【解1】lim lim
x0 x4 x0 x4
x2 22cosx
lim （极限非零的因子极限先求出来，等价代换）
x0 x4
x2 x4
x2 22[1  (x4)]
2! 4!
lim （泰勒公式）
x0 x4
1

12
ex2 e22cosx e[x2 22cosx]
【解2】lim lim （拉格朗日定理）
x0 x4 x0 x4
x2 22cosx 2x2sinx
lim lim (洛必达法则)
x0 x4 x0 4x3
1
x3
1 6
 lim
2 x0 x3
1

12
(1sinx2)x (cosx)sinx
4.【解】lim
x0 x3
(1sinx2)x 1 (cosx)sinx 1
lim lim
x0 x3 x0 x3
xsinx2 [1(cosx1)]sinx 1
lim lim
x0 x3 x0 x3
(cosx1)sinx
1lim
x0 x3
1
( x2)x
3
2
1lim 
x0 x3 2
5.【解1】当x0时，ln(x 1x2)~ x,
1 1 ln(1 x)ln(x 1 x2)
lim[  ]lim
x0 ln(x 1 x2) ln(1 x) x0 ln(1 x)ln(x 1 x2)
ln(1 x)ln(x 1 x2)
lim
x0 x2
21 1

1x 1x2
lim (洛必达法则)
x0 2x
1 1

1 x 1 x2 1 x2 1x 1
lim lim 
x0 2x x0 2x 2
【解2】当x0时，ln(x 1x2)~ x,
1 1 ln(1 x)ln(x 1 x2)
lim[  ]lim
x0 ln(x 1 x2) ln(1 x) x0 ln(1 x)ln(x 1 x2)
ln(1 x)ln(x 1 x2)
lim
x0 x2
1
(1 1x2)

lim （拉格朗日中值定理）
x0 x2
1
 x2
1
2
lim 
x0 x2 2
1 1
x x
 [t2(et 1)t]dt  [t2(et 1)t]dt
6.【解1】 lim 1  lim 1 （等价无穷小代换）
x
x2ln(1
1
)
x
x2
1
x x
1
 lim[x2(ex 1) x] （洛必达法则）
x
1
t
x et 1t
 lim （变量代换）
t0 t2
et 1
 lim （洛必达法则）
t0 2t
1

2
1 1
x x
 [t2(et 1)t]dt  [t2(et 1)t]dt
【解2】 lim 1  lim 1 （等价无穷小代换）
x
x2ln(1
1
)
x
x2
1
x x
1
 lim[x2(ex 1) x] （洛必达法则）
x
31 1 1
 lim[x2(  ( )) x] （泰勒公式）
x x 2!x2 x2
1

2
1 ln(cos2x2xsinx)
lim
7.【解1】因为lim(cos2x2xsinx)x4 ex0 x4
x0
ln(cos2x2xsinx) 1 2sin2x2sinx2xcosx
且lim lim 
x0 x4 x0 cos2x2xsinx 4x3
2cos2x2cosxxsinx
lim
x0 6x2
4sin2x3sinxxcosx
lim
x0 12x
1

3
1 1
所以lim(cos2x2xsinx)x4 e3.
x0
1
【解2】 原式lim[12sin2 x2xsinx]x4
x0
2sin2 x2xsinx 2sinx(xsinx)
lim lim
x0 x4 x0 x4
x3
2x
6
lim （等价无穷小代换）
x0 x4
1

3
1
原式e3
8.【解】 lim(cotx)sin2x  limesin2xlncotx
x0 x0
limsin2xlncotx  lim2xlncotx
x0 x0
lnsinx
2lim
x0 1
x
cotx
2lim （洛必达法则）
x0

1
x2
x2
2lim 0
x0 tanx
4则 lim(cotx)sin2x e0 1.
x0
b
9.【解1】由 lim[xaln(1 )x]c可知
x x
 b 
xaln(1 )
 
x
lim  1 0
x

x

 
b
xaln(1 )
x
bxa
即 1 lim  lim
x x x x2
则a 2,b1.
b 1
c lim[xaln(1 )x]  lim[x2ln(1 ) x]
x x x x
1 1
 lim x2[ln(1 ) ]
x x x
1 1 1
 lim x2[ ( )2] 
x 2 x 2
b
【解2】c  lim[xaln(1 )x]
x x
b b2 1
 lim[xa(  ( )2)x] （泰勒公式）
x x 2x2 x
1
由此可知a 2,b1,c  .
2
 x 1   1 1 1 1 
10.【解】 lim(x3 x2  )ex  1x6   lim x3 (1  )ex  1 
x 2  x  x 2x2 x6 
 1 1  1 1 
 lim x3 (1  )e x 1 
x  x 2x2 x6 
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 lim x3 (1  )[1   ( )][1( )]
 
x  x 2x2 x 2x2 3!x3 x3 x3 
1 1 1  1
 lim x3 ( ) 
 
x 3！x3 x3  6
5