(205)--第一章：函数极限连续_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

《高等数学辅导》讲义习题讲解
武 忠 祥MO O C
练习题精选 中国大学
t 兰哭兰二．是（
函数/(x)= ）．
(A)单调函数 (B)周期函数 ..
/co>
(C)偶函数 元界函数【解】 f (x) 在 x  1,0,1 处没定义，
x x  1 e xln x  1
lim f (x)  lim  lim
x1 x1 x(x  1)ln x x1 x(x  1)ln x
x ln x 1
 lim  lim  
x1 x(x  1)ln x x1 x  1
x x  1 e xln x  1
lim f (x)  lim  lim
x0 x0 x(x  1)ln x x0 x(x  1)ln x
x ln x 1
 lim  lim  1
x0 x(x  1)ln x x0 x  1
x x  1 e xln x  1
lim f (x)  lim  lim
x1 x1 x(x  1)ln x x1 x(x  1)ln x
x ln x 1 1
 lim  lim 
x1 x(x  1)ln x x1 x  1 2【解】应选（C）
由题设可知， 否则 只有一个间断点
b  0, f ( x) x  0.
显然 x  0 是 f ( x) 的一个间断点,而另一个间断点只能是
而
x  1. b  e.
2
a (x 2  a 2 )(x  1)
lim f (x)  , lim f (x)  0. lim f (x)  lim
x0  e x0  x1 x1 1
e x  e
(x  1) 1 1  a 2
 (1  a 2 )lim  (1  a 2 )lim  
x1 1 x1 1 1 e
e x  e  e x
2
x 0, x  1
 0, x  0 
 , x  1
【解】 lim e nx    1, x  0 , lim x n   .
n 1, x  1

n

  , x  0   不存在， x  1
1
2e x 
2e
(n1)x
 1 nx
e
当 x  0 时 f (x)  lim  lim  2e x
n e nx  x n  1 n x 1
1  ( ) n 
x nx
e e
 0, x  1,

f (x)   1,  1  x  0,
故应选（D）.

2e x , x  01 2 n
【解】
ln x  ln(1  )  ln(1  )  ln(1  )
n 2 2 2
n n n
x
当 时， 则
x  0  ln(1  x)  x,
1  x
k
k k 2 k k
n
   ln(1  ) 
n 2  n n 2  k k n 2 n 2
1 
2
n
n n
k k
 
 ln x 
n 2  n n n 2
k1 k1
1 1
n(n  1) n(n  1)
n k 1 n k 1
 2  2
lim  lim  lim  lim 
n n 2 n n 2 2 n n 2  n n n 2  n 2
k1 k1
1
1
则 li m ln x  lim x  e2 .
n n
n 2 n1  2    n 1  2    n
【解】
lim  lim
n n(1  2    n) n n 2 (n  1)
2
n 1 1 2 n
 2 lim  (     )
n n  1 n n n n
2 2
1
 2  xdx 
0 31 ln(1sin2x 2 )
(1  sin 2x 2 )x 2  e 2 e x 2  e 2
【解1】
lim  lim
n n
x0 x x0 x
ln(1sin2x 2 )2x 2
e x 2  1
 e 2 lim
n
x0 x
ln(1  sin 2x 2 )  2x 2
 e 2 lim
n2
x0 x
2
4x cos 2x
 4x
1  sin 2x 2
 e 2 lim
x0 (n  2)x
n1
4e 2 cos2x 2  1  sin 2x 2
 lim  a  0
n  2 x0 x n
n  2, a  2e 2ln(1  sin 2x 2 )  2x 2
【解2】 左端  e 2 lim
n2
x0 x
2 2
sin 2x
sin 2x 2  (sin 2 2x 2 )  2x 2
2
 e 2 lim
n2
x0 x
 a  0
2 2
sin 2x

2
 n  2, a  e 2 lim  2e 2
4
x0 xln(1  sin 2x 2 )  2x 2
【解3】 左端  e 2 lim
n2
x0 x
[ln(1  sin 2x 2 )  sin 2x 2 ]  [2x 2  sin 2x 2 ]
 e 2 lim
n2
x0 x
1 1
[ (sin 2x 2 ) 2 ]  [ (2x 2 ) 3 ]
2 6
 e 2 lim
n2
x0 x
1 1
(x  ln(1  x) ~ x 2 , x  sin x ~ x 3 )
2 6
 2x 4
 n  2, a  e 2 lim  2e 2
4
x0 x．一0 M O O C
中国大学
ax-smx
30 ..确 定常数a b,c 的值 ，使 lim
.,. 咄「 ln(l+13 ) dt = c (c :})-
t>' o
。
+
l D
从一
l
止 斗一彴义 一句义
＝吐
一
o :
灼 兰 卧 X 1.
二红、二包立＿
二
购炉 七ln(1  x 2 )  ln(1  sin 2 x) ln(1  x 2 )  ln(1  sin 2 x)
【解1】 原式
 lim  lim
x0 ln(1  x 2 )ln(1  sin 2 x) x0 x 4
 x 2  sin 2 x 
  
ln 1
  x 2  sin 2 x
1  sin 2 x
 

lim

lim
4 x0 x 4 (1  sin 2 x)
x0 x
x  sin x x  sin x
 lim  lim
3
x0 x x0 x
1
3
x
1
6
 2 lim 
3
x0 x 3ln(1  x 2 )  ln(1  sin 2 x)
【解2】 原式 
lim
x0 ln(1  x 2 )ln(1  sin 2 x)
ln(1  x 2 )  ln(1  sin 2 x)

lim
4
x0 x
1
( x 2  sin 2 x)

1
 (拉格朗日中值定理)
lim
4
x0 x
( x  sin x)( x  sin x) 1
 
lim
4
x0 x 3sin x
x x [( ) x  1]
x
【解1】 原式
  lim ( lim x x  1)
3
x0  x x0 
sin x
xln
e x  1
  lim
3
 x
x0
sin x sin x  x
ln ln(1  )
x
x
  lim   lim
x0  x 2 x0  x 2
1
 x 3
sin x  x
6
  lim   lim
3 3
x0  x x0  x
1
 .
6【解2】 原式1 lnx
1 1 ln(xx1) ln(e x 1)
【解】
lim (x x  1)ln x  lim e ln x  lim e ln x
x x x
ln x ln x
ln(e x  1) xe x 1  ln x
因为
lim  lim  ,
ln x 2
x ln x x x
e x  1
ln x
而当
x   
时，
 0
x
ln x ln x
ln(e x  1) e x 1  ln x 1  ln x
所以 lim  lim   lim  1.
x ln x x ln x x x ln x
x
1 1
故 lim (x x  1)ln x  e 1 .
x1 1 1 1
【解】
[     ]
1 2 n
n
1  ( ) 2 1  ( ) 2 1  ( ) 2
n n n
1 1
n  n 
n  1
2 n
   
[  ]
1 2  n 2 2 2  n 2 n 2  n 2
n  1 1 1 1
   
[  ]
n 2 1 2 n
 2  2  2
1 ( ) 1 ( ) 1 ( )
n n n
1 1 1 1 1 
1
lim [     ]   dx 
n n 1  ( 1 ) 2 1  ( 2 ) 2 1  ( n ) 2 0 1  x 2 4
n n nx x  1
【解】 则 为无穷间断点.
x  1, lim   x  1
x1 ln | x |
 (x  1)  1
x  1, lim  lim  1
x(1)  ln | x | x(1)  1
x
x  1 1
lim  lim  1
x(1)  ln | x | x(1)  1
x
为跳跃间断点.
x  1
x x  1
为可去间断点.
x  0, lim  0 x  0
x0 ln | x |