高中物理·如何不用辅助角公式求出最小力

物体在一个恒力的作用下处于特定的运动状态，求恒力的最小值及方向。

例题：质量为m的物体静止在水平地面上，然后在一个恒力F的作用下向左做匀加速直线运动，加速度为a。已知物体与水平地面的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求恒力的最小值与方向。

思路：对力进行正交分解→根据运动状态列出力的方程组→得到F的式子→根据三角函数的辅助角公式求F的最小值：

以上是代数解法，有一个几何解法来代替，也可以叫做动态矢量图：

当F的方向顺时针旋转，与水平方向成一定角度时，它在竖直方向的分力导致物体与地面间的压力F_N减小，进而使得滑动摩擦力f减小，最终使得所需要的F_合减小，使物体处于特定运动状态所需要的F_合的减少量=f的减少量=F在竖直方向的分力×动摩擦因数μ。左图中，用红色虚线表示f的减少量，将它竖直放置，表示要想减少这么多的f（F_合），F在竖直方向的分力×动摩擦因数μ就得这么多。在右图中，将f的减少量÷动摩擦因数μ，得到对应的F在竖直方向的分力，用蓝色实线表示。黑色实线就是该方向上的F。

当F方向继续旋转，与水平方向的角度持续增大时，F_N持续减小，f持续减小，每个方向上表示F的矢量的箭头都在绿色虚线上滑动，由图可知，当它垂直于绿色虚线的时候取到最小值，此时与水平方向的夹角的正切值等于绿色虚线和水平方向夹角θ的正切值的倒数，即μ。

用动态矢量图不仅可以让没有学过三角函数辅助角公式的学生也会做这道题，还能借助动态图的演绎洞悉力与力之间的逻辑关系。

总结一下动态矢量图的思路：

①　作合力：作出最简单最容易想到的情况下的的合力

②　引直线：以①中合力的矢量箭头为起点，以正切值1/μ引直线

③　作垂线：以力的作用点为起点向②中直线做垂线段，垂线段就是最小力

以下是个练习：

某同学打算用拖把拖一拖竖直的玻璃。他通过拖把对质量m为0.5kg的拖头施加斜向上的推力F。已知拖头与玻璃间的动摩擦因素μ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s²。若想使拖头恰好不沿玻璃下滑，求推力F的最小值以及此时F与玻璃平面的正弦值。

提示：拖头恰好不沿玻璃下滑，意味着静摩擦力达到最大且方向向上。以下是某个随便选定的方向的力的矢量图