高中物理模型&知识总结 200 例|第 29 期 牛顿第二定律-弹力突变问题

绳与弹簧的弹力突变问题

适合：【高三一轮】

一、模型识别

第 25 期问的是绳两侧张力相不相等，第 26 期问的是杆的弹力沿不沿杆，说到底都是"力该怎么画"。这一期换了个问法——同一个力，能不能在剪断的那一瞬间就没有了。答案只有两种：绳说没就没，弹簧不能。

识别信号：

• 出现"剪断""烧断""突然撤去""拔掉"配上"瞬间"两个字——一定考突变，而且只问那一瞬
• 问"剪断瞬间某物体的加速度"——不是问之后怎么运动，别答跑题
• 器材里同时出现绳（细线）和弹簧——两者必然被区别对待，这就是考点
• 出现"轻绳""轻弹簧"——质量不计，才谈得上"瞬间"，否则绳自己的惯性会拖住
• 出现"系统静止"——说明剪断前是平衡态，弹簧的形变可以用平衡条件算出来

为什么两者不一样，一句话就够：绳几乎不能伸长，两端距离一变、张力立刻跟着变；弹簧的形变要靠位移一点点积累，位置不能瞬间跳变，形变也就不能，弹力只能连续变化。

二、核心规律

第一步　先分清谁是"保形"的

• 轻绳、细线：不保形。剪断瞬间张力按新状态重算，多数情况直接归零
• 轻弹簧、橡皮筋：保形。剪断瞬间弹力保持原值，因为形变来不及变

这一步判错，后面全错。两种器件的画法也不同：绳画直线，弹簧画折线，出题人就是在用图提醒你。

第二步　剪断之前，先把弹簧的弹力算出来

弹簧吊着谁、撑着谁，它的弹力就等于那部分的重力。这个数必须在剪断之前算，剪断之后弹力虽然保留，但已经没有现成的平衡条件可用。

第三步　剪断瞬间逐个隔离，不许用整体法

整体法的前提是两个物体加速度相同。剪断瞬间它们往往不同——例题 1 里一个 1.5g 一个零——前提一破， 就不成立。

第四步　每个物体只列"突变之后还剩下的力"

重力永远在；绳的力已经归零；弹簧的力保留原值。剩下的力求合力，除以自己的质量得加速度，方向跟着合力走。

第五步　剪断之后怎么动，另算

弹簧的形变会随运动改变，弹力是变量，加速度也是变量，这是变加速。剪断瞬间那个加速度只在那一瞬成立，不能拿来套全程。

一句话：绳说断就断，弹簧断不了；剪断瞬间弹簧保原值、绳力归零，逐个隔离各算各的，整体法当场作废。

三、例题 1

题目：

如图 1 所示，质量  的球 A 用轻绳悬挂在天花板下，A 的下端用轻弹簧连接质量  的球 B，系统静止。某时刻剪断轻绳，取 。下列说法正确的是（　　）

A．剪断瞬间，B 的加速度为零

B．剪断瞬间，A 的加速度大小为 ，方向竖直向下

C．剪断瞬间，A、B 的加速度都等于 

D．若把 A、B 之间的弹簧换成轻绳，剪断上方轻绳的瞬间，B 的加速度仍为零

答案：　AB

解析：

剪断之前 B 是静止的，只受重力和弹簧的拉力，所以弹簧此刻的弹力

这个 10 N 就是弹簧当前的形变对应的力，剪断瞬间它不变。

再看 A。剪断前 A 受三个力：重力 20 N 向下，弹簧拉力 10 N 向下，绳的拉力 30 N 向上，三力平衡。注意弹簧的 10 N 对 A 是向下的——弹簧在 A 下方被拉长，它想收缩，把 A 往下拽、把 B 往上提。

剪断之后，绳的 30 N 立刻消失，弹簧的 10 N 还在。

先看 B。B 受重力 10 N 向下、弹簧拉力 10 N 向上，两个力等大反向：

同一个弹簧两端弹力必然相等，这就是 B 加速度为零的全部原因。A 正确。

再看 A。重力 20 N 向下，弹簧 10 N 也向下，两个力同向叠加：

方向竖直向下。B 正确。

C 项错在把弹簧当成了绳。要是弹簧的力也瞬间归零，A、B 就都只受重力，加速度都是 ——这正是最常见的错法。

D 项反过来，把绳当成了弹簧。换成轻绳以后，剪断上方那根，B 只受重力，加速度应为 。也可以这样想：绳不可伸长，剪断后两球的加速度必须相同，设下方绳张力为 ，对 B 有 ，对 A 有 ，两者相等只能要求 ，于是都得 。D 错误。

图 2 把剪断瞬间两个球的受力并排画出来。左边 A：向下的  长、向下的  短，长度比 2 比 1，两个力都朝下，加起来 30 N 全用来加速 2 kg，所以加速度大。右边 B：向上的  和向下的  等长，正好抵消，加速度为零。两根箭头在 B 那里刚好首尾相接成一竖线，看着像"什么都没发生"，其实这正是它加速度为零的样子。

四、例题 2

题目：

如图 3 所示，轻弹簧上端固定在天花板上，下端悬挂质量  的球 A，A 的下端用细线悬挂质量  的球 B，系统静止。某时刻剪断 A、B 之间的细线，取 。下列说法正确的是（　　）

A．剪断瞬间，B 的加速度为 ，方向竖直向下

B．剪断瞬间，A 的加速度为 ，方向竖直向上

C．剪断瞬间，弹簧的弹力立即变为零

D．剪断之后，A 将向上做匀加速直线运动

答案：　AB

解析：

这一题把弹簧和绳的位置换了：弹簧在上，绳在下。剪的还是绳，所以结论要重新算，不能照抄上一题。

剪断之前，弹簧吊着 A 和 B 两个球：

这是弹簧的形变对应的弹力，剪断瞬间保留。

B 失去向上的拉力，只剩重力：

方向竖直向下。B 从静止开始自由下落，加速度正好是 ，与它的质量无关。A 正确。

A 受重力 20 N 向下、弹簧 30 N 向上，合力 10 N 向上：

方向竖直向上。B 正确。注意这个加速度比  小一半——弹簧多给的 10 N 要摊到 2 kg 上。

C 项错在弹簧会突变。形变是 30 N 对应的那个伸长量，剪断瞬间来不及变，弹力仍是 30 N。要是真归零，A 就只剩重力，加速度该是  向下，与 B 项的结论直接冲突。

D 项错在"匀"字。A 向上运动，弹簧被逐渐放松，形变减小，弹力减小；合力  越来越小，加速度也越来越小。所以是变加速，不是匀加速。等弹力减到 20 N，A 的加速度为零、速度最大；再往上弹力小于 20 N，合力反向，A 开始减速。剪断瞬间的  只描述那一瞬，管不了之后。

图 4 是剪断瞬间的受力。左边 B 只剩一个向下的 ，加速度就是 。右边 A 有两个力，向上的  比向下的  长，长度比 3 比 2，差值只有 10 N，再除以 2 kg，加速度 5，比  小一半。同一张图上两个球的力箭头按同一比例画，长短可以直接比。

五、易错点

• 把弹簧当绳：以为剪断瞬间弹力也归零，例题 1 就会算成 。弹簧的形变需要位移，位移不能瞬间发生，弹力就不会跳变。
• 把绳当弹簧：以为绳的张力也能存住，例题 1 的 D 项就是这么错的。绳既不能压，也存不住力，剪断瞬间该归零就归零。
• 剪断瞬间用整体法：两个物体加速度已经不同，整体法的前提不成立。例题 1 里若拿  当答案，恰好与 C 项重合，是最容易掉进去的坑。
• 忘了弹簧还在拉 A：例题 1 中弹簧对 A 的 10 N 与重力同向，合力是 30 N 而不是 20 N。方向判错，加速度就跟着错。
• 弹簧对谁的力朝哪边搞反：先看弹簧被拉长还是压缩。例题 1 弹簧在 A 下方被拉长，对 A 向下拉；例题 2 弹簧在 A 上方被拉长，对 A 向上拉。位置一换，方向就反。
• 把瞬间加速度当成整段运动：弹簧形变会随运动变化，之后的加速度是变的。例题 2 的 D 项就错在一个"匀"字上。

一句话总结

一句话：剪断瞬间先分清谁保形——弹簧弹力原值保留，绳的张力当场归零；再逐个隔离，用剩下的力除以各自的质量，方向跟着合力走。要问之后怎么动，那是变加速，别拿瞬间值套全程。