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专题强化七 卫星变轨问题 双星模型
目标要求 1.会处理人造卫星的变轨和对接问题.2.掌握双星、多星系统，会解决相关问
题.3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题．
题型一 卫星的变轨和对接问题
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道 Ⅰ 上，卫星在轨道 Ⅰ
上做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示．
(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G<m，卫星做离心运动进入
椭圆轨道Ⅱ.
(3)在椭圆轨道B 点(远地点)将做近心运动，G>m，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点时
速率分别为vA、vB.在A 点加速，则vA>v1，在B 点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有
vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A
点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道 Ⅲ 上经过B 点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、
r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k 可知T1<T2<T3.
(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 轨道的机械能
分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则E1<E2<E3.
考向1 卫星变轨问题中各物理量的比较
例1 2021 年2 月，“天问一号”探测器成功实施近火制动，进入环火椭圆轨道，并于
2021 年5 月软着陆火星表面，开展巡视探测等工作，探测器经过多次变轨后登陆火星的轨
迹示意图如图所示，其中轨道 Ⅰ、Ⅲ 为椭圆，轨道 Ⅱ 为圆．探测器经轨道 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ
运动后在Q 点登陆火星，O 点是轨道 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 的切点，O、Q 还分别是椭圆轨道 Ⅲ 的
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远火星点和近火星点．下列关于探测器说法正确的是( )
A．由轨道 Ⅰ 进入轨道 Ⅱ 需在O 点减速
B．在轨道 Ⅱ 上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期
C．在轨道 Ⅱ 上运行的线速度大于火星的第一宇宙速度
D．在轨道 Ⅲ 上，探测器运行到O 点的线速度大于运行到Q 点的线速度
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例2 嫦娥五号完美完成中国航天史上最复杂任务后，于2020 年12 月17 日成功返回，最
终收获1 731 克样本．图中椭圆轨道 Ⅰ、100 公里环月轨道 Ⅱ 及月地转移轨道 Ⅲ 分别为
嫦娥五号从月球返回地面过程中所经过的三个轨道示意图，下列关于嫦娥五号从月球返回过
程中有关说法正确的是( )
A．在轨道 Ⅱ 上运行时的周期小于在轨道 Ⅰ 上运行时的周期
B．在轨道 Ⅰ 上运行时的加速度大小始终大于在轨道 Ⅱ 上运动时的加速度大小
C．在N 点时嫦娥五号经过点火加速才能从轨道 Ⅱ 进入轨道 Ⅲ 返回
D．在月地转移轨道上飞行的过程中可能存在不受万有引力的瞬间
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考向2 变轨问题中的能量变化
例3 2020 年我国北斗三号组网卫星全部发射完毕．如图为发射卫星的示意图，先将卫星
发射到半径为r1＝r 的圆轨道上做匀速圆周运动，到A 点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭
圆轨道的远地点B 点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r 的圆轨道做匀速圆
周运动．
已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A 点时的
速度为v，卫星的质量为m，地球的质量为m 地，引力常量为G，则发动机在A 点对卫星做
的功与在B 点对卫星做的功之差为(不计卫星的质量变化)( )
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A.mv2＋
B.mv2－
C.mv2＋
D.mv2－
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考向3 飞船对接问题
例4 北京时间2021 年10 月16 日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现
径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5 小时．为实现神舟十三号载人飞船与空间
站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动．对接
前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)．为到达这个位
置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是( )
A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，合适位置减速靠近即可
B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，合适位置减速靠近即可
C．飞船到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可
D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可
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题型二 双星或多星模型
1.双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω1
2r1，＝m2ω2
2r2.
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②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.
④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
⑤双星的运动周期T＝2π.
⑥双星的总质量m1＋m2＝.
2．多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度
或周期相同．常见的多星及规律：
常见的三星模型
①＋＝ma 向
②×cos 30°×2＝ma 向
常见的四星模型
①×cos 45°×2＋＝ma 向
②×cos 30°×2＋＝ma 向
例5 如图所示，“食双星”是两颗相距为d 的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上
O 点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星．
观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面．观测发现每隔时间T 两
颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G，地球距A、B 很远，可认为地球保持静止，
则( )
A．恒星A、B 运动的周期为T
B．恒星A 的质量小于B 的质量
C．恒星A、B 的总质量为
D．恒星A 的线速度大于B 的线速度
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例6 (多选)2019 年人类天文史上首张黑洞图片正式公布．在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞
时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统．在相互绕行的过程中，质量较大的恒星
上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称为
“潮汐瓦解事件”．天鹅座X－1 就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线
上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示．在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的
距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是( )
A．两者之间的万有引力变大
B．黑洞的角速度变大
C．恒星的线速度变大
D．黑洞的线速度变大
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例7 (多选)如图所示，质量相等的三颗星体组成三星系统，其他星体对它们的引力作用可
忽略．设每颗星体的质量均为m，三颗星体分别位于边长为r 的等边三角形的三个顶点上，
它们绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀速圆周运动．已知引
力常量为G，下列说法正确的是( )
A．每颗星体所需向心力大小为2G
B．每颗星体运行的周期均为2π
C．若r 不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度变为原来的倍
D．若m 不变，星体间的距离变为4r，则星体的线速度变为原来的
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题型三 星球“瓦解”问题 黑洞
1．星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会
“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提
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供向心力，即＝mω2R，得ω＝.当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行．
2．黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞
运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)
超过光速时，该天体就是黑洞．
考向1 星球的瓦解问题
例8 (2018·全国卷Ⅱ·16)2018 年2 月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星
“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力
常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3
B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3
D．5×1018 kg/m3
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考向2 黑洞问题
例9 科技日报北京2017 年9 月6 日电，英国《自然·天文学》杂志发表的一篇论文称，某
科学家在银河系中心附近的一团分子气体云中发现了一个黑洞．科学研究表明，当天体的逃
逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞．已知某天体与地球
的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1, 光速为c，则要使
该天体成为黑洞，其半径应小于( )
A.
B.
C.
D.
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