文档文本内容
1
高中物理必修第二册
章节
主要相关公式
第一章
功和机械能
功
cos
W
Fs
功率
W
P
t
P
Fv
动能
2
1
2
k
E
mv
动能定理
2
2
2
1
1
1
2
2
Fs
mv
mv
重力势能
p
E
mgh
重力做功
1
2
G
p
p
p
W
E
E
E
只有重力作用下，机械能守恒
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
mv
mgh
mv
mgh
第二章
抛体运动
竖直下抛
0
tv
v
gt
2
0
1
2
h
v t
gt
竖直上抛
0
tv
v
gt
2
0
1
2
h
v t
gt
0v
t
g
2
0
2
v
h
g
抛出点坐标原点，任意时刻位置
0
x
v t
2
1
2
y
gt
合速度：
2
2
2
2
0
(
)
(
)
x
y
v
v
v
v t
gt
，方向与水平方向夹角为，则tan
y
o
o
v
gt
v
v
合位移：
2
2
2
2
0
1
(
)
(
)
2
s
x
y
v t
gt
方向与水平方向夹角为，则
0
tan
2
y
gt
x
v
斜抛初速度
0v
0
0 cos
x
v
v
，
0
x
F
合
0
0 sin
y
v
v
，
y
F
mg
合
第三章
圆周运动
线速度
s
v
t
角速度
t
周期与频率
1
f
T
2 r
v
T
2
T
向心力
2
F
mr
2v
F
m r
向心加速度
2
a
r
或
2v
a
r
第四章
万有引力定律
及航天
万有引力定律
1
2
2
m m
F
G
r
第一宇宙速度
Gm
v
r
7.9
/
km s
第二宇宙速度11.2
/
km s
第三宇宙速度16.7
/
km s
2
实验
一、恒力做功与动能改变的关系
1、实验器材：天平，刻度尺，长木板，交流电源……
2、注意：①平衡摩擦力（将木板一端垫高）②钩码（桶加沙子）的质量应远小于（≪）小车的质量
二、机械能守恒定律
1、实验器材：毫米刻度尺，打点计时器，交流电源……
2、注意：①重物应选用质量和密度较大、体积较小的物体②阻力会产生误差
3、数据处理：Vn=
ℎ݊+1−ℎ݊−1
2ܶ
=
ݔ݊+ݔ݊+1
2ܶ
∆ܧ݇1 =
1
2݉
ݒ12
∆ܧ=݉݃
ℎ起终点
三、平抛运动
1、匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度V 中t=
t
s
v
v
v
t
2
0
。
2、任意两个连续相等时间间隔ΔT 内位移差：sⅡ－sI＝sⅢ－sⅡ=Δs＝a·ΔT2
3、初速为零的匀加速直线运动，前1，2，…n 个等时间间隔内位移之比s1：s2：s3：………sn＝l：4：…n2
第1，2，…N 个等时间间隔内位移之比sⅠ：sⅡ：……sN=1：3：…（2n－l）。
3
第一章
功和机械能
【1.1】机械功
基础知识
一、机械功的定义和公式
1、机械功：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，我们就说这个力对物体做了
功。力和在力的方向上发生位移，是做功的两个不可缺少的因素。
2、机械功的计算公式：W=Fscosα
3、功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。1J 就是1N 的力使物体在力的
方向上发生lm 位移所做的功
二、功的正负
根据公式W=Fscosα，
当00≤α＜900 时，cosα＞0，W＞0，表示力对物体做正功；
当α=900 时，cosα=0，W＝0，表示力的方向与位移的方向垂直，力不做功；
当900＜α＜1800 时，cosα＜0，W＜0，表示力对物体做负功，或者说物体克服力做了功
三、总功的计算
合外力的功：等于各个力对物体做功的代数和，即：W 合=W1+ W2+ W3+……
拓展知识
一、一对作用力和反作用力做功的特点
1、一对作用力和反作用力在同一段时间内做的总功可能为正、可能为负、也可能为零。
2、一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零（静摩擦力）、可能为负（滑动摩擦力），但不可
能为正。
【1.2】功率
基础知识
一、功率
1、功率的定义及物理意义功踉完成这些功所用时间的比值叫做功率．功率表示做功的快慢。
2、功率定义式P= t
W ．如果把w=Fs 代入功率的定义式还可得P＝Fv，即功率等于力和物体运动速度
的乘积。
3、功率的单位在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号是W。技术上常用千瓦（kw）做
功率的单位。1W=1J/s；1kw= 1000 W
二、根据公式P= t
W 、P=Fv 计算功率
1、根据功率的定义式P= t
W ，可以计算恒力的功率，也可以计算变力做功的平均功率；
根据公式P＝Fv，当v 为物体某时刻的瞬时速度时，P 为力F 在该时刻的瞬时功率。
当v 为一段时间内的平均速度时，P 为恒力F 在这段时间内的平均功率。
2、运用公式P=Fv 计算功率时，要注意F 与力的方向须在一直线上。
4
拓展知识
一、机车的两种启动模型的分析
1、模型一
以恒定功率启动
（1）动态过程
（2）这一过程的速度－时间图象如图所示：
2、模型二
以恒定加速度启动
（1）动态过程
（2）这一过程的速度－时间图象如所示：
二、摩擦力做功的特点及应用
1、静摩擦力做功的特点
（1）静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
（2）相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零．
（3）静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能．
2、滑动摩擦力做功的特点
（1）滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
（2）相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：
①机械能全部转化为内能；
②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能．
（3）摩擦生热的计算：Q＝Ff x 相对．其中x 相对为相互摩擦的两个物体间的相对位移
【1.3】动能和动能定理
基础知识
一、动能
1、概念：物体由于运动而具有的能叫做动能
2、动能的表达式及其意义：Ek=
1
2mv2，物体的动能等于它的质量跟它的速度平方乘积的一半。动能是
标量，只有大小，没有方向，动能恒为正值．动能是状态量，动能的变化（增量）是过程量. 动能具
有相对性，其值与参考系的选取有关.一般取地面为参考系。
3、动能的单位在国际单位制中，动能的单位由质量和速度的单位确定，为kg·m2／s2，即J．
二、动能定理
1、动能定理及数学表达式
（1）动能定理：合力所做的功等于动能的改变（这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括
重力）。
5
动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。实际应用时，后一种表述不必求
合力，特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功都按照代
数和加起来，就可以得到总功
（2）动能定理的数学表达式：W=Ek2－Ek1
（3）因动能定理中功和能均与参考系的选取有关，所以动能定理也与参考系的选取有关，一般以地
球为参考系。
（4）不论做什么运动形式，受力如何，动能定理总是适用的。
（5）做功的过程是能量转化的过程，动能定理中的等号“＝”的意义是一种因果联系的数值上相等的
符号，它并不意谓着“功就是动能的增量”，也不意谓着“功转变成动能”，而意味着“合外力的功是物
体动能变化的原因，合外力对物体做多少功物体的动能就变化多少”。
（6）W 总>0 时，Ek2>Ek1，物体的动能增加；W 总<0 时，Ek2<Ek1，物体的动能减小；W 总=0 时，Ek2=Ek1，
物体的动能不变。
2、动能定理的应用
（1）应用动能定理处理问题，建立具体方程的步骤是：
①选定研究对象，明确研究过程；
注意：动能定理的研究对象只能是单个物体，如果是系统，那么系统内的物体间不能有相对运动.（原
因是：系统内所有内力的总冲量一定是零，而系统内所有内力做的总功不一定是零）.
②在受力分析的基础上，确定有哪些力对物体做功（以“＋”表示），或物体克服哪些力做功（以“－”
表示），以代数和的形式完成方程左边对合力功的表述；（研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分
析，含重力）。
③分析所研究的过程初、末状态时的动能，完成方程右边对动能变化的表述；
（2）应用动能定理，不涉及物体运动过程中的时间、加速度等，物体所受的力也不一定是恒力，所
以处理问题会更方便。
【1.3】势能及其改变
基础知识
一、重力势能
1、重力势能：地球上的物体具有的跟它的高度有关的能，叫做重力势能．
2、重力势能的表达式及其物理意义：Ep=mgh，即物体的重力势能等于物体所受的重力和它的高度的
乘积。式中h 为相对于某个参照平面的高度，所以，重力势能的大小具有相对性，物体在参照平面时
的重力势能取作零，相对于不同的零势能面，同一物体的重力势能有不同的表达值。通常取地面为重
力势能的零参照面。重力势能是一个标量。
3、重力势能的单位与功的单位相同，在国际单位制中为J。
二、重力做功与重力势能变化的关系
1、重力做功的特点重力做功与物体所经路径无关，只取决于初、末两位置间的高度差．
2、重力做功与重力势能的变化重力对物体做正功时，物体的重力势能减少，重力对物体做负功时，
物体的重力势能增加．重力做正功或负功的多少等于重力势能的减少量或增加量．WG=-（EP2-EP1）
=EP1-EP2，或WG=-△EP.重力势能的变化量与零重力势能面的选取无关.
三、弹性势能
发生弹性形变的弹簧所具有的由各部分之间相对位置所决定的能叫做弹性势能。外力使弹簧发生弹性
形变时做功，使其他形式的能转变成弹性势能；发生弹性形变的弹簧在恢复形变时能对外做功，使弹
性势能转变为其他形式的。
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【1.4】机械能守恒定律
基础知识
一、机械能
概念：动能、重力势能和弹性势能都是与机械运动相关的能，统称为机械能。不同形式的机械能是可
以相互转化的。
二、机械能守恒定律
1、概念：如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和势能的相互转化时，机械能的总量保持不变．这
就是机械能守恒定律．
2、机械能守恒的条件：机械能总量不变，指既无其他形式的能转换成机械能，也无机械能转换成其
他形式的能。根据功与能量转换的关系可知：
①重力做功使重力势能与动能发生转换，（弹簧的）弹力做功使弹性势能与动能发生转换，但机械能
总量不变；
②除了重力和（弹簧的）弹力以外的力对物体做正功，会使其他形式的能转变为物体的机械能，物体
的机械能增加；除了重力和（弹簧的）弹力以外的力对物体做负功，会使物体的机械能转换成其他形
式的能，物体的机械能减少。
由上可知机械能守恒的条件是：除重力功与（弹簧的）弹力功外，没有任何其他力（外力或内力）
对物体做功．
3、对机械能守恒定律的理解
（1）机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”
其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外物体动能中的v，也是相
对于地面的速度。
（2）当研究对象（除地球以外）只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否
守恒；当研究对象（除地球以外）由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机
械能是否守恒。
（3）“只有重力做功”不等于“只受重力作用”，在该过程中，物体可以受其它力的作用，只要这些力
不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”。
4、机械能守恒定律的各种表达形式
（1）
2
2
2
1
2
1
v
m
h
mg
mv
mgh
，即
k
p
k
p
E
E
E
E
；
（2）
0
k
P
E
E
；
0
2
1
E
E
；
减
增
E
E
用（1）时，需要规定重力势能的参考平面。用（2）时则不必规定重力势能的参考平面，因为重
力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用ΔE 增=ΔE 减，只要把增加的机械能和减少的机
械能都写出来，方程自然就列出来了。
拓展知识
一、机械能守恒定律的应用
应用机械能守恒定律必须：
（1）确认研究对象是一个满足机械能守恒条件、只发生动能与重力势能、弹性势能转换而机械能总
量不变的系统和过程；
（2）确定所研究的守恒过程初、末两状态的动能与势能的表达式；
（3）根据机械能守恒定律列出数学方程式；
（4）同一研究对象，选定同一参照面。
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二、功能关系
几种常见的功能关系及其表达式
力做功
能的变化
定量关系
合力的功
动能变化
W＝Ek2－Ek1＝ΔEk
重力的功
重力势能变
化
（1）重力做正功，重力势能减少
（2）重力做负功，重力势能增加
（3）WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
弹簧弹力的功
弹性势能变
化
（1）弹力做正功，弹性势能减少
（2）弹力做负功，弹性势能增加
（3）WF＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
只有重力、弹簧弹
力做功
机械能不变
化
机械能守恒ΔE＝0
除重力和弹簧弹力
之外的其他力做的
功
机械能变化
（1）其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少
（2）其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少
（3）W 其他＝ΔE
一对相互作用的滑
动摩擦力的总功
机械能减少
内能增加
（1）作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加
（2）摩擦生热Q＝Ff·x 相对
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第二章
抛体运动
【2.1】运动的合成与分解
基础知识
一、曲线运动及速度方向
1、运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
2、曲线运动的速度方向：运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线切线的方向。
二、物体做曲线运动的条件
1、当物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上时，这个合力总能产生一个改变速度方向
的效果，物体就一定做曲线运动。
2、当物体做曲线运动时，它的合力所产生的加速度的方向与速度方向也不在同一直线上。
3、物体的运动状态是由其受力条件及初始运动状态共同确定的。
物体运动的性质由加速度决定（加速度为零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运
动；加速度变化时物体做变加速运动）。
物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同
一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动）。
三、运动的合成和分解
1、合运动和分运动
当物体实际发生的运动较复杂时，我们可将其等效为同时参与几个简单的运动，前者实际发生的运
动称作合运动，后者则称作物体实际运动的分运动。
2、运动的合成和分解的概念
已知分运动求合运动，叫做运动的合成；已知合运动求分运动，叫做运动的分解
3、运动的合成和分解的应用
（1）进行运动的合成与分解，就是对描述运动的各物理量如位移、速度、加速度等矢量用平行四边
形定则求和或求差．运动的合成与分解遵循如下特性：①独立性②等时性③等效性
（2）合运动的性质可由分运动的性质决定：两个匀速直线运动的合成仍是匀速直线运动；匀速直线
运动与匀变速直线运动的合运动为匀变速运动；两个匀变速直线运动的合运动是匀变速运动
四、小船渡河问题
1、船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2、三种速度：v1（船在静水中的速度）、v2（水流速度）、v（船的实际速度）．
3、三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝d
v1
（d 为河宽）．
②过河路径最短（v2<v1 时）：合速度垂直于河岸时，航程最短，s 短＝d.船头指向上游与河岸夹角为α，
cosα＝v2
v1
.
③过河路径最短（v2>v1 时）：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图所示，
以v2 矢量末端为圆心，以v1 矢量的大小为半径画弧，从v2 矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此
切线方向航程最短．由图可知：cosα＝v1
v2，最短航程：s 短＝d
cosα＝v2
v1
d.
9
拓展知识
一、合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向
轨迹的“凹”侧。
二、合运动的性质判断
加速度或合外力
变化：非匀变速运动
不变：匀变速运动
加速度或合外力方向与速度方向共线：直线运动
不共线：曲线运动
三、两个直线运动的合运动性质的判断
标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动[
如果v 合与a 合共线，为匀变速直线运动
如果v 合与a 合不共线，为匀变速曲线运动
【2.2】平抛物体的运动
基础知识
一、平抛运动
1、定义：物体具有水平方向的初速度，并且只在重力作用下所发生的运动称为平抛运动。
2、特点：平抛运动是一种加速度为g、轨迹为曲线（半支抛物线）的匀变速曲线运动。
3、轨迹：通常将平抛运动视作沿水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的合成。
4、物体做平抛运动的条件：①只受重力作用；②具有水平方向的初速度．
二、平抛运动的规律
1、以抛出点为原点，水平方向（初速度v0 方向）为x 轴，竖直向下方向为y 轴，
建立平面直角坐标系，则：
（1）水平方向：做匀速直线运动，速度vx＝v0，位移x＝v0t.
（2）竖直方向：做自由落体运动，速度vy＝gt，位移y＝1
2gt2
（3）合速度：v＝v2x＋v2y，方向与水平方向的夹角为θ，则tanθ＝vy
vx
＝gt
v0
.
（4）合位移：s＝x2＋y2，方向与水平方向的夹角为α，tanα＝y
x＝gt
2v0
.
2、对规律的理解
（1）飞行时间：由t＝
2h
g 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0 无关。
（2）水平射程：x＝v0t＝v0
2h
g ，即水平射程由初速度v0 和下落高度h 共同决定，与其他因素无关。
（3）落地速度：vt＝v2x＋v2y＝v20＋2gh，以θ表示落地速度与x 轴正方向的夹角，有tanθ＝vy
vx
＝2gh
v0
，
所以落地速度也只与初速度v0 和下落高度h 有关．
10
（4）速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g，所以做平抛运动的物体
在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv＝gΔt 相同，方向恒为竖直向下，如图所示。
（5）两个重要推论
①做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向
延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A 点和B 点所示．
②做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻任一位置处，设
其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角
为θ，则tanα＝2tanθ。
（6）当平抛物体的落点在水平面上时，物体在空中运动的时间由自由落体分运动的下落高度h 决定，
与初速度v0 大小无关；t=
g
h
2
；而物体的水平射程则由高度与初速度两者共同决定：x=
g
h
v
2
0
；
（7）推论：平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离
都等于水平位移的一半。
11
第三章
圆周运动
【3.1】匀速圆周运动快慢的描述
基础知识
一、匀速圆周运动
1、定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。
2、特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。
3、条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
二、描述圆周运动的物理量
描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度、向心力等，现
比较如下表：
定义、意义
公式、单位
线速度（v）
①描述圆周运动的物体运动快慢的物理量
②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切
①v＝Δs
Δt＝2πr
T
②单位：m/s[来源:学#科#网]
角速度（ω）
①描述物体绕圆心转动快慢的物理量
②中学不研究其方向
①ω＝Δθ
Δt＝2π
T
②单位：rad/s
周期（T）和转速
（n）或频率（f）
①周期是物体沿圆周运动一周的时间
②转速是物体单位时间转过的圈数，也叫频
率
①T＝2πr
v 单位：s
②n 的单位：r/s、r/min，f 的单位：
Hz
向心加速度（a）
①描述速度方向变化快慢的物理量
②方向指向圆心
①a＝v2
r ＝rω2
②单位：m/s2
三、速度、角速度、周期和频率之间的关系
线速度、角速度、周期和频率各量从不同角度描述质点运动的快慢，它们之间有关系v＝rω．
f
T
1
，
T
v
2
，
f
2
。
由上可知，在角速度ω一定时，线速度v 与半径r 成正比；在线速度v 一定时，角速度ω与半径
r 成反比。
凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小
相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。
【3.2】向心力
基础知识
一、向心力
1、作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
2、大小：F＝mv2
r ＝mω2r＝m4π2
T2 r＝mωv＝4π2mf2r
3、方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。
4、来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。
12
二、向心加速度
1、向心加速度由向心力产生，描述线速度方向变化的快慢，是矢量。
2、向心加速度方向与向心力方向恒一致，总沿半径指向圆心；向心加速度的大小为
v
r
f
r
n
T
r
r
r
v
an
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
3、一般地说，当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分
解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为
切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的
快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢。
【3.3】离心现象
基础知识
一、离心运动
1、定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，
就做逐渐远离圆心的运动。
2、本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势。
3、受力特点
当F＝mrω2 时，物体做匀速圆周运动；
当F＝0 时，物体沿切线方向飞出；
当F＜mrω2 时，物体逐渐远离圆心，F 为实际提供的向心力，如图所示。
二、车辆转弯
1、汽车在水平路面转弯，所受静摩擦力提供转弯所需的向心力。
2、火车（或汽车）转弯时，如图所示，向心力由重力和支持力的合力提供向心力F
＝mgtan θ＝
r
mv2
，转弯处的速度v＝
tan
gr
。
3、转弯时速度与轨道侧压力的关系
（1）当火车行驶速度v＝
tan
gr
时，重力和弹力的合力提供向心力，轮缘对内、外轨无侧压力。
（2）当火车行驶速度v＞
tan
gr
时，轮缘对外轨有侧压力。
（3）当火车行驶速度v＜
tan
gr
时，轮缘对内轨有侧压力。
4、飞机（或飞鸟）转弯受力如图所示，向心力由空气作用力F 和重力mg 的合力提
供。
三、汽车过拱形桥
汽车过凸形桥（失重）
汽车过凹形桥（超重）
向心力
方程
mg-N=
r
mv2
N-mg=
r
mv2
支持力
N=mg-
r
mv2
，支持力＜重力，当v＝
gr 时N＝0
N=mg+
r
mv2
，支持力＞重力
13
拓展知识
一、水平面内圆周运动的临界问题
水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力
有关的临界问题。
（1）与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向
心力，则有Fm＝mv2
r ，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物
体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临
界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
（2）与弹力有关的临界极值问题
压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无
弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。
二、竖直平面内圆周运动
绳模型
杆模型
常见类型
[
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
过最高点的
临界条件
由mg＝m v2
r 得v 临＝gr
由小球恰能做圆周运动得v 临＝0
讨论分析
（1）过最高点时，v≥gr，FN＋mg
＝mv2
r ，绳、圆轨道对球产生弹力FN
（2）不能过最高点时，v< gr，在到
达最高点前小球已经脱离了圆轨道
（1）当v＝0 时，FN＝mg，FN 为支持力，沿
半径背离圆心
（2）当0<v< gr时，－FN＋mg＝mv2
r ，FN 背
离圆心，随v 的增大而减小
（3）当v＝gr时，FN＝0
（4）当v> gr时，FN＋mg＝mv2
r ，FN 指向圆
心并随v 的增大而增大
14
第四章
万有引力定律及航天
【4.1】天地力的综合：万有引力定律
基础知识
一、开普勒行星运动定律
1、开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
2、开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
3、开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表
达式：a3
T2＝k。
二、万有引力定律
1、内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质
量m1 和m2 的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比．
2、公式：
2
2
1
r
m
m
G
F
。G 为引力常量：G＝6.67×10
－11 N·m2/kg2。
3、适用条件
（1）公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质
点．
（2）质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离．
4、万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F 向，
如图所示．
（1）在赤道上：GMm
R2 ＝mg1＋mω2R.
（2）在两极上：GMm
R2 ＝mg2.
（3）在一般位置：万有引力G Mm
R2 等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．越靠近南北两
极g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMm
R2 ＝mg.
三、万有引力定律的应用
1、解决天体（卫星）运动问题的基本思路
（1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即GMm
r2 ＝man＝mv2
r ＝mω2r＝m4π2r
T2 .
（2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即GMm
R2 ＝mg（g 表示天体表面的重力
加速度）．
2、天体质量和密度的计算
（1）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R.
由于GMm
R2 ＝mg，故天体质量M＝gR2
G ，
天体密度ρ＝M
V＝
M
4
3πR3＝3g
4πGR.
15
（2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即GMm
r2 ＝m4π2
T2 r，得出中心天体质量M＝4π2r3
GT2 ；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝M
V＝
M
4
3πR3＝3πr3
GT2R3；
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R，则天体密度ρ
＝3π
GT2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
四、宇宙速度
1、第一宇宙速度：
s
km
R
GM
v
/
9.7
1
（1）人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度叫第一宇宙速度；
（2）第一宇宙速度是地球上的物体成为近地卫星所需的最小速度，若速度大于7.9km/s，卫星的轨道
是椭圆．不同的行星，由于质量和半径不同，其“第一宇宙速度”也会有所不同
2、第二宇宙速度：11.2km/s
这是使地球上的物体成为太阳的人造行星的最小速度。
3、第三宇宙速度：16.7 km/s
要使物体挣脱太阳引力而飞离太阳系的最小速度
五、人造卫星上天
设质量为m 的天体绕另一质量为M 的中心天体做半径为r 的匀速圆周运动，则有以下结论
基本公式
F 万=Fn
近地绕行
（r=R，GMm
R2 ＝mg=Fn）
远地绕行
（r＞R，GMm
R2 ＝mg=Fn）
an
n
ma
r
Mm
G
2
2
R
GM
g
an
2r
GM
an
v
r
v
m
r
Mm
G
2
2
R
GM
gR
v
r
GM
v
T
2
2
2
4
T
r
m
r
Mm
G
GM
R
g
R
T
3
2
4
2
GM
r
T
3
2
4
ω
r
m
r
Mm
G
2
2
3
R
GM
R
g
3r
GM
由表可知轨道半径r 越大，卫星的加速度a 越小、线速度v 越小、角速度ω越小、周期T 越大．
拓展知识
一、不同公式和问题中的r，含义不同
万有引力定律公式
2
2
1
r
m
m
G
F
中的r 指的是两个物体间的距离，对于相距很远因而可以看做质
点的物体，指的是两个球心的距离。而向心力公式
r
v
m
F
2
中的r，对于椭圆轨道指的是曲率半径，
对于圆轨道指的是圆半径。开普勒第三定律
k
T
r
2
3
中的r 指的是椭圆轨道的半长轴。因此，同一个r
在不同公式中所具有的含义不同。
16
二、向心加速度与重力加速度
对于向心加速度与重力加速度两个概念，既有区别又有联系：①在地球表面的不同纬度处，重
力加速度的数值不相等，且分别与各处的向心加速度也不同；②在距离地面一定高度处绕地心做匀速
圆周运动的物体具有的向心加速度和该处的重力加速度相等。
设地球质量为M，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，物体m 离开地心的距离为r，在
该处的向心加速度为a 向，重力加速度为g/，则由
/
2
mg
ma
r
Mm
G
向
，
mg
R
Mm
G
2
，
联立得
g
r
R
g
a
2
/
向
。
在距离地面一定高度处绕地心做匀速圆周运动的物体，重力完全提供向心力，所以物体处于完
全失重状态，视重为零，物体本身的重力并不等于零。
