1
计算题专项练(一)
1.如图所示,一横截面为直角三角形ABC 的玻璃砖,AB=L,∠A=60°,∠C=30°,一束单色光从AB 的中点
D 处射入玻璃砖,单色光经BC 面反射后从AC 边的E 点射出玻璃砖,出射光线恰好平行于BC 边,光在
真空中传播的速度为c。求:
(1)玻璃砖对该单色光的折射率n;
(2)该单色光从D 点传播到E 点经历的时间t。
2.圆形匀强磁场中,当带电粒子做匀速圆周运动的半径等于圆形磁场的半径时,粒子在磁场边界上的
某点沿任意方向进入磁场,都将以相同的速度射出磁场,此种现象称为“磁发散”。在某平面坐标空
间中,如图所示,第一象限中布满匀强电场,其方向与y 轴正方向成60°角,大小为E1,第二象限中布满电
场强度大小为E2的匀强电场,另有一个半径为r 的圆形匀强磁场,且在磁场边界P 处有一粒子源可以
射出质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子,现该粒子源在该点切线同侧的180°角内向磁场同时沿
不同方向射入速度大小都为v 的粒子,不考虑粒子间的相互作用,这些粒子进入磁场后都做匀速圆周
运动,且均能在y 轴正半轴进入第一象限,进入第一象限后都做类平抛运动,已知重力加速度为g,且
E1=mg
2q
。求:
2
(1)匀强电场E2和匀强磁场B 的大小;
(2)P 位置的坐标。
3.(2023 山东济宁二模)如图所示,一水平传送带以v=3 m/s 的速度顺时针转动,其左端A 点和右端B 点
分别与两个光滑水平台面平滑对接,A、B 两点间的距离L=4 m。左边水平台面上有一被压缩的弹簧,
弹簧的左端固定,右端与一质量为m1=0.1 kg 的物块甲相连(物块甲与弹簧不连接,滑上传送带前已经
脱离弹簧),物块甲与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2。右边水平台面上有一个倾角为45°、高为
h1=0.5 m 的固定光滑斜面(水平台面与斜面由平滑圆弧连接),斜面的右侧固定一上表面光滑的水平桌
面,桌面与水平台面的高度差为h2=0.95 m。桌面左端叠放着质量为m3=0.1 kg 的木板(厚度不计)和质
量为m2=0.2 kg 的物块乙,物块乙与木板之间的动摩擦因数为μ2=0.2,桌面上固定一弹性竖直挡板,挡
板与木板右端相距x0=0.5 m,木板与挡板碰撞会原速率返回。现将物块甲从压缩弹簧的右端由静止
释放,物块甲离开斜面后恰好在它运动的最高点与物块乙发生弹性碰撞(碰撞时间极短),物块乙始终
未滑离木板。物块甲、乙均可视为质点,重力加速度g 取10 m/s2,1
9 + 1
9
2 + 1
9
3+…=1
8
。
3
(1)求物块甲运动到最高点时的速度大小;
(2)求弹簧最初储存的弹性势能;
(3)求木板运动的总路程。
4
计算题专项练(一)
1.答案 (1)√3 (2)3√3 L
2c
解析 (1)画出光路图如图所示
因光线在D 点的入射角为i=60°,由几何关系可得在D 点的折射角r=30°
折射率n=sin 60°
sin30° =√3。
(2)光在介质中的速度v=c
n = c
√3
光从D 点传播到E 点经历的路程s=lDF+lFE=L+
√3
4 L
cos30° = 3 L
2
经历的时间t= s
v = 3√3 L
2c
。
2.答案 (1)mg
q
mv
qr
(2)(- r
2 ,r - √3
2 r)
解析 (1)由题知,粒子进入磁场后都做匀速圆周运动,则E2q=mg
解得E2=mg
q
由题知,粒子进入磁场后都做匀速圆周运动,且均能在y 轴正半轴进入第一象限,则qvB=mv
2
r
解得B=mv
qr
。
(2)由题知,粒子进入第一象限后都做类平抛运动,则粒子进入第一象限的速度应与粒子在第一象
限的合力垂直,粒子在第一象限受重力mg 和静电力E1q,合力为F 合=√3
2
mg,方向与y 轴负方向成
30°角
则粒子射出磁场的速度与E1平行,P 的横坐标为x=-r+rsin 30°=-r
2
5
纵坐标为y=r-rcos 30°=r-√3
2
r
故P 位置的坐标为(- r
2 ,r - √3
2 r)。
3.答案 (1)3 m/s
(2)2.2 J
(3)1.0 m
解析 (1)由题意可知,物块甲从斜面顶端到最高点做逆向平抛运动,水平方向为匀速运动,设物块
甲刚离开斜面时速度为v 甲,则有
v甲y
2=2g(h2-h1)
tan 45°=v甲y
v甲x
联立解得
v 甲y=v 甲x=3 m/s,v 甲=3√2 m/s
可知物块甲运动到最高点时的速度大小为v0=v 甲x=3 m/s。
(2)设物块甲在B 点时速度为vB,对物块甲从B 点到斜面顶端由动能定理有
-m1gh1=1
2
m1v甲
2- 1
2
m1vB
2
解得vB=2√7 m/s
因为vB>v,所以物块甲在传送带上一直做减速运动。对物块甲从静止开始到B 点,设弹簧弹力做
功W,由动能定理有W-μ1m1gL=1
2
m1vB
2
解得W=2.2 J
根据功能关系可知弹簧最初储存的弹性势能
Ep=W=2.2 J。
(3)物块甲与物块乙在碰撞过程中,由动量守恒定律得m1v0=m1v1+m2v2
由机械能守恒定律得
1
2
m1v0
2= 1
2
m1v1
2+ 1
2
m2v2
2
解得v1=-1 m/s,v2=2 m/s
以物块乙和木板为系统,由动量守恒定律得m2v2=(m2+m3)v3
若木板向右加速至共速后再与挡板碰撞,由动能定理得μ2m2gx1=1
2
m3v3
2-0
解得x1=2
9
m<0.5 m
可知木板与物块乙共速后再与挡板相碰
由动量守恒定律得m2v3-m3v3=(m2+m3)v4
6
木板向左减速过程中,由动能定理得-μ2m2gx2=0-1
2
m3v4
2
解得x2=1
9
x1
同理可得x3=(
1
9)
2
x1
以此类推木板的总路程为s=x0+2x1+2x2+…+2xn=x0+2×2
9(1+ 1
8) m
解得s=1.0 m。
