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专题强化十八 动态圆
目标要求 1.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题.2.会用“平移圆”
“旋转圆”“放缩圆”找出对应临界状态或极值的轨迹.3.理解“磁聚焦”和“磁发散”模型．
题型一 “平移圆”模型
适用条件
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带
电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度
大小为v0，则半径R＝，如图所示
轨迹圆圆心
共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射
点的连线平行
界定方法
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫
“平移圆”法
例1 如图所示，在xOy 平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R 的半圆形匀强磁
场，线状粒子源从y 轴左侧平行于x 轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为
v0的带正电粒子．磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy 向里．不考虑粒子间的相互
作用，不计粒子受到的重力．所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长
为( )
A. B. C. D.
听课记录：_______________________________________________________________
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题型二 “旋转圆”模型
适用条件
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场
时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小
为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示
轨迹圆圆
心共圆
如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆
心、半径R＝的圆上
界定方法
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条
件，这种方法称为“旋转圆”法
例2 (2023·浙江温州市英才学校模拟)如图所示，竖直平面内有一xOy 平面直角坐标系，
第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小记为B(B 未知)．坐标原
点O 处有一放射源，放射源可以源源不断向一、四象限180°范围内均匀地辐射出质量为
m、电荷量为q 的正离子．在y 轴上固定一能吸收离子的收集板MN，M 点坐标为(0，a)，N
点坐标为(0,2a)，当辐射的离子速率为v0时离子打在收集板上的位置最远到N 点，最近到M
点．不计离子的重力及离子间的相互作用的影响，求：
(1)恰好打到M 点的离子在磁场中运动的时间；
(2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例．
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题型三 “放缩圆”模型
适用条件
粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这
些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆
心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越
大．可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速
度方向的直线PP′上
界定方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而
探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
例3 (2020·全国卷Ⅲ·18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a 和3a 的同
轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示．一速率为v 的电子从圆心沿半
径方向进入磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力．为使该电子的运动
被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
A. B. C. D.
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例4 (多选)如图所示，正方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O 点是cd 边的
中点．若一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O 点沿纸面以垂直于cd 边的某一速度射入正
方形内，经过时间t0刚好从c 点射出磁场．现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成
30°角的方向，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是( )
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A．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
B．若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
C．若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
D．若该带电粒子从cd 边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是t0
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题型四 “磁聚焦”与“磁发散”模型
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相等，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹
圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出．(会聚)
证明：四边形OAO′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO′(即竖直方
向)，可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P 点有大量质量为m、电荷量
为q 的正粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒
子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行
四边形，O1A、O2B、O3C 均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
例5 (2021·湖南卷·13)带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一．带
电粒子流(每个粒子的质量为m、电荷量为＋q)以初速度v 垂直进入磁场，不计重力及带电粒
子之间的相互作用．对处在xOy 平面内的粒子，求解以下问题．
(1)如图(a)，宽度为2r1的带电粒子流沿x 轴正方向射入圆心为A(0，r1)、半径为r1的圆形匀
强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B1的大小；
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(2)如图(a)，虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何中心位于C(0，－r2)．在虚线框内设计
一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O 点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r2，并
沿x 轴正方向射出．求该磁场磁感应强度B2的大小和方向，以及该磁场区域的面积(无需写
出面积最小的证明过程)；
(3)如图(b)，虚线框 Ⅰ 和 Ⅱ 均为边长等于r3的正方形，虚线框 Ⅲ 和 Ⅳ 均为边长等于
r4的正方形．在 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 和 Ⅳ 中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为
2r3的带电粒子流沿x 轴正方向射入 Ⅰ 和 Ⅱ 后汇聚到坐标原点O，再经过 Ⅲ 和 Ⅳ 后
宽度变为2r4，并沿x 轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束．求 Ⅰ 和 Ⅲ 中磁
场磁感应强度的大小，以及 Ⅱ 和 Ⅳ 中匀强磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过
程)．
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