太阳方位角、高度角的计算(推导+Excel表格,重制版)

一年前，我做了个Excel表格，只需填入参数（观测点经纬、日期），就能计算太阳的方位角和高度角、日出日落时间。现在，我将表格重新排版，增加了时区选择、平太阳时修正、单时刻太阳位置计算、月相计算等功能。（文末有下载链接，包括Excel表格和推导过程。公众号有修改限制，内容如有错误仅在文件里更新。）

本文中，我将介绍该Excel表格文件的使用方法。感兴趣的话，可以看看后面的推导过程。如果对你有帮助，希望能给文章点个赞！

给定参数为：观测点经度，观测点纬度，太阳赤纬角δ（如何计算δ放到最后讲），某个时刻的时间点

输出结果为：太阳方位角，太阳高度角，当日日出日落时间及方位

下面进行详细的过程推导，需要具备高中数学知识。

地球绕太阳转叫公转，公转一周的时间是1年。

过地心并与地轴垂直的平面称为赤道平面，地球公转轨道平面称为黄道平面。赤道平面与黄道平面之间存在一个交角，叫作黄赤交角，约为23.5°.

由于黄赤交角的存在，太阳直射点（地表接受太阳垂直照射的点）在一年之中在南、北纬23.5°之间往返运动。夏至日，太阳直射23.5°N，冬至日23.5°S，春分、秋分直射赤道0°.

地球公转与黄赤交角（地理选必一）

首先理解天球的概念：

把整个宇宙想象成一个巨大的、透明的空心球壳，这个球壳以地球为中心（假设地球不动），所有的星星、太阳、月亮、行星都被认为是镶嵌在这个透明球壳的内表面上。这个假想的球体就叫做天球。天球是研究太阳视运动的数学模型。

• 太阳的视运动：从地球上的观测者角度看，天体看起来的运动。太阳总是东升西落。

半个天球和北纬40度地区太阳的视运动（使用地方时，选必一插图）

天球与太阳的视运动

• 天赤道：地球赤道平面延伸与天球相交的大圆。

• 天顶和天底：位于观察者头顶正上方的天球点叫天顶；位于观察者脚底正下方的天球点叫天底。

• 天极：地球自转轴延伸与天球相交的点（北天极和南天极）

• 太阳赤纬角δ：太阳直射点的纬度(23.5°S~23.5°N)

正是由于太阳赤纬角δ一年之内的周期性变化，所以太阳的视运动也不断变化，才有了昼夜长短的改变、正午太阳高度的变化。

定义时角坐标系：以观测者为中心，建立x'y'z'时角坐标系，x'指向正东，y'在天赤道平面内垂直于于x'轴，z'指向北天极，如图。

时角坐标系建立

• 时角变化量（T）：一日内太阳的视运动轨迹，围绕z'轴顺时针转过的角度，用T表示。地方时0时T=0°，6时T=90°，12时T=180°，18时T=270°. 同时，1°=4min，1h=15°.

• 太阳赤纬角（δ）的值等于太阳与地心的连线与天赤道平面的夹角。（如何计算δ放到最后讲）

我们假设天球的半径为1，天球上任意一点设为P(x', y', z')，则有：

定义地平坐标系：以观测者为中心，建立xyz地平坐标系，地面作为xy平面，x指向正东，y指向正北，z指向天顶。

• 观测点纬度(φ)：天顶与天赤道之间的夹角即为观测点的纬度(φ)。同时可知，天顶与北天极的夹角为 90°-φ.

地平坐标系建立

现在将时角坐标系转换为地平坐标系：

计算东分量x：x直接和x'是一样的，有

计算北分量y和天顶分量z：注意到y'Oz'平面坐标系逆时针旋转  后，得到yOz平面坐标系。

然后，我们要推导坐标轴的旋转公式（可以直接套用公式）。

坐标系旋转示意图

设点P固定，P在原坐标系y'Oz'上的极坐标为(r, ρ)，对应的直角坐标为：

将坐标轴逆时针旋转θ，得到新坐标系yOz，P在yOz的坐标为(r, ρ-θ)，对应直角坐标系为：

用三角函数两角和差公式将x, y展开，将x', y'代入，得到坐标轴的旋转公式：

现在，回到太阳坐标系的转换上。将上式中x', y', z'是时角坐标系的参数，分别是

由于yOz坐标系是逆时针旋转了  ，故以 代θ，整理得：

这样，我们就将时角坐标系转换成了地平坐标系。

太阳高度角(H)：太阳入射光和地面的夹角。太阳方位角(A)：太阳相对于正北方向的顺时针转过的角度，正北=0°，正东=90°，正南=180°,正西=270°

计算太阳高度角(H)：（勘误：此公式中 cos δ 前应为减号"-"。公众号文章编辑有限制，无法修改公式，特此说明。）

计算太阳方位角(A)：

在Excel中计算A，可使用ATAN2函数，避免象限误判。

6.1 日出日落时间计算：

日出日落时，H=0，即z=0，易得

得到T后，由1h=15°可知道地方时间。

6.2 日出日落方位(A)计算：

你可以在算出T后，代入方位角A的计算公式，但是这样做化简比较麻烦，我不太会，所以这里使用几何方法推导。

太阳视运动及日出日落计算

如上图，太阳的视运动轨迹是圆O'-RLTM，太阳视运动轨迹与地平面的交点L和M，即为日出和日落的位置. LM与y轴交于点K. 天球的半径为1. 由赤纬角(δ)和纬度(φ)的定义知：

计算 δ 的方法很多，这里介绍两种。

7.1 Cooper算子（低精度，文献[1]）

Cooper算子的公式如下：

其中 n 为该年第几天，如2月3日，n=34.

Cooper算子的前提是：地球的公转是以太阳为中心的匀速圆周运动。数学上可以证明，赤纬角 δ 随日期的变化是一个正弦函数。

黄赤交角及二分二至日地球的位置

设这个正弦函数为：

其中，

当春分日（3月21日前后）时，取n=80，此时δ=0，正弦函数的相位为 0，即

由此计算得到的 λ 值为 284 左右，可能会在个位上有差别。

1. 上面计算得到的均为当地时间，转换成北京时间还需减去地理时差。

2. 由于地球绕太阳公转实际上是个椭圆也不等速，所以日中时刻并不是12时整。要得到更准确的时间，还要将真太阳时转换成平太阳时。

太阳位置计算.xlsx

以下是我所制作的表格的误差分析，基本设置里的“时间基准”选择“平太阳时”。

可通过与网络上查得的日出日落时间进行比较，来看看表格计算误差大不大。

以2025/7/1，110°E，28°N为例，比较误差，发现误差在4分钟以内。

事实上，经过多次比较，误差均在5分钟以内，且表格计算的日出会滞后约3分钟左右，计算的日中基本没有误差，计算的日落会提前3分钟左右。这并非模型不够精确造成，而是因为网络上查找到的数据还考虑了大气折射、太阳视半径等次要因素，它们的影响微乎其微，表格并没有把它们纳入考虑。