分析函数图像
方法突破练
一、几何问题
1. 如图①,在矩形ABCD中,动点E从点A出发,沿A→B→C的路线运动，当点 E 到达点 C时停止运动.若
FE⊥AE,交 CD于点F，设点E运动的路程为x， FC= y,，已知y关于x的图象如图②所示.请根据图象回答下
列问题：
(1)图②中点G表示 ,点H表示 ;(填“起点”或“拐点”)
(2)图②中GH段的函数解析式为 ，此段x的取值范围为 ;
(3)图②中曲线HM段的函数解析式为 ，此段x的取值范围为 ；
(4)点L的坐标为 ;
1
(5)在图①中,当 FC= 时,x的值为 .
2二、实际问题
2.龟兔赛跑的故事：乌龟和兔子从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头.骄傲自满的兔子觉得
自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来.当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力加速直追，最后同时到
达终点.如图表示了赛跑过程中龟、兔的路程S和时间t的关系，请根据图象回答下列问题.
(1)图中折线段OABC表示赛跑过程中 (填“兔子”或“乌龟”)的路程与时间之间的关系，线段 OC 表示
赛跑过程中 (填“兔子”或“乌龟”)的路程与时间的关系，赛跑的全路程是 m；
(2)赛跑中,兔子共睡了 min;
(3)点“D”代表的意义为 ;
(4)乌龟追上兔子所用的时间为 min；
(5)兔子加速后比加速前快 m/min;
(6)赛跑过程中乌龟的路程S和时间t的函数关系式为 ，兔子的路程S和时间t的函数关系式为
.
3.小文宿舍、体育馆、图书馆在同一条直线上，且体育馆在小文宿舍与图书馆之间，小文先从宿舍出发去体育
馆锻炼身体，接着去图书馆看了一会书，借了几本书之后回宿舍，小文与体育馆之间的距离y(km)与时间x(min)之
间的对应关系如图所示.给出以下说法：
①小文宿舍与体育馆之间的距离是0.6km；
②小文宿舍与图书馆之间的距离是0.9 km；
③小文从体育馆去图书馆的速度是0.2k m/min；
④小文从图书馆回宿舍的速度是0.09 km/min.
其中说法正确的是 ( )
A. ①②③ B. ①②④
C. ②③④ D. ①③④设问进阶练
例1 已知四边形ABCD为平行四边形， AB=3cm,BC=4cm.
(1)如图①,若 ‖ogramABCD的对角线AC,BD 相交于点 E.动点 P从 ‖ogramABCD的某个顶点出发，沿图中的
线段匀速运动.设点 P运动的时间为x，线段EP的长为y，图②是y与x的函数关系的大致图象，则点 P的运动路
径可能是 ( )
A. C→B→A B. C→D→E
C. A→E→C D. A→E→D
(2)如图①,若 ∠ABC=30°,,动点 P 以 1 cm/s 的速度从点 B 出发沿线段 BC运动到点 C,同时动点 Q 以 2 cm/s
的速度从点 B出发,沿路线B→A→D→C 运动,点 P 到达 C 点的同时,点 Q也停止运动，图②是点P，Q运动时，
△BPQ的面积S随运动时间t变化关系的图象，则a-b的值是 ( )
5 21
A. B. 1 C. 2 D.
8 8
(3)如图①,动点 E 从 C 点出发,沿路线 C→D→A→B运动至B点停止,设点 E 运动的路程为x(cm),△BCE 的面积
为 y(cm²),且y与x之间的函数关系如图②，以下结论：①当x=1时,△BCE的面积为2cm²;②△BCE的面积最大值
为( 6cm²;③▱ABCD 的面积为: 8cm²;；其中正确的结论为 .例2 李明和王彬分别从A，B两地出发相向而行，A，B两地在同一直线上.
(1)两人同时出发，相遇时两人均停留了4 min后，又以各自的速度继续出发前往目的地，两人之间的距离
y(m)与出发的时间x(min)之间的关系如图所示，则(
a=
;
(2)若C地在A，B两地之间，李明先出发1分钟后，王彬再出发，到达C地停留了2分钟，因有事原速原路
返回.李明直接从A地到达B地，两人距各自的出发地y(m)与王彬出发的时间x(min)之间的关系如图所示，则王彬
出发22分钟后，两人之间的距离为 ；
(3)李明出发5分钟后，王彬才出发，他们相遇后，李明休息半分钟后开始以原来的速度返回A地，王彬没有
休息继续跑向A地，李明和王彬到达A地后均停止，在整个过程中，李明、王彬两人均保持各自的速度，两人之
间的距离y(m)与李明出发的时间x(min)的关系如图所示，则王彬到A地时，李明离A地的距离为 m.综合强化练
1.如图①，在半圆O中，动点P以每秒1个单位的速度作匀速运动，运动路径：从点O出发，沿半径OA运动
到点A，再沿 ^AB运动到点 B，最后沿半径BO运动到点 O 停止.图②是点 P 运动过程中，OP的距离y随时间x(s)
变化的图象，则a的值为 ( )
30 30
A. 30 B. 15 C. D.
π+1 π
2.(直线平移截菱形)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限， ∠A=45°,AB‖x轴,点A的坐标
为(3，1)，直线y=-x+3沿x轴向右平移，在平移过程中，直线被菱形ABCD截得的线段长为y，直线在x轴上的平
移距离为x，y与x之间的函数关系如图②所示，则菱形AB-CD 的面积为
( )
A.2√2 B.3√2 C. 4 D.4√2
3. 如图①,在矩形ABCD中,AB<BC,对角线AC,BD相交于点E,动点P从点A出发,沿A→B→C→D 向点D运
动，设点 P 的运动路程为x，△AEP的面积为y，y与x之间的函数关系图象如图②所示，则下列结论错误的是
( )
A. 矩形ABCD 的面积为12 B. AD 边的长为4
C. 当x=2.5时,△AEP是等边三角形 D.△AEP的面积为3时，x的值为3或10
4. 如图①,在正方形ABCD中,点Q沿路线A→B→C 匀速运动,点P沿路线D→A以1cm/s的速度运动，点P到
A时，P，Q停止运动.设点 P出发的时间为x(s)， △PAQ的面积为 y(cm²),y与x之间的函数图象如图②，线段
EF 所在直线对应的函数关系式为： y=−4x+21,则正方形ABCD 的边长为 cm.
5.(不同图形平移求重叠面积)将正方形ABCD 和等腰 Rt△EFG如图放置，AD 与EF 在一条直线上，点A与点
E重合.现将正方形ABCD沿EF方向以每秒1个单位的速度运动，当点A与点 F重合时停止.在这个运动过程中，正方形ABCD 和. △EFG重叠部分的面积S与运动时间t(s)的函数图象如图所示，则图②中AB段的函数解析式为
.
6.(相向而行)小芳和弟弟小钰分别从家和体育馆出发，沿同一条笔直的马路相向而行，小芳先出发5分钟后，
小钰骑自行车匀速回家，小芳开始跑步中途改为步行，且步行的速度为跑步速度的一半，到达体育馆恰好用了35
min，两人之间的距离y(m)与小芳离开家的时间x(min)之间的函数图象如图所示，则当弟弟到家时，小芳离体育馆
的距离为 m.
7.(追及问题)周末，雨桐和爷爷一起在小区一条笔直的跑道上跑步，在起点处爷爷匀速先跑了两分钟，然后雨
桐再出发匀速追赶，雨桐赶上爷爷后祖孙二人继续保持各自的速度向终点跑去，雨桐到达终点后立即转身往回
跑，此时雨桐把跑步的速度减少了 100米/分钟.雨桐在转身返回的同时，爷爷也把跑步的速度降低为之前的一半.雨
桐在返回的途中与爷爷相遇.雨桐和爷爷之间的距离y(米)与爷爷的跑步时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，则
雨桐和爷爷第二次相遇时，离出发地有 米.
8. (双动点距离最短求面积和)如图①，菱形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，P，Q两点同时从点 O出
发，以1cm/s的速度在菱形的对角线及边上运动.点 P 的运动路线为O→A→D→O,点Q的运动路线为O→C→B→O.
设运动的时间为x(s),P,Q间的距离为y(cm),y与x函数关系的图象大致如图②所示，当点 P 在 A→D 段上运动且
P，Q 两点间的距离最短时，△APO和△CQO的面积之和为 .
9. 创新题·开放性试题 如图①，在 △ABC中, ∠C=90°,点D 从点 A 出发沿 A→C→B 以 1 cm/s的速度运动
到点B，过点D作DE⊥AB于点E，图②是点 D 运动时，线段DE 的长度y(cm)随运动时间x(s)的变化关系的图
象，当a<x<2a时，x的值可能为 .一阶 方法突破练
1.(1)起点,拐点 【解析】观察题图②可得,点 G 表示x=0时，函数图象与y轴的交点，为起点，点H表示点 E
运动到点 B 的位置，即将转到线段 BC 上时，为拐点.
(2)y=6-x ,0≤x≤6 【解析】由点 E运动方式可知,图②中 GH段表示当点 E 在 AB 上运动时,y=FC=BE=AB-
AE=6-x,∴GH段的函数解析式为y=6-x(0≤x≤6).
1 8
(3)y=− x2+ x−10,6<x≤10
【解析】∵x=0时,y=6.∴AB=CD=6,由题图②知,当x=10时,点E 停止运动,
6 3
即点 E 到达点 C,∴BC=4,当点 E 在BC上运动时,如解图,BE=x-AB=x-6,EC=BC-BE=4-(x-6)=10-
BE FC
x,∵∠FEC+∠AEB=90°,∠AEB+∠EAB=90°,∴ ∠FEC =∠EAB,即 tan∠EAB =tan∠FEC,即 = ,则
AB CE
x−6 y 1 8
= ,∴HM 段的函数解析式为 y=− x2+ x−10(6<x≤10).
6 10−x 6 3
(4) ( 8, 2) 【解析】由(3)得, y=− 1 x2+ 8 x−10 =− 1 (x−8) 2+ 2 ,当x=8时, y= 2 ,.点L的坐标为(8, 2 ).
3 6 3 6 3 3 3
11 1 1 8 1
(5)7或9或 【解析】当点 E 在 BC 上, y= 时, − x2+ x−10= ,解得 x₁=7,x₂=9;当点 E 在AB 上
2 2 6 3 2
1 1 11 1 11
y= 时, 6−x= ,解得 x= ;综上，当 y= 时，x的值为7或9或 .
2 2 2 2 2
2. (1)兔子,乌龟,600 【解析】∵ 乌龟是一直跑的,而兔子中间有休息的时刻，∴折线段 OABC 表示赛跑过程中
兔子的路程与时间的关系；线段 OC 表示乌龟的路程与时间的关系.由图象知赛跑的全路程是600 m.
(2)40 【解析】由图象知，AB段时间在变化，路程不变，此阶段兔子在休息，∴兔子睡觉的时间为50-
10=40(min).
(3)乌龟追上了兔子 【解析】点 D 是折线段 OABC与线段 OC的交点，表示的是乌龟追上了兔子.
(4)20 【解析】乌龟追上兔子即为点 D 处，所用时间为20 min.
(5)20 【解析】兔子加速前的速度为 200÷10=20(m/min),兔子加速后的速度为(600-200)÷(60-
50)=40(m/min),∴40-20=20(m/min),∴兔子加速后比加速前快 20 m/min.
{20t(0≤t≤10)
(6)S=10t,S= 200(10<t≤50) 【解析】设乌龟的路程S 和时间 t 的函数关系式是 S=kt,则 60t=600，
40t(50<t≤60)
解得t=10，∴乌龟的路程S和时间t的函数关系式是S=10t(0≤t≤60).设兔子的路程S和时间t的函数关系式是
S=k₁t,,当0≤t≤10,10k₁=200,解得k₁=20,∴S=20t;当10<t≤50,∴S=200;当50<t≤
60,(60−50)k₁=600−200,解得
k₁ = 40,∴ S=40t，∴兔子的路程S 和时间 t 的函数关系式是{ 20t(0≤t≤10)
S= 200(10<t≤50).
40t(50<t≤60)
3.B 【解析】由题图可得，小文宿舍与体育馆之间的距离是0.6km，从体育馆锻炼身体后，去图书馆，走了
0.3km，体育馆在小文宿舍与图书馆之间，∴小文宿舍与图书馆之间的距离是0.9km，故①②正确；图书馆与体育
馆之间的距离是0.3 km，小文从体育馆到图书馆所用的时间是28-25=3(min),∴小文从体育馆去图书馆的速度是
0.3
=0.1(km/min),故③错误；小文宿舍与图书馆之间的距离为0.9
km，小文从图书馆回到宿舍所用时间为68-
3
0.9
58=10(min),∴小文从图书馆回宿舍的速度是
=0.09(km/min),故④正确.
10
二阶 设问进阶练
例1 (1)C 【解析】由图象可知,y=0时,点 P 与点E重合，∴第二个点是点 E，故排除A，B选项；由题图②
知，第一段y随x的增大而减小，第二段y随x的增大而增大，且第二段的最高点等于第一段的最高
点,∵AE=CE≠ED,故C 选项正确.
(2)A 【解析】由题图②得t=4s时,P,Q同时停止运动，点 P到达点 C.整个过程分为三个阶段，
1 1
①当点 Q 在AB 边上时,即0~1.5 s时, S = × t×2t⋅sin30❑∘= t2;
BPQ 2 2
1 3
②当点 Q 在 AD 边上时,即1.5~3.5 s时,S△BPQ = ×t×3×sin30❑∘= t;
2 4
1 1 5
③当点 Q 在 CD 边上时,即3.5~4s时, S = t×(10−2t)×sin30❑∘=− t2+ t;
BPQ 2 2 2
21 5
∴当t=3.5时,此时S达到最大值, a= ,当t=4时, b=2,∴a−b= .
8 8
(3)③ 【解析】由题图②可知,在0<x<3 时,y 与x的函数关系为正比例函数,且过点(3,4),∴函数关系式为
4 4
y= x(求出解析式),∴当x=1时, y= ,故①错误，不符合题意(根据解析式判断)；由题图②知，S△BCE 的最大值
3 3
为4 cm²，故②错误(由图象即可判断)，不符合题意；当点 E 运动到点 D时,△BCE的面积为▱ABCD 面积的一半,∴▱ABCD 的面积为 8 cm²,故③正确,符合题意.
例2 (1)59 【解析】由图象可得,A,B之间的距离为5500m,∵两人在出发22 min后相遇,∴两人的速度之和为
122
5500÷22=250(m/min),∵在
x=
时出现拐点，此时两人中速度较快的已到达目的地，∴两人中较快的速度为
3
(122 )
5500÷ −4 =150(m/min).较慢的速度为250-150=100(m/min),∵速度较慢的人到达目的地的时间为a,则
3
a=5500÷100+4=55+4=59.
(2)100 m 【解析】由图象可得，李明的速度为100÷1=100(m/min),李明从开始到最后到达 B 地用的时间
(55−1)−2
为5500÷100=55(min),则王彬从C地返回B地的速度为 3900÷ =150(m/min),由图可得
2
3900
t= =26(min),王彬出发22分钟后，两人之间的距离是15500-(100×23+150×22)|=100(m).
150
3850
(3) 【解析】由图象可得，AB 段表示李明出发5分钟后，王彬才出发，
3
5500−5000
∴v = =100(m/ min)；CD段表示李明休息的半分钟，这半分钟只有王彬在走,且走了 75 m,
有用 5
75
∴v = =150(m/min).
C 上底 1 段表示王彬出发到与李明相遇，需要的时间为
2
5000 5500 110
=20(min),∴t=20+5=25.E点表示王彬到达A地，所需要的时长为 = (min),F 点表示王彬
100+150 150 3
110 35
与李明相遇后王彬到达 A 地，需要的时间为 − 25= (min).王彬到A 地时，李明离A 地的距离为
3 3
( 35 1) 3850
25− − ×100= (m).
3 2 3三阶 综合强化练
1. C 【解析】点P在点A 和点 B 处与圆心O的距离相等，即半径相等，结合函数图象求解即可.由题图②知,
当点 P 从 O 点运动到点 A 的路程为 1·a=a,∴⊙O的半径OA=OB=a,当a<x<30时,OP走过的路径为半圆O 的周
30
长，∴半圆周长=30-a，∴πa=30-a,解得 a= .
π+1
2. D 【解析】直线y=-x+3 向下平移3个单位得到直线y=-x，在第二、四象限的角平分线上，即想到45°，
由已知∠A=45°，构造直角三角形找运动到点 B时的临界点求解即可.如解图，当直线y=-x+3 沿x轴向右平移到
点 B 处时，与AD 交于点 E，由题图②得 BE =2,∵ ∠ABE =45°,∠A = 45°,∴ ∠AEB =
90❑∘,AE=BE,∴AB=√AE2+BE2=√22+22=2√2, ∴AB=AD=2√2,∴S =2√2×2=4√2.
或 底ABCD
3. C 【解析】如题图②知，函数y的最大值是3，对应点P 运动到距直线AC 最远的时刻位置为点 B，D 两个
时刻,∴ △ABE 的面积是3, 12.A 选项正确；函数图象的y 最小值是0，对应点 P运动到距直线
AC最近的时刻位置为点A，C 两个位置,∴x=7 时,即AB+BC=7①,∵ S矩形ABCD =12,∴BC×AB=12②,联立
①②,解得 BC=4,AB=3,∴AD=4,B选项正确;△ABE的面积是3,可知这个面积是点 P 运动到距直线AC 最远的时刻
位置，即点B,D 两个时刻.此时x=3 或x=10. D 选项正确;当x=2.5 时,即x<3,点 P 在 AB 边上,∵ 在 Rt△ABC中,三
边分别是3,4,5,∴∠BAC≠60°,∴△AEP 不可能是等边三角形.C 选项错误.
4.6 【解析】由点 E，F所在直线的对应的函数关系式可求出点 E 的坐标，点E 的横坐标即为DP 的长，代入
△PAQ的面积计算公式中求解即可.∵线段 EF所在的直线对应的函数关系式为y=-4x+21，且由题图②知点E 的纵
坐标是9,∴E(3,9),∵点 P 沿边DA 从点 D 开始向点 A 以 1 cm/s 的速度移动,点 Q沿边 A→B→C 从点 A 开始向点
1
C 匀速移动.∴ 当 Q到达B点,DP=3cm时,△PAQ 的面积为9 cm²,设正方形的边长为b cm， ∴ ×(b−3)×b=9,
2
解得b=6(负值已舍去)，即正方形的边长为6cm.1 1
5.S=− t2+2t−1
【解析】当0≤t≤1时,如解图①,设AB交EG 于点 H,则
AE=t=AH,S= AE×AH=
2 2
1 1
t2,函数为开口向上的抛物线，当t=1时， y= ,此时点 D 与点 E 重合，即正方形ABCD 的边长为1，观察题
2 2
图②可得AF=4;
由题图②知,当t=2时正方形ABCD 与等腰Rt△EFG完全重合,当1<t≤2时,如解图②,设直线 EG交 BC于点 M,
交CD 于点 H,则ED=AE-AD=t-1=HD,则CH=CD-HD=2-t=CM,S=S正方形ABCD-S△CMH=1×1-
1 1 1
×CH×CM=1− (2−t) 2=− t2+2t−1.
2 2 2
6. 1500 【解析】由题图可得，小芳跑步的速度为：(4500-3500)÷5 =200(m/min),则步行速度为:
1
200× =100(m/min),设小芳跑步的时间为 a 分钟,∴200a+(35-a)×100=4500,解得a=10,设小钰骑车速度为
2
x(m/min),∴200×(10-5)+(10-5)x=3500-1000,解得 x=300,即小钰骑车速度为300 m/min,小钰到家用的时间
为:4500÷300 =15(min)，则当弟弟小钰到家时，小芳离体育馆的距离为:4500-10×200-(5+15-
10)×100=1500(m).
200
7.640 【解析】由题图的第一段得爷爷的跑步速度为
=100(米/分钟)，设雨桐的跑步速度为x米/分钟，
2
200
则由雨桐出发到追上爷爷可列方程
=2,解得x=200，∴雨桐的跑步速度为200米/分钟.雨桐返回的速度为
x−100
100米/分钟，爷爷的速度降为50(米/分钟)，设雨桐从追上爷爷到到达终点用时 t 分钟,则100(7-4-t)+50(7-4-t)=
9 ( 9) ( 9)
200t-100t,解得 t= .雨桐和爷爷第二次相遇时，离出发地有 100× 4+ +50× 7−4− =640米).(
5 5 53√3
8. cm2 【解析】点 P 与点 Q 同时同速从 O 出发,由“垂线段最短”即OP⊥AD,OQ⊥BC 时,此时PQ 的
4
距离最小，再由勾股定理和三角形的面积公式求解即可.由题图②得:当点 P 从 O→A 运动,点 Q从O→C运动时，y
不断增大，当点 P 运动到A点，点Q 运 动 到 C 点 时, 由 图 象 知 此 时 y = PQ = 2√3cm,∴AC=2√3cm,∵
1
四边形 ABCD 为菱形,
∴AC⟂BD,OA=OC= AC=√3cm,当点
P 运动到D 点，点 Q 运动到 B 点，结合图
2
1
象，易知此时，
y=BD=2cm,∴OD=OB= BD=1cm,在
Rt△ADO中,
2
AD=√OA2+OD2=√(√3) 2+12=2cm,∴AD=AB=BC=DC=2cm,当P,Q
两点运动到如解图所示的位置时,即
OA⋅OD √3×1 √3
PQ⊥AD,且PQ⊥BC时,P,Q两点的距离最短，此时， OP=OQ= = = ,
AD 2 2
√ 3 3
AP=CQ=√OA2−OP2= 3− = , 当点 P 在 A→D段上运动且P，Q 两点间的距离最短时，S△APO+
4 2
1 3 √3 3√3
S =2× × × = (cm) 2.
CQO 2 2 2 4
9. 6(答案不唯一,5<x<10 即可) 【解析】由题图②可知△ACB是等腰直角三角形，如解图，当点 D 运动到点
5√2
C时,DE 最长为 cm,此时运动时间为a(s)，则AC=a(cm),在 Rt△ACE 中,由勾股定理可得:
2
2 2
(5√2)
+
(5√2)
=a2(cm),解得a=5. ∴当a<x<2a时,5<x<10,故x的值可能为6.(答案不唯一,5<x<10 即可)
2 2
