判断函数图像
方法突破练
1. 如图①,在菱形ABCD中, AB=4,∠ADC=60°,，动点E从A 点出发，沿路线A→D→C→B运动至B点停
止，设点E运动的路程为x, △ABE的面积为y.
(1)①点E从点A运动到点 D的过程，y与x之间的函数关系式为 ，此时x的取值范围为 ；
②点E从点 D 运动到点 C 的过程，y与x之间的函数关系式为 ，此时x的取值范围为 ；
③点E从点 C 运动到点 B的过程，y 与x之间的函数关系式为 ，此时x的取值范围为 ；
(2)根据(1)，请你判断y与x之间的函数关系图象表示正确的是 ( )
(3)若点E沿路线A→B→C→D→A运动,请你试着在图②所给的坐标系中大致画出y与x之间的函数图象.设问进阶练
例 已知四边形ABCD为菱形，. ∠A=30°,AB=3cm,点P沿路线A→B→C→D匀速运动至点 D 停止.
(1)如图①,过点 P 作 PN⊥AD于点 N，若点 P 的运动速度为 3cm/s,设点P的运动时间为x(s)(0<x<3),PN的
长为y,则y(cm)关于x的函数图象大致是 ( )
(2)如图②,设点 P 经过的路径长为x(cm), △ADP的面积为 y(cm²),，则下列图象能大致反映y关于x的函数关
系的是 ( )
(3)如图③,点E为AD边上一点,点E以0.5cm/s的速度从点A沿A→D运动,当点E出发2s后,点P以3cm/s的速
度开始运动，当点 P到达D点时，P，E两点同时停止运动.设点P运动的时间为x(s), △APE的面积为 y(cm²),则
y关于x的函数图象大致是 ( )综合强化练
1. 创新题·真实任务情境 以下四种情境分别描述了两个变量之间的关系：甲：小妍打网球时，打出去的网球的
高度(y)与时间(x)的关系；乙：小妍去图书馆读书，一段时间后原路返回，小妍离家的距离(y)与时间(x)间的关系；
丙：小妍去水果店购买榴莲，支付费用(y)与榴莲重量(x)的关系；丁：小妍使用的是一种有月租且只包含流量的套
餐，则她每月所付话费(y)与通话时间(x)的关系.如图，用图象法刻画上述情境，排序正确的图象顺序是 ( )
A. ①②③④ B. ①③④② C. ①③②④ D. ①④③②
2. 创新题·阅读理解题 记实数x₁ x ,x ,⋯,x 中的最小数为 min{x ,x ,⋯,x },例如 则函
1 2 n 1 2 n
{ 1 4}
数 y=min 2x−1, x, (x≥0)的图象大致为 ( )
2 x
3.(双动点求面积)如图，在四边形ABCD中， ∠A=45❑∘,∠B=∠C=90❑∘,AD=3√2,AB=4,M,N两点
同时从点A 出发，点 M以 √2个单位长度/秒的速度沿路线A→D运动，到达点 D 停止运动；点N以2个单位长
度/秒的速度沿路线A→B→C 运动，到达点 C停止运动.设点 N运动时间为ts，△AMN的面积为S，则S随t变化的
函数图象大致为 ( )
4. 如图,⊙O的直径AB为4, ^AC=^BC,点D为AC的中点,点 P 沿路线A→B→C运动,连接CP,DP，设点 P运动
的路程为x，则 △CPD的面积y随x变化的函数图象大致为 ( )5.(双动点求线段长的平方)如图，在 Rt△ABC中, ∠B=90°,∠C=30°,AB=3cm,,动点M,N同时从点 B出
发,点 M 以3c m/s的速度沿 B→A→C的路径运动,点 N以 √3cm/s的速度沿 B→C的路径运动，连接MN.设点M
的运动时间为x(s)，MN²为y，则y关于x的函数图象大致是
( )
6. 如图,点 P从平行四边形ABCD的顶点A出发，沿A→B→C以1cm/s的速度运动到点C，点P运动时，
△PCD的面积 y(cm²)随时间x(s)变化的关系图象大致是 ( )
7.(单个图形平移求重叠面积)如图，在矩形ABCD中， AB=4,AD=2,，E是CD上的点，把矩形沿AE 折
叠，点 D 恰好落在AB边上的F点，把 △AEF沿 FB 向右平移，直到点A 与点 B 重合时停止，设 △AEF与四边
形BCEF重叠部分(图中阴影部分)的面积为y，平移的距离为x，则y与x之间的函数关系图象大致是
( )
8. 如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点 O, AC=4,,点 P从点A出发,沿A→O→B运动，到点 B时停
止，过点 P作. PM⊥AB于点M，作 PN⊥BC于点 N.设点 P运动的路程为x，四边形BMPN的面积为y，则能
大致反映y与x之间函数关系的图象是 ( )类型一 判断函数图象
一阶 方法突破练
1. (1)①y= √3x,0≤x<4;②y=4 √3,4≤x<8;③y= 12√3−√3x,8≤x≤12
【解析】理清动点运动过程具体分为几个阶段.如解图①,当点 E 在 AD 边上运动时,过点 E 作 EF⊥BA交 BA
1
的延长线于点 F,∵ ∠ADC = 60°,AB=4,AE=x,AB∥CD,∴ ∠DAF = 60°,EF = √3,,∴ S = AB⋅EF=√3x,.在此
ABE 2
阶段y与x之间的函数关系式为 y=√3x(0≤x<4)(求出各个阶段的解析式及其自变量的取值范围，判断函数图
象)；
如解图②,当点E 在 DC 边上运动时,过点E 作EG⊥BA于点 G,过点 D 作 DH⊥BA 交 BA 的延长线于点H,∵
AB∥CD,∴EG=DH,△ABE 是以 AB 为底,EG为高的三角形,此时 S△ABE 为定值,∵ AD = 4,
1
∠DAH=60❑∘,∴DH=EG=2√3,∴S = ×4× 2√3=4√3,..在此阶段y与x 之间的函数关系式为
ABE 2
y=4√3(4≤x<8);
如解图③,当点 E 在 BC边上运动时,过点E 作EK⊥AB 于点 K,∵ ∠B =∠ADC = 60°,BE =12-x,∴
√3 1 ( √3 )
EK=6√3− x,∴S = ×4× 6√3− x = 12√3−√3x,.在此阶段y与x之间的函数关系式为
2 ABE 2 2
y=12√3−√3x(8≤x≤12).
(2)A 【解析】由(1)可知,点 E 在 AD 边上时y= √3x(0≤x<4), .此阶段y与x的函数图象为正比例函数图象
的一部分，点 E 在 DC 边上时， y=4√3(4≤x<8)，此阶段的函数图象y随x的变化保持不变，且始终为4 √3,当
点 E 在 BC 边上时, y=12√3−√3x(8≤x≤12)，此阶段y 与x为一次函数图象的一部分，故 A 选项正确.
(3)y与x之间的函数图象如解图④.【作法提示】当点E在AB边上,即0≤x<4时,此时y=0;当点 E 在BC边上,
即4≤x<8时, y=√3x−4√3,此阶段y与x之间的函数图象为一次函数图象的一部分，y随x的增大而增大，且经
过点(4，0)；当点 E 在CD边上，即8≤x<12时, y=4√3,此阶段y随x的变化保持不变；当点 E 在 AD 边上,即
12≤x≤16 时, y=−√3x+16 √3，此阶段y与x之间的函数图象为一次函数图象的一部分，y随x的增大而减小，
且经过点(16，0).二阶 设问进阶练
例 (1)A 【解析】①当0<x<1,即点 P 在AB 边上时,△APN为含30°角的直角三角形,∵∠A=30°,根据题意得
3 3
AP=3x,在 Rt△APN中, PN= x,∴y与x之间为正比例函数关系，且在点 P 运动到 B 点时， PN= ,故排除 D 选
2 2
3 3
项;②当1≤x<2,即点 P 在 BC边上时，PN始终等于点 P运动到点 B时 PN的值，即
PN= ,∴y= (1≤x<2),
2 2
3 9
故排除 B选项;③当2≤x<3，即点 P 在 CD边上时，PN的值逐渐减小，此时 y=− x+ ,∴y与x之间为一次函
2 2
数关系，故C 选项错误，A 选项正确.
1 3
(2)A 【解析】当点 P 沿A→B 运动时,△ADP 的高不变，底逐渐增大，.. S = AP⋅AD⋅sin30❑∘= x,∴
ADP 2 4
△ADP 的面积逐渐增大;当点 P 沿 B→C运动，△ADP的底和高都不变，∴△ADP的面积不变，且此时 △ADP 的面
9
积等于菱形面积的一半，即 S = ,排除B,C,D选项,A选项正确.
ADP 4
(1 )
(3)B 【解析】①当0<x≤1,即点 P 在 AB 上时, AP=3xcm,AE=0.5(x+2)= x+1 cm,如解图①,过点 P
2
PF 3 1
作 PF⊥AE 于点 F. 在 Rt△AFP 中,∵ sin A= ,∴PF=AP⋅sin30❑∘= xcm.∴y= AE⋅
AP 2 2
PF= 1(1 x+1 ) × 3 x= 3 x2+ 3 x.:此时，y是x的二次函数，图象是开口向上且过原点的抛物线的一部分；
2 2 2 8 4
1 3 1
②当1<x≤2,即点 P 在BC边上时,如解图②,过点 B作 BH⊥AD 于点 H,则 BH= AB= cm.∴y= AE.
2 2 2
1(1 ) 3 3 3
BH= x+1 × = x+ .:此时y是x的一次函数，图象是一次函数图象的一部分；
2 2 2 8 4
③当2<x<3时,点 P 在 CD 边上,则 DP=(9-3x)cm,如解图③,过点 P 作PG⊥AD,交AD 延长线于点G,∵
1 1 1 1(1 )
AB∥CD,∴ ∠CDG = ∠DAB = 30°. ∴PG =
PD= (9−3x)cm.∴y= AE⋅PG= x+
2 2 2 2 2
1 3 3 9
1)× (9−3x)=− x2+ x+ ,∴此时y是x的二次函数，图象是开口向下的抛物线的一部分，综上，y关于x
2 8 8 4
的函数图象大致为B.三阶 综合强化练
1.B 【解析】甲：小妍打网球时，打出去的网球的高度先变大后逐渐变小至0；乙：小妍去图书馆读书，小妍
离家的距离从0开始变大，到达图书馆读书的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为0；丙：小妍去
水果店购买榴莲，支付费用与榴莲重量成正比例关系；丁：小妍使用的是一种有月租且只包含流量的套餐，她每
月所付话费与通话时间的关系是一次函数关系.故顺序为①③④②.
2.A 【解析】根据题目中已知的三个函数，求出交点坐标，并画出这三个函数图象，观察图象.如解图，联立
2 1
{y=2x−1 { x= { y= x
3 2 {x=2√2
1 , 解 得 联 立 , 解 得 (负值已舍去).根据最小数的定义，写出x不同取值范围的
y= x 1 4 y=√2
2 y= y=
3 x
2 { 1 4} 2 { 1 4} 1
函数表达式.当 0≤x≤ 时,y= min 2x−1, x, =2x−1;当 <x≤2√2时,y= min 2x−1, x, = x,当
3 2 x 3 2 x 2
{ 1 4} 4 { 1 4}
x>2√2时,y= min 2x−1, x, = ,∴y=min 2x−1, x, (x≥0)的图象大致为 A.
2 x x 2 x
3. B 【解析】先根据已知条件求出 BC 和 CD的边长,∵∠A=45°,∠B=∠C=90°,AD=3 √2
,AB=4,∴BC=3,CD=1,由边长和M,N两点的运动速度,分0≤t≤2,2<t≤3,3<t≤3.5 三个阶段讨论,如解图①,当
1 1
0≤t≤2时,过点 M 作 ME⊥AB 于点 E,∴AE=ME=t,AN=2t,则
S= ME⋅AN= t⋅2t=
t²，∴在0≤t≤2阶段，S
2 2
与t的图象为开口向上且过原点的抛物线的一部分，排除A，C 选项；
1
如解图②,当2<t≤3时,连接MB,过点 M 作MF⊥AB 于点 F,则 S=S +S −S = ×4t+
AMB MNB ABN 2
1 1
(2t−4)(4−t)− ×4(2t−4)=−t2+4t,.在2<t≤3阶段，S与t的函数图象为开口向下的抛物线的一部分，排
2 2
除D选项；
1 1 1
如解图③,当3<t≤3.5时,点 M 已经到达点 D,则 S=S +S −S = ×4×3+ ×1×(2t−4)− ×
AMB BMN ABN 2 2 2
4(2t-4)=-3t+12.∴在3<t≤3.5阶段,S与t的函数图象为一次函数图象的一部分，故 B 正确.4. A 【解析】∵ ^AC=^BC,⊙O的直径AB 为4,∴△ABC为等腰直角三角形,∠A = ∠B = 45°,AC = BC =2 √2,∵
点D为AC的中点,. ∴CD=√2,,分点 P 在 AB上和 BC 上两种情况讨论,①当点 P 在 AB 上时,.
1 1 1
AP=x,∠A=45❑∘,∴S = CD⋅AP. sin45❑∘= x,∴y= x(0≤x≤4),且经过点(4，2)，∴在0≤x≤4阶
CPD 2 2 2
段，y与x之间的函数图象为正比例函数图象的一部分，故排除C，D 选项；②当点 P在 BC 上时,∵
1 √2
∠ACB=90❑∘,CD=√2,CP=4+2√2− x,∴S = CD⋅CP=− x+2+2√2,∴y=
CPD 2 2
√2
− x+2+2√2(4<x≤4+2√2),∴在 4<x≤4+2√2阶段，y与x之间的函数图象为一次函数图象的一部分，故
2
A 选项正确.
5. A 【解析】在 Rt△ABC 中,∠B=90°,∠C=30°,AB=3cm,∴AC=6cm,BC=3√₃ cm,当0≤x≤1时,点M 在AB 边
上,∵ 点 M 的速度为3cm/s,点 N的速度为 √3cm/s,则BN=√₃x cm,BM=3x cm,∴
MN²=BM²+BN²=12x²,∴y=12x²,∴在0≤x≤1时,y与x之间的函数图象为过原点且开口向上的抛物线的一
部分排除B，D选项；如解图，当1≤x≤3时，点M 在 AC 边上,过点 N 作 NP⊥AC 于点 P,由题意得,
1 3
CN=(3√3−√3x)cm,:⋅∠C=30❑∘,∴PN= (3√3−√3x)cm,PC= (3−x)cm,::AM=(3x−
2 2
( 3 9)
3)cm,∴PM=AC−PC−AM= − x+ ,则 MN²= PM²+PN²=3x²−18x+27=3(x−3)²,∴当x=2时,
2 2
3 27
y=3,x= 时, y= ,故 A 选项正确，C 选项错误.
2 4
1
6. D 【解析】当 P 点在AB 边上运动时,如解图①,过点 P 作 PE⊥ CD 于点 E,则 y= CD⋅PE为定值，此时
2
函数图象是平行于x轴的一条线段；
1
当点 P在BC 边上运动时，如解图②，过点 P作PE⊥DC 交 DC 的延长线于点 E,则
y= CD⋅PE=
2
1 1 1 1
CD⋅PC⋅sin∠PCE= CD⋅(AB+BC−x). sin∠PCE=− CD⋅sin∠PCE⋅x+ CD⋅(AB+
2 2 2 2
1 1
BC)⋅sin∠PCE,∵− CD⋅sin∠PCE和 CD.(AB+BC)·sin∠PCE 是常数,∴γ是x 的一次函数,
2 2
1
∴− CD⋅sin∠PCE<0,∴此时函数图象是从左至右下降的一条线段.综上所述，符合条件的图象为 D.
27. D 【解析】分△AEF 部分在四边形 BCEF 中和△AEF 完全在四边形 BCEF 中两种情况,即0<x≤2时和
2<x≤4 时.由折叠性质知,AF=AD=2 cm,∠AFE=∠D=90°,∵ AB =4 cm,∴ BF =2 cm,∵∠DAF = 90°,∴ 四边 形
1
ADEF 为 正 方 形, ∴∠EAF=45°,∵ ∠E'A'F' = ∠EAF =45°,S△A'E'F '= S = ×2×2=2,当0<x≤2 时,则
AEF 2
1
y=S − S =2− x2,此时y与x之间的函数图象是开口向下的抛物线的一部分；当2<x≤4时，如解图，
A'E'F' A'MF 2
1 1
则 BM=A'B=AB−A A'=4−x,∴y= (4−x) 2= (x−4) 2 此时y与x之间的函数图象是一条开口向上的抛物线
2 2
的一部分，综上可知，y与x之间的函数关系图象大致为D.
8. C 【解析】由正方形的对角线AC=4，先求出正方形ABCD 的边长.∵ 四边形 ABCD 是正方形,AC =
1
4,∴∠ACB=45❑∘,OA=OB=OC=OD= AC=2,AC⊥BD,∴AB=BC=2 √2,∵PM⊥AB,PN⊥BC,∴四边形
2
BMPN是矩形,∴BM=PN,PM=BN,∵ 点 P 从点 A出发沿A→O→B运动，∴点P的运动路程分为两个阶段，∵点P
运动的路程为x，∴①当点 P 从点 A 出发,沿A→O 路径运动,即0≤x<2时,AP=x,则
√2 √2
AM=PM=x⋅sin45❑∘= x,∴BM=AB−AM=2√2− x,∴四边形 BMPN 的面积为y,∴ γ= PM ·
2 2
BM= √2 x ( 2√2− √2 x ) =− 1 x2+2x=− 1 (x−2) 2+ 2，∴当0≤x<2时，y与x之间函数关系的图象是开口向下
2 2 2 2
抛物线的一部分；②如解图，当点 P沿O→B路径运动,即2≤x≤4时,∵ BO 是∠ABC 的平分线,∴ PM=PN,∴ 四边
2
形 BMPN 是正方形,∵ AO=OB=2,∴BP=4−x,∴PN=BN=2√2− √2 x, ∴y= ( 2√2− √2 x ) = 1 (x−4) 2,.当
2 2 2
2≤x≤4时,y与x之间函数关系的图象是开口向上抛物线的一部分，综上所述，能大致反映y与x之间函数关系的
图象是 C.
