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专项训练二 二次函数的最值问题
1.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+m2-m(m为常数)的图象经过点(0,6),其对称轴在y轴左
侧,则该二次函数有 ( )
15
A.最大值5 B.最大值
4
15
C.最小值5 D.最小值
4
2.已知关于x的二次函数y=ax2-6ax+9a+5(a<0),在m≤x≤6的取值范围内,若00,m,k 是实数),则 ( )
A.当k=2时,函数y的最小值为-a
B.当k=2时,函数y的最小值为-2a
C.当k=4时,函数y的最小值为-a
D.当k=4时,函数y的最小值为-2a
4.在平面直角坐标系中,如果点P的横坐标和纵坐标相等,则称点P为“和谐点”.例如点(1,1),
( 1 1) ,(- ,- ),…,都是“和谐点”.若二次函数 y=ax2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个
- ,- √2 √2
3 3
“和谐点”(3 3),当0≤x≤m时,函数y=ax2+4x+c-3(a≠0)的最小值为-3,最大值为1,则m的取值
,
2 2 4
范围是 ( )
A.m≤4 B.m≥2
C.2≤m≤4 D.20时,y的最大值为3,求二次函数的解析式.
1.(2024·广西)课堂上,数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=x2+2ax+a-3的最值问题展开
探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
(1)老师给出a=-4,求二次函数y=x2+2ax+a-3的最小值.
①请你写出对应的函数解析式;
②求当x取何值时,函数y有最小值,并写出此时的y值.
【举一反三】老师给出更多a的值,同学们即求出对应的函数在x取何值时,y的最小值.记录结果,
并整理成如表:
a … -4 -2 0 2 4 …
x … * 2 0 -2 -4 …
y的最小值 … * -9 -3 -5 -15 …
注:*为②的计算结果.
【探究发现】老师:“请同学们结合学过的函数知识,观察表格,谈谈你的发现.”
甲同学:“我发现,老师给了a值后,我们只要取x=-a,就能得到y的最小值.”
乙同学:“我发现,y的最小值随a值的变化而变化,当a由小变大时,y的最小值先增大后减小,所以
我猜想y的最小值中存在最大值”.(2)请结合函数解析式y=x2+2ax+a-3,解释甲同学的说法是否合理?
(3)你认为乙同学的猜想是否正确?若正确,请求出此最大值;若不正确,说明理由.
2.(2024·廊坊广阳区一模)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-5,0)两点,与y轴交于点
C.P是抛物线上的任意一点(不与点C重合),点P的横坐标为m,抛物线上点C与点P之间的部分
(包含端点)记为图象G.
备用图
(1)求抛物线的解析式.
(2)当m符合什么条件时,图象G的最大值与最小值的差为4?
(3)将线段AB先向左平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度,得到线段A'B'.若抛物线y=-x2+
bx+c平移后与线段A'B'有两个交点,且这两个交点恰好将线段 A'B'三等分,求抛物线平移的最短
路程.【详解答案】
基础夯实
b
1.D 解析:将点(0,6)代入 y=x2+mx+m2-m,得 m2-m=6,解得 m=3,m=-2.∵对称轴在 y 轴左侧,∴-
1 2
2a
4×1×6-32 15
<0,∴m>0,∴m=3,∴y=x2+3x+6.∵1>0,∴该二次函数图象开口向上,有最小值,∴y = = .故选
最小值
4×1 4
D.
-6a
2.B 解析:抛物线的对称轴为直线x=- =3,
2a
在m≤x≤6的取值范围内,若00,∴当x=m+1,k=2时,y有最
小值,最小值为-a.故A正确,B错误.当k=4时,抛物线的对称轴为直线x=m+2.把x=m+2代入y=a(x-m)(x-m-4),得
y=-4a.∵a>0,∴当x=m+2,k=4时,y有最小值,最小值为-4a.故C,D错误.故选A.
4.C 解析:令ax2+4x+c=x,即ax2+3x+c=0,
由题意知,Δ=32-4ac=0,即4ac=9,
3 3
又方程的根为- = ,
2a 2
9
解得a=-1,c=- .
4
3
故函数y=ax2+4x+c- =-x2+4x-3,
4
如图,该函数图象顶点为(2,1),与y轴交点为(0,-3),由对称性知,该函数图象也经过点(4,-3).
由于函数图象在对称轴(直线x=2)左侧y随x的增大而增大,在对称轴右侧y随x的增大而减小,且当0≤x≤m时,
函数y=-x2+4x-3的最小值为-3,最大值为1,
∴2≤m≤4.故选C.5.D 解析:二次函数的对称轴为直线x=m,
①m<-2时,x=-2时二次函数有最大值,
此时-(-2-m)2+m2+1=4,
7
解得m=- ,与m<-2矛盾,舍去;
4
②当-2≤m≤1时,x=m时,二次函数有最大值,
此时,m2+1=4,
解得m=-√3或m=√3(舍去);
③当m>1时,x=1时二次函数有最大值,
此时-(1-m)2+m2+1=4,
解得m=2.
综上所述,m的值为2或-√3,
所以甲、乙的结果合在一起也不正确.故选D.
6.解:(1)①当b=4,c=3时,y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7,
∴该函数图象的顶点坐标为(2,7).
②顶点坐标为(2,7),抛物线开口向下,
当-1≤x≤2时,y随x的增大而增大,
当2≤x≤3时,y随x的增大而减小.
∴当x=2时,y有最大值7.
又∵2-(-1)>3-2,
∴当x=-1时,y取得最小值,最小值为-2.
∴当-1≤x≤3时,-2≤y≤7.
(2)∵当x≤0时,y的最大值为2,当x>0时,y的最大值为3,
b b
∴抛物线的对称轴直线x= 在y轴的右侧,∴ >0.
2 2
∴b>0.
∵抛物线开口向下,当x≤0时,y的最大值为2,
∴c=2.
4×(-1)×c-b2
又∵ =3,
4×(-1)
∴b=±2.
∵b>0,∴b=2.
∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+2.
能力提升1.解:(1)①a=-4,y=x2+2ax+a-3=x2-8x-7.
b
②当x=- =4时,y取得最小值,为16-32-7=-23.
2a
(2)合理,理由:
∵1>0,∴函数有最小值,
当x=-a时,y取得最小值,
故甲同学的说法合理.
(3)乙同学的猜想正确.
当x=-a时,y=x2+2ax+a-3=-a2+a-3,
∵-1<0,∴y有最大值,
1 1 1 11
∴当a= 时,y的最大值为- + -3=- .
2 4 2 4
2.解:(1)将A(1,0),B(-5,0)代入y=-x2+bx+c,
{-1+b+c=0,
得
-25-5b+c=0,
{b=-4,
解得
c=5,
∴抛物线的解析式为y=-x2-4x+5.
(2)在y=-x2-4x+5中,
令x=0,则y=5,
∴C(0,5),
∵y=-x2-4x+5=-(x+2)2+9,
∴抛物线的顶点为(-2,9),
当y=5时,-x2-4x+5=5,
∴x=0或x=-4,
当m≤-4时,
图象G的最大值为9,最小值为-m2-4m+5,
∴9-(-m2-4m+5)=4,
解得m=0(舍去)或m=-4,
∴当m=-4时,图象G的最大值与最小值的差为4.
当-40时,
图象G的最大值为5,最小值为-m2-4m+5,
∴5-(-m2-4m+5)=4,
解得m=2√2-2或m=-2√2-2(舍去).
综上所述,-4≤m≤-2或m=2√2-2时,图象G的最大值与最小值的差为4.
(3)∵A(1,0),B(-5,0),
∴将线段AB先向左平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度可得A'(0,5),B'(-6,5),
∴线段A'B'的两个三等分点坐标为(-4,5),(-2,5),
设平移后的抛物线解析式为y=-(x-h)2+k,
∵抛物线y=-x2-4x+5平移后与线段A'B'有两个交点,且这两个交点恰好将线段A'B'三等分,
∴{-(-4-h)2+k=5,
-(-2-h)2+k=5
{h=-3
解得 ,
k=6
∴平移后的抛物线解析式为y=-(x+3)2+6,其顶点为(-3,6),
而抛物线y=-x2-4x+5=-(x+2)2+9的顶点为(-2,9),
∴平移前、后抛物线的顶点之间的距离为 ,
√(-3+2)2+(6-9)2=√10
∴抛物线平移的最短路程为√10.
