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2015年浙江省台州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中符合题意的正确选项，不选、
多选、错选，均不得分）
1．（4分）（2015•台州）单项式2a的系数是（ ）
A．2 B．2a C．1 D．a
2．（4分）（2015•台州）下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）（2015•台州）在下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ）
A．了解我省中学生的视力情况
B．了解九（1）班学生校服的尺码情况
C．检测一批电灯泡的使用寿命
D．调查台州《600全民新闻》栏目的收视率
4．（4分）（2015•台州）若反比例函数y= 的图象经过点（2，﹣1），则该反比例函数的图象在（
）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
5．（4分）（2015•台州）若一组数据3，x，4，5，6的众数为6，则这组数据的中位数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（4分）（2015•台州）把多项式2x2﹣8分解因式，结果正确的是（ ）
A．2（x2﹣8） B．2（x﹣2）2 C．2（x+2）（x﹣2）D．
2x（x﹣ ）
7．（4分）（2015•台州）设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，
则点M的坐标可能是（ ）
A．（1，0） B．（3，0） C．（﹣3，0） D．（0，﹣4）
8．（4分）（2015•台州）如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的
长不可能是（ ）
A．8cm B．5 cm C．5.5cm D．1cm
9．（4分）（2015•台州）如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，
过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四
边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（ ）
1A．6.5 B．6 C．5.5 D．5
10．（4分）（2015•台州）某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大
于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，
其中真命题的是（ ）
A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对
C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）（2015•台州）不等式2x﹣4≥0的解集是 ．
12．（5分）（2015•台州）有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字
1，2，3，4，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇
数的概率是 ．
13．（5分）（2015•台州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则
点D到AB的距离是 ．
14．（5分）（2015•台州）如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴
的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥
区A处的位置．
则椒江区B处的坐标是 ．
215．（5分）（2015•台州）关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程
只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个
负数解，其中正确的是 （填序号）．
16．（5分）（2015•台州）如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正
六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内
（包括正方形的边），当这个正六边形的边长最大时，AE的最小值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22,23题每题12分，第24
题14，共80分）
17．（8分）（2015•台州）计算：6÷（﹣3）+|﹣1|﹣20150．
18．（8分）（2015•台州）先化简，再求值： ﹣ ，其中a= ﹣1．
19．（8分）（2015•台州）如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节
器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求
调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米（结果取整数）？
（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
320．（8分）（2015•台州）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋
转时间x（min）之间的关系如图2所示．
（1）根据图2填表：
x（min） 0 3 6 8 12 …
y（m） …
（2）变量y是x的函数吗？为什么？
（3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径．
21．（10分）（2015•台州）某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，
对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频
数分布直方图和扇形统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）求扇形统计图中m的值和“E”组对应的圆心角度数；
（3）请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数．
422．（12分）（2015•台州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，
EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2．
23．（12分）（2015•台州）如图，在多边形ABCDE中，∠A=∠AED=∠D=90°，AB=5，AE=2，
ED=3，过点E作EF∥CB交AB于点F，FB=1，过AE上的点P作PQ∥AB交线段EF于点O，
交折线BCD于点Q，设AP=x，PO•OQ=y．
（1）①延长BC交ED于点M，则MD= ，DC= ；
②求y关于x的函数解析式；
（2）当a≤x≤ （a＞0）时，9a≤y≤6b，求a，b的值；
（3）当1≤y≤3时，请直接写出x的取值范围．
524．（14分）（2015•台州）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，
MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；
（2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，
连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；
（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使点C，D是
线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可）；
6（4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，△AMC，△MND和
△NBE均为等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究
S
△AMF
，S
△BEN
和S四边形MNHC 的数量关系，并说明理由．
2015 年浙江省台州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中符合题意的正确选项，不选、
多选、错选，均不得分）
1．（4分）（2015•台州）单项式2a的系数是（ ）
A．2 B．2a C．1 D．a
考点：单项式．
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分析：根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数．
解答：解：根据单项式系数的定义，单项式的系数为2．
故选A．
点评：本题考查单项式的系数，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数．
2．（4分）（2015•台州）下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
7A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图．
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分析：四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形，由
此可确定答案．
解答：解：因为圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形，
故选D
点评：主要考查立体图形的左视图，关键是几何体的左视图．
3．（4分）（2015•台州）在下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ）
A．了解我省中学生的视力情况
B．了解九（1）班学生校服的尺码情况
C．检测一批电灯泡的使用寿命
D．调查台州《600全民新闻》栏目的收视率
考点：全面调查与抽样调查．
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分析：由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调
查结果比较近似．
解答：解：A、了解我省中学生的视力情况，调查范围广，适合抽样调查，故A不符合题意；
B、了解九（1）班学生校服的尺码情况，适合普查，故B符合题意；
C、检测一批电灯泡的使用寿命，调查局有破坏性，适合抽样调查；
D、调查台州《600全民新闻》栏目的收视率调查范围广，适合抽样调查，故D不符合题
意；
故选：B．
点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对
象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或
价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普
查．
4．（4分）（2015•台州）若反比例函数y= 的图象经过点（2，﹣1），则该反比例函数的图象在（
）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
8考点：反比例函数的性质．
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分析：根据反比例函数图象在第一、三象限或在第二、四象限，根据（2，﹣1）所在象限即可作
出判断．
解答：解：点（2，﹣1）在第四象限，则该反比例函数的图象的两个分支在第二、四象限．
故选D．
点评：
本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y= （k≠0），（1）k＞0，反比例函数图
象在第一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
5．（4分）（2015•台州）若一组数据3，x，4，5，6的众数为6，则这组数据的中位数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点：众数；中位数．
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分析：根据众数和中位数的概念求解．
解答：解：∵这组数据的众数为6，
∴x=6，
则这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，4，5，6，6，
中位数为：5．
故选C．
点评：本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组
数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位
置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均
数就是这组数据的中位数．
6．（4分）（2015•台州）把多项式2x2﹣8分解因式，结果正确的是（ ）
A．2（x2﹣8） B．2（x﹣2）2 C．2（x+2）（x﹣2）D．
2x（x﹣ ）
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
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分析：首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
解答：解：2x2﹣8=2（x2﹣4）=2（x﹣2）（x+2）．
故选：C．
点评：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式分解因式是
解题关键．
97．（4分）（2015•台州）设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，
则点M的坐标可能是（ ）
A．（1，0） B．（3，0） C．（﹣3，0） D．（0，﹣4）
考点：二次函数的性质．
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分析：根据二次函数的解析式可得出直线l的方程为x=3，点M在直线l上则点M的横坐标
一定为3，从而选出答案．
解答：解：∵二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线x=3，
∴直线l上所有点的横坐标都是3，
∵点M在直线l上，
∴点M的横坐标为3，
故选B．
点评：本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点
坐标为（h，k），对称轴是x=h．
8．（4分）（2015•台州）如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的
长不可能是（ ）
A．8cm B．5 cm C．5.5cm D．1cm
考点：翻折变换（折叠问题）．
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分析：根据勾股定理计算出最长折痕即可作出判断．
解答：解：易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理对角线长为： = ≈7.8，
故折痕长不可能为8cm．
故选：A．
点评：考查了折叠问题，勾股定理，根据勾股定理计算后即可做出选择，难度不大．
9．（4分）（2015•台州）如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，
过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四
边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（ ）
10A．6.5 B．6 C．5.5 D．5
考点：菱形的性质．
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分析：根据菱形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，推出平行四边形ABHF、AEGD、GCHO，得出
AF=FO=OE=AE和OH=CH=GC=GO，根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形
CGOH是菱形，再解答即可．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC=AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵EG∥AD，FH∥AB，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形，
∴AF=OE，AE=OF，OH=GC，CH=OG，
∵AE=AF，
∴OE=OF=AE=AF，
∵AE=AF，
∴BC﹣BH=CD﹣DG，即OH=HC=CG=OG，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，
∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12，
∴4AE﹣4（8﹣AE）=12，
解得：AE=5.5，
故选C
点评：此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是
菱形．
10．（4分）（2015•台州）某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大
于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，
其中真命题的是（ ）
A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对
C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对
考点：推理与论证．
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分析：分别假设甲说的对和乙说的正确，进而得出答案．
解答：解：若甲对，即只参加一项的人数大于14人，不妨假设只参加一项的人数是15人，
则两项都参加的人数为5人，故乙错．
若乙对，即两项都参加的人数小于5人，则两项都参加的人数至多为4人，
此时只参加一项的人数为16人，故甲对．
11故选：B．
点评：此题主要考查了推理与论证，关键是分两种情况分别进行分析．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）（2015•台州）不等式2x﹣4≥0的解集是 x≥ 2 ．
考点：解一元一次不等式．
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分析：先移项，再把x的系数化为1即可．
解答：解：移项得，2x≥4，
x的系数化为1得，x≥2．
故答案为：x≥2．
点评：本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关
键．
12．（5分）（2015•台州）有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字
1，2，3，4，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇
数的概率是 ．
考点：概率公式．
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分析：由有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，直接
利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：∵有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，
∴从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是： = ．
故答案为： ．
点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13．（5分）（2015•台州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则
点D到AB的距离是 3 ．
12考点：角平分线的性质．
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分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DC即可得解．
解答：解：作DE⊥AB于E，
∵AD是∠CAB的角平分线，∠C=90°，
∴DE=DC，
∵DC=3，
∴DE=3，
即点D到AB的距离DE=3．
故答案为：3．
点评：本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关
键．
14．（5分）（2015•台州）如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴
的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥
区A处的位置．
则椒江区B处的坐标是 （ 1 0 ， 8 ） ．
考点：坐标确定位置．
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分析：根据A点坐标，可建立平面直角坐标系，根据直角三角形的性质，可得AC的长，根据
勾股定理，BC的长．
解答：
解：如图： 连接AB，作BC⊥x轴于C点，
13由题意，得AB=16，∠ABC=30°，
AC=8，BC=8 ．
OC=OA+AC=10，
B（10，8 ）．
点评：本题考查了坐标确定位置，利用A点坐标建立平面直角坐标系是解题关键，利用了直
角三角形的性质：30°的角所对的直角边是斜边的一半．
15．（5分）（2015•台州）关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程
只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个
负数解，其中正确的是 ①③ （填序号）．
考点：根的判别式；一元一次方程的解．
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专题：分类讨论．
分析：分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1=0根的情况，进而填空．
解答：解：当m=0时，x=﹣1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程，△=1﹣4m（1﹣m）=1+4m+4m2=
（2m+1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；
当x=﹣1时，m﹣1﹣m+1=0，即x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根，③正确；
故答案为①③．
点评：本题主要考查了根的判别式以及一元一次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根
的判别式的意义以及分类讨论的思想．
16．（5分）（2015•台州）如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正
六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内
（包括正方形的边），当这个正六边形的边长最大时，AE的最小值为 ﹣ ．
考点：正多边形和圆；轨迹．
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14分析：当正六边形EFGHIJ的边长最大时，要使AE最小，以点H（H与O重合）为圆心，对角
线EH为半径的圆应与正方形ABCD相切，且点E在线段OA上，如图所示，只需求出
OE、OA的值，就可解决问题．
解答：解：当这个正六边形的边长最大时，
作正方形ABCD的内切圆⊙O．
当正六边形EFGHIJ的顶点H与O重合，且点E在线段OA上时，AE最小，如图所示．
∵正方形ABCD的边长为1，
∴⊙O的半径OE为 ，AO= AC= × = ，
则AE的最小值为 ﹣ ．
故答案为 ﹣ ．
点评：本题是有关正多边形与圆的问题，考查了正方形的内切圆、圆外一点与圆上点的最短
距离、勾股定理等知识，正确理解题意是解决本题的关键．
三、解答题（本题有8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22,23题每题12分，第24
题14，共80分）
17．（8分）（2015•台州）计算：6÷（﹣3）+|﹣1|﹣20150．
考点：实数的运算；零指数幂．
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专题：计算题．
分析：原式第一项利用除法法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零
指数幂法则计算即可得到结果．
解答：解：原式=﹣2+1﹣1
=﹣2．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）（2015•台州）先化简，再求值： ﹣ ，其中a= ﹣1．
15考点：分式的化简求值．
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分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
解答：
解：原式= ﹣
= ，
当a= ﹣1时，原式= = ．
点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．（8分）（2015•台州）如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节
器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求
调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米（结果取整数）？
（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
考点：解直角三角形的应用．
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分析：作A′B⊥AO于B，通过解余弦函数求得OB，然后根据AB=OA﹣OB求得即可．
解答：解：如图，根据题意OA=OA′=80cm，∠AOA′=35°，
作A′B⊥AO于B，
∴OB=OA′•cos35°=80×0.82≈65.6，
∴AB=OA﹣OB=80﹣65.6=14cm．
答：调整后点A′比调整前点A的高度降低了14厘米．
点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
1620．（8分）（2015•台州）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋
转时间x（min）之间的关系如图2所示．
（1）根据图2填表：
x（min） 0 3 6 8 12 …
y（m） 5 7 0 5 5 4 5 …
（2）变量y是x的函数吗？为什么？
（3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径．
考点：二次函数的应用．
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分析：（1）直接结合图象写出有关点的纵坐标即可；
（2）利用函数的定义直接判断即可．
（3）最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标即可求得摩天轮的半径．
解答：解：（1）填表如下：
x（min） 0 3 6 8 12 …
y（m） 5 70 5 54 5 …
（2）因为每给一个x的值有唯一的一个函数值与之对应，符合函数的定义，
所以y是x的函数；
（3）∵最高点为70米，最低点为5米，
∴摩天轮的直径为65米．
点评：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度不大．
1721．（10分）（2015•台州）某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，
对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频
数分布直方图和扇形统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）求扇形统计图中m的值和“E”组对应的圆心角度数；
（3）请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数．
考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图．
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分析：（1）根据第二组频数为21，所占百分比为21%，求出数据总数，再用数据总数减去其余
各组频数得到第四组频数，进而补全频数分布直方图；
（2）用第三组频数除以数据总数，再乘以100，得到m的值；先求出“E”组所占百分
比，再乘以360°即可求出对应的圆心角度数；
（3）用3000乘以每周课外阅读时间不小于6小时的学生所占百分比即可．
解答：解：（1）数据总数为：21÷21%=100，
第四组频数为：100﹣10﹣21﹣40﹣4=25，
频数分布直方图补充如下：
（2）m=40÷100×100=40；
18“E”组对应的圆心角度数为：360°× =14.4°；
（3）3000×（25%+ ）=870（人）．
即估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数是870人．
点评：此题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；
利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解
决问题．也考查了利用样本估计总体．
22．（12分）（2015•台州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，
EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2．
考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
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专题：计算题．
分析：（1）根据等腰三角形的性质由BC=DC得到∠CBD=∠CDB=39°，再根据圆周角定理得
∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°；
（2）根据等腰三角形的性质由EC=BC得∠CEB=∠CBE，再利用三角形外角性质得
∠CEB=∠2+∠BAE，则∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，加上∠BAE=∠CBD，所以∠1=∠2．
解答：（1）解：∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；
（2）证明：∵EC=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
∵∠BAE=∠CBD，
19∴∠1=∠2．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条
弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．
23．（12分）（2015•台州）如图，在多边形ABCDE中，∠A=∠AED=∠D=90°，AB=5，AE=2，
ED=3，过点E作EF∥CB交AB于点F，FB=1，过AE上的点P作PQ∥AB交线段EF于点O，
交折线BCD于点Q，设AP=x，PO•OQ=y．
（1）①延长BC交ED于点M，则MD= 2 ，DC= 1 ；
②求y关于x的函数解析式；
（2）当a≤x≤ （a＞0）时，9a≤y≤6b，求a，b的值；
（3）当1≤y≤3时，请直接写出x的取值范围．
考点：四边形综合题．
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分析：（1）①根据两组对边平行得到四边形OFBQ，四边形EMBF是平行四边形，求出
EM=BF=1，得到DM=2，通过△DMC∽△AEF，列比例式求得CD=1；②根据
△EPO∽△EAF，列比例式即可求得y关于x的函数解析式；
（2）当a≤x≤ （a＞0）时，9a≤y≤6b，当x= 时，得到y=﹣2× +4=6b，求出b= ，当x=a
时，得到y=﹣2a+4=9a，求出a= ；
（3）根据1≤y≤3得到关于x的不等式1≤﹣2x+4≤3，解得即可．
解答：解：（1）①∵EF∥CB，PQ∥AB，
∴四边形OFBQ是平行四边形，
∴OQ=BF=1，
∵∠A=∠AED=90°，
∴DE∥AB，
∴四边形EMBF是平行四边形，
∴EM=BF=1，
∵DE=3，
20∴DM=2，
∵∠D=∠A=90°，∠DMC=∠B=∠EFA，
∴△DMC∽△AEF，
∴ ，
∵AF=AB﹣BF=4，
∴ ，
∴CD=1；
故答案为：2，1；
②∵PO•OQ=y，
∵OQ=1，
∴PO=y，
∵OP∥AF，
∴△EPO∽△EAF，
∴ ，
∵AP=x，∴PE=2﹣x，
∴ ，
∴y=﹣2x+4；
（2）当a≤x≤ （a＞0）时，9a≤y≤6b，
∴当x= 时，y=﹣2× +4=6b，
∴b= ，
当x=a时，y=﹣2a+4=9a，
∴a= ；
（3）当1≤y≤3时，
即1≤﹣2x+4≤3，
解得： ≤x≤ ．
21点评：本题考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解不等式组，求一次
函数的解析式，根据三角形相似列比例式求一次函数的解析式是解题的关键．
24．（14分）（2015•台州）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，
MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；
（2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，
连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；
（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使点C，D是
线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可）；
（4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，△AMC，△MND和
△NBE均为等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究
S
△AMF
，S
△BEN
和S四边形MNHC 的数量关系，并说明理由．
考点：相似形综合题．
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分析：（1）①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理
求出BN即可；
（2）先证出点M、N分别是AD、AE的中点，得出BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，求出
22EC2=BD2+DE2，得出NG2=FM2+MN2，即可得出结论；
（3）在AB上截取CE=CA；作AE点垂直平分线，截取CF=CA；作BF的垂直平分线，
交AB于D即可；
（4）先证明△DGH≌△NEH，得出DG=EN=b，MG=c﹣b，再证明△AGM∽△AEN，得出
比例式，得出c2=2ab﹣ac+bc，证出c2=a2+b2，得出a=b，证出△DGH≌△CAF，得出
S =S ，证出S =S +S ，即可得出结论．
△DGH △CAF △DMN △ACM △ENB
解答：（1）解：①当MN为最大线段时，
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN= = = ；
②当BN为最大线段时，
∵点M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN= = = ，
综上所述：BN= 或 ；
（2）证明：∵FG是△ABC的中位线，
∴FG∥BC，
∴ = = =1，
∴点M、N分别是AD、AE的中点，
∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，
∵点D、E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，
∴EC2=BD2+DE2，
∴（2NG）2=（2FM）2+（2MN）2，
∴NG2=FM2+MN2，
∴点M、N是线段FG的勾股分割点；
（3）解：作法：①在AB上截取CE=CA；
②作AE点垂直平分线，并截取CF=CA；
③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；
点D即为所求；如图所示：
（4）解：S四边形MNHG =S
△AMF
+S
△BEN
，理由如下：
设AM=a，BN=b，MN=c，
∵H是DN的中点，
∴DH=HN= c，
∵△MND、△BNE均为等边三角形，
∴∠D=∠DNE=60°，
23在△DGH和△NEH中，
，
∴△DGH≌△NEH（ASA），
∴DG=EN=b，
∴MG=c﹣b，
∵GM∥EN，
∴△AGM∽△AEN，
∴ ，
∴c2=2ab﹣ac+bc，
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，
∴c2=a2+b2，
∴（a﹣b）2=（b﹣a）c，
又∵b﹣a≠c，
∴a=b，
在△DGH和△CAF中，
，
∴△DGH≌△CAF（ASA），
∴S =S ，
△DGH △CAF
∵c2=a2+b2，
∴ c2= a2+ b2，
∴S =S +S ，
△DMN △ACM △ENB
∵S
△DMN
=S
△DGH
+S四边形MNHG ，S
△ACM
=S
△CAF
+S
△AMF
，
∴S四边形MNHG =S
△AMF
+S
△BEN
．
点评：本题是相似形综合题目，考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理、三角形中位线定
24理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形
和四边形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（4）中，需要两次证明
三角形全等和三角形相似才能得出结论．
25
