文档内容
2024 届高三一轮复习联考（四）全国卷
文科数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知复数z满足 ，则复数z在复平面内对应的点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．M C．N D．Q
3．已知双曲线 的离心率为e，一条渐近线的斜率为k，若 ，则双曲
线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
6．已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．1
7．将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移1个单
位长度，得到函数 的图象，则 的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．已知点 ， ，动点C在圆 上，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
10．已知正三棱柱 的六个顶点均在同一个半径为1的球面上，则正三棱柱 侧面
积的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．
11．已知点 ， ，点P为椭圆 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 在 上有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
学科网（北京）股份有限公司13．已知等比数列 的前n项和 满足 ， ，则 ______．
14．已知实数x，y满足约束条件 则目标函数 的最大值为______．
15．已知正数a，b满足 ，则 的最小值为______．
16．在 中，D为BC边上一点，满足 ， ，则 的面积为
______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60分．
17．（12分）设数列 的前n项和为 ，满足 ，且对任意正整数m，均有 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 求数列 的前20项和．
18．（12分） 的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足
．
（1）求角C；
（2）若 ，求c的值．
19．（12分）如图，在四棱锥 中，平面 平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，
， ， ， ．
（1）求证： ；
（2）若直线PD与BC所成的角为60°，求四棱锥 的体积．
学科网（北京）股份有限公司20．（12分）已知抛物线 ，垂直于x轴的直线l与圆 相切，且与C
交于不同的两点A，B， ．
（1）求p；
（2）已知 ，过P的直线与抛物线C交于M，N两点，过P作直线MQ，NQ的垂线，与直线MQ，
NQ分别交于S，T两点，求证： ．
21．（12分）已知函数 ， ．
（1）若函数 在R上单调递减，求a的取值范围；
（2）已知 ， ， ， ，求证： ；
（3）证明： ．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一
题计分．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
学科网（北京）股份有限公司在直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为
极轴建立极坐标系，点 ，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）写出曲线 的普通方程，曲线 的直角坐标方程；
（2）若A，B分别为曲线 ， 上的动点，当 取最小值时，求 的面积．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 恒成立，求a的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司2024 届高三一轮复习联考（四）全国卷
文科数学参考答案及评分意见
1．A 【解析】 ．故选A．
2．B 【解析】因为M： 的所有奇数倍构成的集合，N： 的所有整数倍构成的集合．故选B．
3．A 【解析】因为 ， ，所以 ，所以渐近线方程为 ．故
选A．
4．C 【解析】该几何体为如图所示的四棱柱 ，其高为1，底面为等腰梯形ABCD，该等
腰梯形的上底为 ，下底为 ，腰长为1，故梯形的高为 ，故该几何体表面积
．故选C．
5．D 【解析】因为 ， ，所以 ，
， ，所以 ．故选D．
6．C 【解析】因为 ，所以 ，故
学科网（北京）股份有限公司．故选C．
7．A 【解析】函数 的图象上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到 ，再
将所得图象向左平移1个单位长度，得到 ，故选A．
8．A 【解析】 ，所以 ， ， ．设 ，则
，令 ，得 ；令 ，得 ，所以 在 上单调
递增，在 上单调递减，所以 ，所以 ．故选A．
9．D 【解析】不妨设 ， ．因为 ， ，则 ，
， ．故选D．
10．B 【解析】解法一：设正三棱柱底面边长为a，高为h，则 ，即 ，三
棱柱的侧面积 ，所以 ，当
时等号成立，三棱柱的侧面积 最大值为 ．故选B．
解法二：设正三棱柱底面边长为a，高为h，则 ，因为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，当且仅当 ， 时等号成立，三棱柱的侧面积 最大值为 ，故选B．
11．B 【解析】因为 为椭圆的右焦点，设椭圆左焦点为F，则 ，由椭圆的定义得，
，所以P为射线FA与椭圆交点时， 取最小值，此
时 ．故选B．
12．B 【解析】因为函数 在 上有两个极值点，所以 在
上有两个变号零点， ， ， ．令
， ，令 ，得 ，令 ，得
， 在 上递增，在 上递减， ， ， ，
．故选B．
13． 【解析】由题知公比 ， ①， ②，
得 ， ，代入①得 ，所以 ．故答案为 ．
14． 【解析】由实数x，y满足约束条件 可得如图可行域，点 ， ， ，
由图可得目标函数 过可行域内的点 时取最大值，最大值为 ．故答案为 ．
学科网（北京）股份有限公司15． 【解析】 ， ， ，
，当且仅当 时等号成立．故答案为 ．
16． 【解析】由题意得 ， ，所以 ，所以
，所以 ．在 中，由余弦定理得 ，则
，所以 ，或 （舍），所以 面积 ．
故答案为 ．
17．解：（1）令 得， ，
因此 ，
故 ．
经检验， 时满足上式．
当m为不等于1的正整数时， 满足题设．
学科网（北京）股份有限公司所以 ．
（2）由题意得
．
18．解：（1）由题意，根据正弦定理得 ，
即 ，
由余弦定理得 ，
所以 ．
（2）由正弦定理 ，得 ，
即 ，
因为 ，所以 ．
19．（1）证明：∵平面 平面ABCD，平面 平面 ，
， 平面PAB，
平面ABCD．
又 平面ABCD， ．
（2）解：过点D作BC的平行线DE，交AB于点E，连接PE．
由 ，得 ，
由（1）的证明易知， 平面PAB．
又 平面PAB， ．
学科网（北京）股份有限公司又 ， ．
∵直线PD与BC所成角为60°， ， ．
由 ， ， ，
得 ， ，
∴梯形ABCD面积为 ．
又 平面ABCD， ，
∴四棱锥 的体积 ．
20．（1）解：由题意得l的方程为 ，又 ，不妨设 ，代入抛物线C，解得 ．
（2）证明：圆心 ．
①当直线MQ，NQ中有一条直线斜率不存在时，
不妨设直线MQ的斜率不存在，则 ，可得 ，此时直线NQ的斜率为0，
， ，
所以 ．
②当直线MQ，NQ的斜率均存在时，
设 ，显然 ．
由 得 ．
当 时，设 ， ，
学科网（北京）股份有限公司则有 ， ．
记直线MQ的斜率为 ，直线NQ的斜率为 ，则 ， ，
又M，N在抛物线上，所以
．
记P到直线MQ的距离为 ，到直线NQ的距离为 ，
则 ，同理 ，
所以 ，
即 ．
综上，原命题得证．
21．（1）解： 对 恒成立，即 对 恒成立．
因为 ，则 ．
（2）证明： ，只需证明 ．
令 ， ，
则 在 单调递减，又 ，则 成立，得证．
学科网（北京）股份有限公司（3）证明：法一：由（2）知 ，令 ，则有 ，
，…， ，
累加可得， ．
法二： ，
由 ，则 ，
则 ．
22．解：（1） ， ．
（2）当 最小时，A，B在两圆圆心的连线上，此时 值为两圆圆心距减去两圆半径，即
．
此时直线AB的直角坐标方程为 ，点P的直角坐标为 ，
点P到直线AB的距离为 ，
所以 的面积 ．
23．解：（1）当 时
由不等式 ，结合函数图象，解得 ．
即不等式 的解集为 ．
学科网（北京）股份有限公司（2）由题意 ，即 恒成立，
因为 ，故 ，
所以 或
解得 或 ．
所以a的取值范围是 ．
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