文档内容
年普通高等学校招生全国统一考试 模拟
２０２５ （ ）
数 学
２０２５．５
注意事项：
答卷前 考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上
１． ， 、 、 、 。
回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑
２． ， ， 。
如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡
， ， 。 ，
上 写在本试卷上无效
。 。
考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回
３． ， 。
一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项
８ ５ ４０
是符合题目要求的。
已知集合Ａ ｘ ｘ ｘ Ｂ 则Ａ Ｂ
１． ＝｛ ｜（ ＋１）（ －３）≤０｝， ＝｛０，１，２，３，４，５｝， ∩ ＝
Ａ． ｛０，１，２，３｝ Ｂ． ｛－１，０，１，２｝ Ｃ． ｛１，２，３｝ Ｄ． ｛０，１，２｝
ｚ ｚ
． 若复数ｚ ｚ 则 １＋ ２的虚部为
２ １＝ｉ， ２＝２－ｉ， ｚ ｚ
１ ２
４ ２ ２ ４
Ａ． － Ｂ． － Ｃ． Ｄ．
５ ５ ５ ５
． 已知实数ｘ ｙ满足 ｘ ｙ 则ｘ ｙ
３ ， ｌｏｇ２（ｌｏｇ３ ）＝ｌｏｇ３（ｌｏｇ２ ）＝ １， ＋ ＝
Ａ． １１ Ｂ． １２ Ｃ． １６ Ｄ． １７
已知{ａ }为正项等差数列 若 ａ ａ 则ａ ａ 的最大值为
４． ｎ ， ４ ３－ ７＝８， １ ３
Ａ． ４ Ｂ． ６ Ｃ． ８ Ｄ． １０
． 将函数ｆ ｘ ｘ φ φ π 的图象向左平移π个单位长度得到函数ｇ ｘ 的图象．
５ （ ）＝ｓｉｎ（２ ＋ ）（｜ ｜＜ ） （ ）
２ ３
若ｇ ｘ 的图象关于ｙ轴对称 则φ
（ ） ， ＝
π π π π
Ａ． － Ｂ． － Ｃ． Ｄ．
１２ ６ ３ ６
已知随机变量ξ Ｎ ２ 为使ξ在 １ １ 内的概率不小于 ． 若Ｘ Ｎ μ σ２
６． ～ （０，ａ）， （－ ， ） ０ ９５４５（ ～ （ ， ），
２ ２
则Ｐ Ｘ μ σ ． 则ａ的最小值为
（｜ － ｜＜２ ）＝ ０ ９５４５），
Ａ． ８ Ｂ． １６ Ｃ． ３２ Ｄ． ６４
． 已知 α β β α 若向量ｍ α β α β 与向量 ｎ λ 互相
７ ｓｉｎ ＝２ｃｏｓ ，ｓｉｎ ＝３ｃｏｓ ， ＝（ｔａｎ ＋ｔａｎ ，ｔａｎ（ ＋ ）） ＝（１， ）
垂直 则λ
， ＝
３２ ３２ ３
Ａ． － Ｂ． Ｃ． ５ Ｄ．
９ ９ ３
数学试题 第 页 共 页
１ （ ４ ）ｘ２ ｙ２
． 已知Ｆ Ｆ 分别为双曲线 Ｃ ａ ｂ 的左 右焦点 Ｐ 为 Ｃ 左支上一点 满
８ １， ２ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） 、 ， ，
足 Ｆ ＰＦ π ＰＦ 与Ｃ的右支交于点Ｑ 若 Ｆ ＱＦ ２π 则Ｃ的离心率为
∠ １ ２＝ ， ２ ， ∠ １ ２＝ ，
３ ３
Ａ． ３ Ｂ． ５ Ｃ． ６ Ｄ． ７
二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。 在每小题给出的四个选项中，有多项符
３ ６ １８
合题目要求。 全部选对的得 分，部分选对的得部分分，有选错的得 分。
６ ０
． 已知ａ ｂ ｃ 则下列不等式正确的是
９ ＞ ＞ ，
． １ １ ． ａｂ２ ｃｂ２ ． ａ ｂ ｃ ． ａ２ ｃ２ ｂ２
Ａ ａ ｃ＜ａ ｂ Ｂ ＞ Ｃ ＋ ＞ Ｄ ＋ ＞
－ －
． 设函数ｆ ｘ ｘ３ ｘ 则
１０ （ ）＝ －３ －２，
． ｆ ｘ 有 个零点
Ａ （ ） ３
． 过原点作曲线ｙ ｆ ｘ 的切线 有且仅有一条
Ｂ ＝ （ ） ，
． ｙ ｆ ｘ 与ｙ ａｘ 交点的横坐标之和为
Ｃ ＝ （ ） ＝ －２ ０
． ｆ ｘ 在区间 上的取值范围是
Ｄ （ ） （－２，２） ［－４，０）
． 三棱锥Ａ ＢＣＤ中 ＡＤ ＡＢ ＢＣ ＣＤ ＡＢ ＢＣ ＢＣ ＣＤ 则
１１ － ， ＝２ ３， ＝ ＝ ＝２， ⊥ ， ⊥ ，
． 三棱锥Ａ ＢＣＤ的体积为４
Ａ －
３
． 三棱锥Ａ ＢＣＤ外接球的表面积为
Ｂ － ３π
． 过ＢＣ中点Ｅ的平面截三棱锥Ａ ＢＣＤ外接球所得最小截面的半径为
Ｃ － １
． 当Ｐ ＡＣ Ｑ ＢＤ时 ＰＱ的最小值为２ ３
Ｄ ∈ ， ∈ ，
３
三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分。
３ ５ １５
． 若样本数据 ｘ ｘ ｘ 的均值为 则样本数据 ｘ ｘ ｘ 的均值
１２ １， ２，…， ｎ １０， ２ １－１，２ ２－１，…，２ ｎ－１
为 ．
ｘ２ ｙ２
． 已知Ｆ Ｆ 分别为椭圆Ｃ ａ ｂ 的左 右焦点 Ｃ的离心率为 ３ 过Ｆ 与Ｃ
１３ １， ２ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 、 ， ， ２
３
长轴垂直的直线交Ｃ 于 Ｐ Ｑ 两点 ＰＦ 交 ｙ 轴于 Ｍ 点 若 ＱＭ 则 ＰＱＦ 的
， ， １ ， ｜ ｜ ＝２ ３， △ １
周长为 ．
． 已知正整数ｎ 欧拉函数φ ｎ 表示 ｎ 中与ｎ 互质的整数的个数 例如 φ
１４ ， （ ） １，２，…， ， ， （４）＝ ２，
φ 且ａ ｂ互质时 φ ａｂ φ ａ φ ｂ ．若从 中随机取一个数 ｍ 则
（１０）＝ ４， ， ， （ ）＝ （ ） （ ） １，２，…，１０ ，
满足φ ｍ φ ｍ 的概率为 ．
（２ ）＝ （３ ）
数学试题 第 页 共 页
２ （ ４ ）四、解答题：本题共 小题，共 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
５ ７７
． 分
１５ （１３ ）
如图 在四棱锥Ｐ ＡＢＣＤ中 底面ＡＢＣＤ为矩形 ＡＤ ＡＢ ＰＡＤ 为等边三角形
， － ， ， ＝１， ＝２，△ ，
ＰＡ ＣＤ．
⊥ 1
证明 平面ＰＡＤ 平面ＡＢＣＤ
（１） ： ⊥ ；
求平面ＰＡＤ与平面ＰＢＣ夹角的余弦值．
（２） % $
" #
． 分
１６ （１５ ）
体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目 深受学生喜
，
爱 为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关 随机抽取了 名学生作为样本 统计得到
， ， １００ ，
如下的列联表
：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 ａ
４０
女生 ｂ
２５
合计
１００
已知从这 名学生样本中随机抽取 个 抽到喜爱足球运动的学生的概率为３ ．
１００ １ ，
５
求ａ ｂ
（１） ， ；
根据小概率值α ． 的独立性检验 判断学生喜爱足球运动是否与性别有关
（２） ＝０ ００１ ， ？
用样本分布的频率估计总体分布的概率 现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取
（３） ，
名 记其中男生的人数为Ｚ 求使事件 Ｚ ｋ 概率最大的ｋ的值．
３０ ， ， “ ＝ ”
附：χ ２
ｎ（ａｄ
－
ｂｃ）２
，
α
０
．
０１ ０
．
００５ ０
．
００１
＝（ａ ｂ）（ｃ ｄ）（ａ ｃ）（ｂ ｄ） ｘ ． ． ．
＋ ＋ ＋ ＋ α ６６３５ ７８７９ １０８２８
数学试题 第 页 共 页
３ （ ４ ）． 分
１７ （１５ ）
已知函数ｆ ｘ ａｘ２ ａ ｘ ｘ．
（ ）＝ －（ ＋２） ＋ｌｎ
当ａ 时 讨论ｆ ｘ 的单调性
（１） ＞０ ， （ ） ；
设函数ｇ ｘ ｆ ｘ ａｘ 已知ｇ ｘ 有两个极值点ｘ ｘ ．
（２） （ ）＝ （ ）＋ ， （ ） １， ２
求ａ的取值范围
（ｉ） ；
求证 ｇ ｘ ｇ ｘ ．
（ｉｉ） ： （ １）＋ （ ２）＜－３
． 分
１８ （１７ ）
对集合Ａ Ｂ 定义集合Ａ Ｂ {ｘ ｘ Ａ ｘ Ｂ或ｘ Ｂ ｘ Ａ} 记 Ｘ 为有限集合Ｘ的元
， ， △ ＝ ｜ ∈ ， ∉ ∈ ， ∉ ， ｜ ｜
素个数．
若Ａ Ｂ 求Ａ Ｂ
（１） ＝｛１，２｝， ＝｛２，３，４｝， △ ；
给定集合Ｓ 的子集Ｍ 求集合{Ｘ Ｘ Ｓ Ｘ Ｍ }的元素个数
（２） ＝｛１，２，３，４｝ ， ｜ ⊆ ，｜ △ ｜＝１ ；
设Ａ Ｂ Ｃ为有限集合 证明 Ａ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ ．
（３） ， ， ， ：｜ △ ｜≤｜ △ ｜＋｜ △ ｜
． 分
１９ （１７ ）
已知抛物线Ｃ ｘ２ ｐｙ ｐ 的焦点为Ｆ Ｐ为圆ｘ２ ｙ ２ 上的动点 ＰＦ 的最大
： ＝２ （ ＞０） ， ＋（ ＋３） ＝１ ，｜ ｜
值为９ ．
２
求Ｃ的方程
（１） ；
已知点Ｍ １ 按照如下方式构造点Ｍ ｎ 设直线 ｌ 为 Ｃ 在点
（２） １（１， ）， ｎ（ ＝１，２，３，４，…）， ｎ
２
Ｍ 处的切线 过点Ｍ 作ｌ 的垂线交Ｃ于另一点Ｍ 记Ｍ 的坐标为 ｘ ｙ ．
ｎ ， ｎ ｎ ｎ ＋１， ｎ （ ｎ， ｎ）
证明 当ｎ 时 Ｍ Ｆ ｎ
（ｉ） ： ≥１ ，｜ ｎ ｜≥２ －１；
ｎ
设 Ｍ ＦＭ 的面积为Ｓ 证明 １ ３．
（ｉｉ） △ ｎ ｎ ＋１ ｎ， ：ｋ∑
＝１
Ｓ２ｋ ＜
８
数学试题 第 页 共 页
４ （ ４ ）年普通高等学校招生全国统一考试 模拟
２０２５ （ ）
数学试题参考答案及评分标准
２０２５．５
说明：
一 本解答只给出一种解法供参考 如考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要考
、 ， ，
查内容参照评分标准酌情赋分
．
二 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的内容与难
、 ，
度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确答案应得分数的
， ，
一半 如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误 就不再给分
； ， ．
三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数
、 ， ．
四 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分
、 ， ．
一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是
８ ５ ４０ ．
符合题目要求的。
１．Ａ ２．Ａ ３．Ｄ ４．Ｃ ５．Ｂ ６．Ｃ ７．Ｃ ８．Ｄ
二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。 在每小题给出的四个选项中，有多项符
３ ６ １８
合题目要求。 全部选对的得 分，部分选对的得部分分，有选错的得 分。
６ ０
９．ＡＤ １０．ＢＣ １１．ＡＣＤ
三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分。
３ ５ １５
２
１２．１９ １３．１２ １４．
５
四、解答题：共 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
７７ ．
． 分
１５ （１３ ）
解 底面ＡＢＣＤ为矩形 ＣＤ ＡＤ 分
：（１）∵ ，∴ ⊥ ， ………………………………………… １
又 ＰＡ ＣＤ ＰＡ ＡＤ Ａ ＣＤ 平面ＰＡＤ 分
∵ ⊥ ， ∩ ＝ ，∴ ⊥ ， ……………………………………… ３
ＣＤ 平面ＡＢＣＤ 平面ＰＡＤ 平面ＡＢＣＤ 分
∵ ⊂ ，∴ ⊥ ； …………………………………… ５
取ＡＤ中点为Ｏ 连接ＯＰ [
（２） ， ， 1
ＰＡＤ为等边三角形 ＯＰ ＡＤ
∵ △ ，∴ ⊥ ，
平面ＰＡＤ 平面ＡＢＣＤ ＯＰ 平面ＡＢＣＤ 分
∵ ⊥ ，∴ ⊥ ；…… ６ %
$
取ＢＣ的中点Ｅ 如图 分别以 ＯＡ ＯＥ ＯＰ 为 ｘ ｙ ｚ 轴建
， ， ， ， ， ， 0 &
Z
立空间直角坐标系 "
， #
Y
则Ｂ １ Ｃ １ Ｐ ３ 分
（ ，２，０）， （－ ，２，０）， （０，０， ）， ……… ７
２ ２ ２
数学试题答案 第 页 共 页
１ （ ５ ）Ｂ→Ｃ Ｂ→Ｐ １ ３ 分
∴ ＝（－１，０，０）， ＝（－ ，－２， ）；……………………………………………… ８
２ ２
设平面ＰＢＣ的法向量为ｎ ｘ ｙ ｚ 公众号：天海题库
＝（ ， ， ），
ì ｘ
{ｎ Ｂ→Ｃ ï ï－ ＝０
则 · ＝０ 即í
ｎ Ｂ→Ｃ ， ïï １ｘ ｙ ３ｚ ，
· ＝０ î－ －２ ＋ ＝０
２ ２
取ｚ 则ｎ 分
＝４， ＝（０， ３，４）；…………………………………………………………… １０
又平面ＰＡＤ的法向量为ｍ 分
＝（０，１，０）， …………………………………………… １１
设平面ＰＡＤ与平面ＰＢＣ夹角为θ
，
ｍ ｎ
则 θ · ３ ５７
ｃｏｓ ＝ ｍ ｎ ＝ ＝ ，
｜ ｜｜ ｜ １９ １９
平面ＰＡＤ与平面ＰＢＣ夹角的余弦值为 ５７． 分
∴ ………………………………… １３
１９
． 分
１６ （１５ ）
解 因为从这 名学生样本中随机抽取 个 喜欢足球运动学生的概率为３
：（１） １００ １ ， ，
５
ｂ
则 ＋４０ ３ 解得ｂ 分
＝ ， ＝２０， …………………………………………………………… ２
１００ ５
又 ａ ｂ 解得ａ 所以ａ ｂ ． 分
４０＋ ＋２５＋ ＝１００， ＝１５， ＝１５， ＝２０ ……………………………… ４
由 得 列联表如下
（２） （１） ，２×２ ：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生
４０ １５ ５５
女生
２０ ２５ ４５
合计
６０ ４０ １００
分
……………………………………………………………………………………………… ６
令零假设为Ｈ 喜爱足球运动与性别无关
０： ，
由χ ２ ＝ １００×（４０×２５－２０×１５） ２ ≈８ ． ２４９＜１０ ． ８２８＝ ｘ ０ ． ００１，
６０×４０×５５×４５
根据小概率值α ． 的χ ２ 独立性检验 没有充分证据推断Ｈ 不成立
＝０ ００１ ， ０ ，
因此可以认为Ｈ 成立 即学生喜爱足球运动与性别无关． 分
０ ， ……………………… １０
由题意可得从喜爱足球运动的学生中随机抽取一人 其为男生的概率为２
（３） ， ，
３
故Ｚ Ｂ ２ 分
～ （３０， ）， …………………………………………………………………… １１
３
Ｐ Ｚ ｋ Ｃｋ ２ ｋ １ ３０－ ｋ 分
∴ （ ＝ ）＝ ３０（ ） （ ） ， …………………………………………………… １２
３ ３
数学试题答案 第 页 共 页
２ （ ５ ）{Ｐ Ｚ ｋ Ｐ Ｚ ｋ
令 （ ＝ ）≥ （ ＝ ＋１），
Ｐ Ｚ ｋ Ｐ Ｚ ｋ
（ ＝ ）≥ （ ＝ －１），
ì
ï Ｃｋ ２ ｋ １ ３０－ ｋ Ｃｋ ＋１ ２ ｋ ＋１ １ ２９－ ｋ
ïï ３０（ ） （ ） ≥ ３０ （ ） （ ） ，
即í ３ ３ ３ ３ 分
ï ……………………………………… １３
ïＣｋ ２ ｋ １ ３０－ ｋ Ｃｋ －１ ２ ｋ －１ １ ３１－ ｋ
î ３０（ ） （ ） ≥ ３０ （ ） （ ）
３ ３ ３ ３
解得５９ ｋ ６２ 分
≤ ≤ ， …………………………………………………………………… １４
３ ３
ｋ Ｚ ｋ
∵ ∈ ，∴ ＝２０，
当ｋ 时 Ｐ Ｚ ｋ 有最大值． 分
∴ ＝２０ ， （ ＝ ） ………………………………………………… １５
． 分
１７ （１５ ）
解 函数ｆ ｘ 的定义域为 ¥
：（１） （ ） （０，＋ ），
ａｘ２ ａ ｘ ｘ ａｘ
ｆ′ ｘ ａｘ ａ １ ２ －（ ＋２） ＋１ （２ －１）（ －１） 分
（ ）＝ ２ －（ ＋２）＋ｘ ＝ ｘ ＝ ｘ ，……………………… １
由ｆ′ ｘ 得ｘ １或ｘ １ 分
（ ）＝ ０， ＝ ＝ ａ， ……………………………………………………… ２
２
当 ａ 时 由ｆ′ ｘ 得 ｘ １或ｘ １ 由ｆ′ ｘ 得１ ｘ １ 分
０＜ ＜２ ， （ ）＞０， ０＜ ＜ ＞ａ； （ ）＜０， ＜ ＜ａ； ………… ３
２ ２
当ａ 时 ｆ′ ｘ ｆ ｘ 在 ¥ 上单调递增 分
＝２ ， （ ）＞０， （ ） （０，＋ ） ， ………………………………… ４
当ａ 时 由ｆ′ ｘ 得 ｘ １或ｘ １ 由ｆ′ ｘ 得１ ｘ １ 分
＞２ ， （ ）＞０， ０＜ ＜ａ ＞ ； （ ）＜０， ａ ＜ ＜ ； …………… ５
２ ２
综上所述
，
当 ａ 时 ｆ ｘ 的单调递增区间为 １ 或 １ ¥ 单调递减区间为 １ １
０＜ ＜２ ， （ ） （０， ） （ ａ，＋ ）， （ ，ａ）；
２ ２
当ａ 时 ｆ ｘ 的单调递增区间为 ¥
＝２ ， （ ） （０，＋ ）；
当ａ 时 则ｆ ｘ 的单调递增区间为 １ 或 １ ¥ 单调递减区间为 １ １ ．
＞２ ， （ ） （０，ａ） （ ，＋ ）， （ ａ， ）
２ ２
分
………………………………………………………………………………………… ６
ｇ ｘ ｆ ｘ ｘ ａｘ２ ｘ ｘ 其中ｘ
（２）（ｉ）∵ （ ）＝ （ ）－ ＝ －２ ＋ｌｎ ， ＞０，
ａｘ２ ｘ
则ｇ′ ｘ ａｘ １ ２ －２ ＋１ 分
（ ）＝ ２ －２＋ｘ ＝ ｘ ， ………………………………………………… ７
函数ｇ ｘ 有两个极值点ｘ ｘ 函数ｇ′ ｘ 在 ¥ 上有两个不等的实根ｘ ｘ
∵ （ ） １， ２， （ ） （０，＋ ） １， ２，
ìΔ ａ
ï
＝４－８ ＞０
ï
ïｘ ｘ １
则í １＋ ２＝ ａ ＞０ 解得 ａ １
ï ， ０＜ ＜ ，
２
ï
ïｘ ｘ １
î １ ２＝ ａ＞０
２
ａ的取值范围为 １ ． 分
∴ （０， ） …………………………………………………………… ９
２
数学试题答案 第 页 共 页
３ （ ５ ）ｇ ｘ ｇ ｘ ａｘ２ ｘ ｘ ａｘ２ ｘ ｘ
（ｉｉ） （ １）＋ （ ２）＝（ １－２ １＋ｌｎ １）＋（ ２－２ ２＋ｌｎ ２）
ａ ｘ ｘ ２ ａｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
＝ （ １＋ ２） －２ １ ２－２（ １＋ ２）＋ｌｎ（ １ ２）
ａ １ １ ２ ａ １ ａ 分
＝ （ａ２ －ａ）－ａ －ｌｎ２ ＝－１－ａ －ｌｎ２ ，…………………………… １１
令ｍ ａ １ ａ 其中 ａ １
（ ）＝ －１－ａ －ｌｎ２ ， ０＜ ＜ ，
２
则ｍ′ ａ １ １ 分
（ ）＝ ａ２ －ａ ＞０， ……………………………………………………………… １２
函数ｍ ａ 在 １ 上单调递增 分
∴ （ ） （０， ） ， ……………………………………………… １３
２
则ｍ ａ ｍ １ 分
（ ）＜ （ ）＝ －３， ……………………………………………………………… １４
２
故ｇ ｘ ｇ ｘ ． 分
（ １）＋ （ ２）＜－３ ……………………………………………………………… １５
． 分
１８ （１７ ）
解 Ａ Ｂ ． 分
：（１） △ ＝｛１，３，４｝ ……………………………………………………………… ４
对任意一个Ｓ的 元子集Ｔ有Ｘ Ｍ Ｔ 分
（２） １ △ ＝ ，……………………………………… ５
即Ｔ ｘ ｘ Ｘ ｘ Ｍ或ｘ Ｍ ｘ Ｘ ． 分
＝｛ ｜ ∈ ， ∉ ∈ ， ∉ ｝ ……………………………………………… ６
Ｘ ｘ ｘ Ｔ ｘ Ｍ或ｘ Ｍ ｘ Ｔ
∴ ＝｛ ｜ ∈ ， ∉ ∈ ， ∉ ｝，
即Ｘ Ｔ Ｍ 分
＝ △ ， ………………………………………………………………………… ８
每个Ｔ恰好唯一对应一个Ｘ属于该集合
∴ ，
故该集合的元素个数为Ｃ１ ． 分
４＝４ ……………………………………………………… １０
对任意元素ｘ Ａ Ｃ
（３） ∈ △ ，
ｘ恰属于集合Ａ Ｃ之一 不妨设ｘ Ａ且ｘ Ｃ． 分
∵ ， ， ∈ ∉ ………………………………… １１
若ｘ Ｂ 则ｘ Ｂ Ｃ 若ｘ Ｂ 则ｘ Ａ Ｂ． 分
∈ ， ∈ △ ； ∉ ， ∈ △ ……………………………………… １２
故ｘ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ ． 分
∈（ △ ）∪（ △ ） …………………………………………………………… １３
从而Ａ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ ． 分
△ ⊆（ △ ）∪（ △ ） …………………………………………………… １５
因此 Ａ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ 结论成立． 分
｜ △ ｜≤｜ △ ｜＋｜ △ ｜， ……………………………………… １７
． 分
１９ （１７ ）
ｐ
解 抛物线Ｃ的准线方程为ｙ
：（１） ＝－ ，
２
ｐ
由题意可知 所以 ９ 分
， ＋３＋１＝ ， ……………………………………………………… １
２ ２
解得ｐ 分
＝１， …………………………………………………………………………… ２
所以Ｃ的方程为ｘ２ ｙ 分
＝２ ； …………………………………………………………… ３
ｘ２ｎ
设Ｍ ｘ 因为ｙ′ ｘ
（２）（ｉ） ｎ（ ｎ， ）， ＝ ，
２
所以点Ｍ 处的切线斜率为ｘ 所以直线Ｍ Ｍ 斜率为 １ 分
ｎ ｎ， ｎ ｎ ＋１ －ｘ ， …………………… ４
ｎ
数学试题答案 第 页 共 页
４ （ ５ ）ｘ２ｎ
所以直线Ｍ Ｍ ｙ １ ｘ ｘ 分
ｎ ｎ ＋１： － ＝－ｘ （ － ｎ）， ……………………………………………… ５
２ ｎ
与ｘ２
＝２
ｙ联立可得
，
ｘ２
－
ｘ２ｎ
＝－ｘ
１
（
ｘ
－
ｘ
ｎ）＝
（
ｘ
－
ｘ
ｎ）（
ｘ
＋
ｘ
ｎ）
，………………………… ６
分
２ ２ ｎ ２
可得ｘ ２ ｘ 即Ｍ 的横坐标为 ２ ｘ 分
ｎ ＋１＝－ｘ － ｎ， ｎ ＋１ －ｘ － ｎ， …………………………………… ７
ｎ ｎ
ｘ２ｎ ｘ２ｎ
所以ｙ
ｎ ＋１＝
２
＋１
＝
２
１
（ｘ
４
２ｎ
＋
ｘ２ｎ＋４）＝
２
＋ｘ
２
２ｎ
＋２＝
ｙ
ｎ＋ｘ
２
２ｎ
＋２＞
ｙ
ｎ＋２， ……………………… ８
分
当ｎ 时 有ｙ ｙ ｙ ｙ ｙ ｙ ｙ ｙ ｎ １ ｎ ３
≥２ ， ｎ＝（ ｎ－ ｎ －１）＋（ ｎ －１－ ｎ －２）＋…＋（ ２－ １）＋ １＞２（ －１）＋ ＝２ － ，……
２ ２
分
………………………………………………………………………………………… ９
又由ｙ
１＝
１
，
故ｙ
ｎ≥２
ｎ
－
３
（
ｎ
∈
Ｎ∗
），
所以
｜
Ｍ
ｎ
Ｆ
｜＝
ｙ
ｎ＋
１
≥２
ｎ
－１； ……………… １０
分
２ ２ ２
ｘ２ｎ
易知直线Ｍ Ｍ ｙ １ ｘ ｘ
（ｉｉ） ｎ ｎ ＋１： － ＝－ｘ （ － ｎ），
２ ｎ
ｘ２ｎ
１
＋
Ｆ到直线Ｍ Ｍ 的距离为 ２ ２ 分
ｎ ｎ ＋１ ， …………………………………………… １１
２
１
１＋（ｘ ）
ｎ
２ ２
Ｍ Ｍ １ ｘ ｘ １ ２ ｘ 分
｜ ｎ ｎ ＋１｜＝ １＋（ｘ ） ｜ ｎ ＋１－ ｎ｜＝ １＋（ｘ ） ｜ｘ ＋２ ｎ｜， ………………………… １２
ｎ ｎ ｎ
所以Ｓ
ｎ＝
１
（
１
＋
ｘ２ｎ
）｜ｘ
２
＋２
ｘ
ｎ｜＝
（ ｘ２ｎ＋
ｘ
１） ２
≥
２｜ ｘ ｎ｜（
ｘ
ｘ２ｎ＋１）
＝
ｘ２ｎ＋１，…………………
１３
分
２ ２ ２ ｎ ２｜ ｎ｜ ２｜ ｎ｜
ｘ２ｎ
由
（１）
知ｙ
ｎ≥２
ｎ
－
３
（
ｎ
∈
Ｎ∗
），
即
≥２
ｎ
－
３
，
２ ２ ２
所以当ｎ
≥２
时
，
ｘ２ｎ＞４ ｎ
－３， ………………………………………………………… １４
分
所以当ｎ
≥２
时
，
Ｓ
ｎ＞
ｘ２ｎ＋１＞４ ｎ
－２＝２（２
ｎ
－１）， ……………………………………… １５
分
é ù
所以１ １ １ １ ê ê １ ú ú １ １ １ 分
Ｓ２ｎ ＜
４
×
（２
ｎ
－１）
２ ＜
４
ë
（２
ｎ
－１）（２
ｎ
－３）
û＝
８
（
２
ｎ
－３
－
２
ｎ
－１
），………………… １６
当ｎ 时 １ １ ３
＝１ ，Ｓ２ ＝ ＜ ，
４ ８
１
ｎ
当ｎ 时 １ １ １ １ １ １ １ １ １
≥２ ，ｋ∑
＝１
Ｓ２ｋ ＜
４
＋
８
（
１
－
３
＋
３
－
５
＋…＋
２
ｎ
－３
－
２
ｎ
－１
）
１ １ １ １ １ ３．
＝ ＋ （１－ ｎ ）＜ ＋ ＝
４ ８ ２ －１ ４ ８ ８
ｎ
所以 １ ３． 分
ｋ∑
＝１
Ｓ２ｋ ＜
８
………………………………………………………………………… １７
数学试题答案 第 页 共 页
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