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第五章 三角函数
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
一、选择题
1．（2019·全国课时练）函数 ， 是( )
A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为 的偶函数
C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数
【答案】A
【解析】设 则 故函数函数
， 是奇函数，由 故函数 ， 是最小正周期为 的
奇函数.故选A.
2．（2019·全国课时练）函数 （ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数 D．是非奇非偶函数
【答案】A
【解析】∵ ，∴ ,
∴ 是奇函数．
3．（2019·全国课时练习）在 内，不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出 的草图如下：因为 ，所以 ， ，即在 内，满足
的是 或 .可知不等式 的解集是 .故选C.
4．（2016·全国课时练习）函数 的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 图象易得函数单调递增区间为 ，
当 时，得 为 的一个单调递增区间．故选C.
5．（2019·全国课时练习）下列关系式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵ ， ，
由正弦函数的单调性得 ，即 .
6．（2019·全国高一课时练习）下列函数中，周期为 ，且在 上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由题意得，函数的周期为 ，只有C,D满足题意，对于函数
在 上为增函数，函数 在 上为减函数，故选D.
二、填空题
7．（2019·全国高一课时练）函数 的最小正周期是_____________.
【答案】
【解析】∵函数 的周期为 ，∴函数 的最小正周期 ，
8．（2019·全国高一课时练）如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点 中心对称，那么|φ|的
最小值为____________.
【答案】
【解析】∵函数y＝3cos（2x+ ）的图象关于点 中心对称，
∴ ，得 ，k∈Z，由此得 ．
9．（2012·全国高一课时练习）f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间 上的最大值是 ，则ω＝
________.
【答案】
【解析】函数f(x)的周期T＝ ，因此f(x)＝2sinωx在 上是增函数，∵0<ω<1，∴ 是 的子集，∴f(x)在 上是增函数，
∴ ＝ ，即2sin ＝ ，∴ ω＝ ，∴ω＝ ，故答案为 .
10．（2019·全国课时练）函数 在区间 上为增函数，则 的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为 在 上是增函数，在 上是减函数，所以只有 时满足
条件，故 ．
三、解答题
11．（2019全国高一课时练）已知函数f(x)＝ cos(2x－ )，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数f(x)在区间[－ ， ]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.
【答案】（1）π.，
（2）最大值为 ，此时 ；最小值为 ，此时 ．
【解析】 (1)f(x)的最小正周期T＝ ＝ ＝π.
当2kπ≤2x－ ≤2kπ＋π，即kπ＋ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z时，f(x)单调递减，
∴f(x)的单调递减区间是[kπ＋ ，kπ＋ ]，k∈Z.(2)∵x∈[－ ， ]，则2x－ ∈[－ ， ]，故cos(2x－ )∈[－ ，1]，
∴f(x) ＝ ，此时2x－ ＝0，即x＝ ；f(x) ＝－1，此时2x－ ＝ ，即x＝
max min
18．（2019·全国高一课时练）设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x
＝ .
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间；
(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
【答案】（1） ；（2） ；（3）图象见解析.
【解析】（I）∵ ，∴ ．∵ ，∴ ．
（II） ．由
得函数 的单调增区间为
（Ⅲ）由 知
00 1 0
故函数 在区间 上的图象如图所示．
