文档内容
2024 年呼和浩特市高三年级第二次质量数据监测
文科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前考生务必将自己的姓名、考生号、
座位号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，考试时间120分钟
2.回答第Ⅰ卷时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.答题Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1．已知集合 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 是虚数单位，复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中2个红球、1个白球、2个黑球，从袋中任取两球，两球颜
色为一白一黑的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．甲、乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，
两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（ ）
A．在这5天中，甲加工零件数的极差小于乙加工零件数的极差
B．在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同
C．在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数
D．在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差
5．函数 的部分图象大致如图所示，则 的解析式可能为（ ）A． B．
C． D．
6．已知向量 满足 ，且 ，则向量 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知正四棱雉 的所有棱长均相等， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成
角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 ，公差不为0的等差数列 的前 项和为 ．若 ，则
（ ）
A．1012 B．2024 C．3036 D．4048
10．已知函数 ，给出的下列四个选项中，正确的是（ ）A．函数 的最小正周期是
B．函数 在区间 上是减函数
C．函数 的图象关于点 对称
D．函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位，再向下平移1个单位得到
11．已知某圆台的母线长为 ，母线与轴所在直线的夹角是45°，且上、下底面的面积之比为1：4，则
该圆台外接球的表面积为（ ）
A．40π B．64π C．80π D．128π
12．已知函数 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22
题-第23题为选考题，考生根据需求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．写出一个周期为2的奇函数：______．
14．点 关于直线 的对称点在圆 内，则实数 的取值范围是
______．
15．对于各数位均不为0的四位数 ，若两位数 、 和 均为完全平方数(完全平方数是指可以写
成某个整数的平方的数)，则称 具有“S性质”，则具有“S性质”的四位数的个数为______．
16．已知椭圆 ，经过坐标原点的两条直线分别与椭圆 相交于 、 、 、 四个点，
若该两条直线的斜率分别为 、 ，且 ，则 的面积为______．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(一)必考题：共60分．
17．在 中，记角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ．
(1)求角 ；
(2)已知点 在 边上，且 ，求 的面积．
18．赛车是一项运动，起源距今已有超过百年的历史，第一场赛车比赛于 1887年4月20日在巴黎举行．
某俱乐部在大赛前准备从甲乙两名选手中选出一名参赛．甲乙两人分别进行为期七个月的强化训练．下表
记录了两人在强化训练期间每月的综合绩点分．其中甲的第七月的综合绩点分 忘了记录，但知道
( 、 分别表示甲、乙第 天的综合绩点分)．
第一月 第二月 第三月 第四月 第五月 第六月 第七月
序号 1 2 3 4 5 6 7
甲的综合绩点分 16 20 20 25 30 36
乙的综合绩点分 16 22 25 26 32 35 37
(1)求从1月至7月甲的综合绩点总分不少于乙的综合绩点总分的概率；
(2)根据甲这7月内前6月的综合绩点分，发现甲的综合绩点分 与序号 具有线性相关关系，请求出甲的
综合绩点分 关于序号 的线性回归方程，并估计甲的第7月综合绩点分 的值．
参考公式：回归方程 中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为
参考数据： ； ．
19．如图，已知 平面 ， ， 是等腰直角三角形，其中 ，且
．(1)设线段 中点为 ，证明： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离等于 ，如果存在，求 的长．
20．已知双曲线 与双曲线 的渐近线相同，且 经过点
的焦距为 ．
(1)分别求 和 的方程；
(2)如图，过点 的直线 (斜率大于0)与双曲线 和 的左、右两支依次相交于点 、 、 、 ，
证明： ．
21．对于函数 ，若实数 满足 ，则 称为 的不动点．已知函数
．
(1)当 时，求证： ；
(2)当 时，求函数 的不动点的个数；
(3)设 ，证明： ．
(二)选考题：共10分，请考生在第22．23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计
分．
22．在平面直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线，过点 的直线 的参数方程为： ( 为参数)，直线 与
曲线 分别交于 、 ．
(1)写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；
(2)若 、 、 成等比数列，求 的值．
23．已知函数 ．
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．高三二模文数 参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D B C A B B C D B C C
二、填空题
13． (答案不唯一) 14． 15．3 16．
17、(1)
， ，
(2)设
， 或4
当 时，此时三角形为正三角形，
当 时，此时三角形为直角三角形，
18、(1)因为 ，且 ，所以 的取值共有 种情况
、 分别表示小明、小红第 天成功次数，
又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，在
即 ，得
又 ，所以 ，且
所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时， 的取值共有 情况，所以这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为
(2)由题设可知
所以
所以 关于序号 的线性同旧方程为 ．
当 时， ，
估计小明第7天成功次数 的值为38．
19．(1)证明如下：取 的中点 ， 的中点 ，连结 、 、
则有 ，
因为 ，所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，则 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面
(2) ，在 中， ．因为 面 ，所以
因为 面 面 面
所以 ，
则 均为直角三角形．
在 中，
同理，
取 的中点 ，因为 ，所以 ，
而 ．
故
因为点 到面 的距离等于 ，
所以 ．
而 ，所以 ，解得 ．
所以在线段 上只存在唯一一点 ，当且仅当
20、(1)因为双曲线 焦距为 ，
所以 ，即双曲线 ，
因为双曲线 与双曲线 渐近线相同，
所以可设双曲线 为 ，又双曲线 过点 ，所以 ，即 ，
所以双曲线 为 ．
(2)设直线 的方程为 ，
由 ，可得 ，
由题意 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ， 与 ， 中点的横坐标为 ，
又 ， ， ， 在同一直线 上，所以 ， 与 ， 中点重合，可设为 ，如图，
故 ，
所以 ，即 ．
21、(1)
因为
在 上单调递增(2)当 时，
令 ，
则方程 的正实数解的个数就是函数 的不动点的个数．
令 ，则
当 时， 在 上是单调递增的；
当 时， 在 上是单调递减的；
所以，当 时， 取得最小值 ；
因为 ，所以，方程 有2个正实数解，
当 时，函数 有2个不动点
(3)由(1)知：
当 时， ，即： ．
令 ，则 ，即：
令 ，则 ，所以， ，
即：即 ，
22．(1)
(2)直线 的标准参数方程为： ( 为参数)
代入曲线 的直线坐标方程得：
由韦达定理得：
成等比数列
，即 ，解得：
23．(1)
①当 时，
②当 时，
③当 时，
综上所述：
(2)由题知 ，即 在 上恒成立
，即 ，即 在 上恒成立
