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⼀元函数微分学（数⼀数⼆）
1. （4分）（2022·自研题目）
.
设函数 可导，且对任意 ，都有 ，则
A. B.
对任意 ，有 对任意 ，有
C. D.
函数 单调增加 函数 单调增加
【答案】D
【解析】
【知识标签】函数单调性的判别*
【难度】
2. （4分）（2022·自研题目） 设函数 在 有⼆阶导数, 且 ,
则 .
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【知识标签】曲线的凹凸性与拐点*
【难度】
3. （4分）
设函数 ，若 没有极值点，但曲线 有拐点，则 取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
第1页共9页【知识标签】曲线的凹凸性与拐点*；函数的极值及其求法*
【难度】
4. （4分）（2022·自研题目） 函数 在 处的 2 次泰勒多项式为
, 则 .
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【知识标签】泰勒公式与⻨克劳林展开式*
【难度】
5. （4分）当a取下列哪个值（ ）时，函数 恰有两个不同的零点。
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】本题主要考查了函数零点的个数。
，
当 时， ， 单调增加；
当 时， ， 单调减少；
当 时， ， 单调增加；
⼜ ，
，
当 时， ， 在 内只有⼀个零点，且 ，所以恰好有两个零
点。
综上所述，本题正确答案是 B。
【知识标签】求⽅程根的个数*
【难度】
6. （4分）（2022·真题）（2022数⼆）设函数 在 处有 阶导数,则( ).
A. 在 的某邻域内单调增加时,
B. 当 时, 在 的某邻域内单调增加
C. 当 在 的某邻域内是凹函数时,
D. 当 时, 在 的某邻域内是凹函数
【答案】B
【解析】
第2页共9页【知识标签】曲线的凹凸性与拐点*
【难度】
7. （4分）（2022·自研题目）
设函数 在 处的右导数为
A. B.
右导数 左导数
C. D.
导数 右导数
【答案】D
【解析】
【知识标签】导数的定义*
【难度】
8. （4分）（2022·自研题目）
两曲线 与 在 处相切 则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【知识标签】平⾯曲线的切线和法线*
【难度】
第3页共9页9. （4分）设函数 可导 ，当⾃变量 在 处取得增量 时，相
应的函数增量 的线性主部为 0.1，则 （ ）。
A. -1 B. 0.1 C. 1 D. 0.5
【答案】D
【解析】本题主要考查了导数和微分的概念。
，所以得 ，即 。
综上所述，本题正确答案为D。
【知识标签】微分的定义*
【难度】
10. （4分）（2015·真题）
（2015数⼆）设函数
，若 在 处连续，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【知识标签】导数的定义*
【难度】
11. （4分）（2022·自研题目）已知 是由方程 确定 则
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
【答案】A
第4页共9页【解析】
【知识标签】隐函数求导*
【难度】
12. （0分）已知函数 当 ≥3时， = ( ).
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【知识标签】⾼阶导数*
【难度】
13. （4分）（2014·真题）
（2014数⼆）曲线 上对应于 的点处的曲率半径
是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
第5页共9页【知识标签】曲率圆与曲率半径*
【难度】
14. （4分）（2022·自研题目）
设 则
.
【答案】
【解析】
【知识标签】导数的计算*
【难度】
15. （4分）（2022·自研题目）
.
函数 的单调区间为
【答案】
【解析】
【知识标签】函数单调性的判别*
【难度】
16. （4分）（2022·自研题目）设
则
.
【答案】240
【解析】
【知识标签】泰勒公式与⻨克劳林展开式*
【难度】
第6页共9页17. （8分）（2013数三）设曲线 和 在点 处有公共切线，则
.
【答案】
【解析】
【知识标签】平⾯曲线的切线和法线*
【难度】
18. （8分）（2015·真题） （2015数⼀、三）（1）设函数 可导，利⽤导数定义证明
；
（2）设函数 均可导， ，写出 的
求导公式.
【答案】（1）证明⻅解析.
（2）
第7页共9页【解析】
【知识标签】导数的定义*
【难度】
19. （8分）（2022·自研题目） 若 在 上连续, 在 内可导 , 证明: 在
内⾄少存在⼀ 点 , 使得 .
【答案】⻅解析
【解析】
【知识标签】柯⻄中值定理*
【难度】
20. （8分） 求⽅程 不同实根的个数，其中 为参数。
【答案】令 则 是 内的奇函数，
且 。
当 ，即 时， 在区间 内单调减少，⽅程
只有⼀个实根
第8页共9页当 ，即 时，在区间 内， 单调增加；在区间 内，
单调减少。
所以 是 在 内的最⼤值，从⽽
⼜因为
所以由函数的零点定理，存在 ，使得 。
由 是奇函数及其单调性可知：当 时，⽅程 有且仅有3个不同的实根
。
【解析】本题主要考查了⽅程的根的问题。
【知识标签】函数单调性的判别*
【难度】
21. （8分）
设 ，证明不等式 .
【答案】设 ，
由拉格朗⽇中值定理知，⾄少存在⼀点 ，使得
，
根据 ，得 ，
从 可得 ，即 。
设 ，
，
当 时， 单调减少，
⼜因为有 ，因此 ，
即 ，
令 ，可得 ，
即 ，
综上所述， 。
【解析】本题主要考查了微分中值定理以及函数单调性的判别这两⽅⾯知识点的应⽤。
【知识标签】拉格朗⽇中值定理*；⽤导数证明不等式*
【难度】
第9页共9页
