文档内容
六盘水市 2025 届高三年级第二次诊断性监测
数学试题卷
（考试时长：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1，答题前，务必在答题卡上填写姓名和考号等相关信息并贴好条形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本
试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求）
1. 已知全集 ，则 （ ）
A. 2 B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用列举法表示集合 ，再利用补集、交集的定义求出 .
【详解】依题意， ，而 ，则 ，
所以 .
故选：D
2. 声强级 （单位： ）由公式 给出，其中I为声强（单位： ），若某人交谈时
的声强级为 ，则其声强约为（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用给定的公式代入计算即得.
【详解】由 ， ，得 ，所以 .
故选：C
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，逆用差角的正弦公式求出 ，再利用二倍角公式计算即得.
【详解】由 ，得 ，
则 ，即 ， ，解得 ，
所以 .
故选：C
4. 定义在 上的偶函数 在 上单调递增，且 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用 的奇偶性与单调性求得 的解集，从而利用充分必要条件的判定方法即可得解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为定义在 上的偶函数 在 上单调递增，
所以 在 上单调递减，
又 ，则 ，
故对于 ，有 或 ，
所以 或 ，
则“ ”推不出“ ”，而“ ”推得出“ ”，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 已知数列 的首项 ，且 ，则 （ ）
A. 810 B. 820 C. 830 D. 840
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用累加法、结合等差数列前 项和公式计算即得.
【详解】数列 中， ， ，
则 .
故选：B
6. 若 是两个相互垂直的单位向量， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】借助投影向量公式结合数量积公式与模长公式计算即可得.
【详解】
，
即 在 上的投影向量为 .
故选：C.
7. 已知函数 的零点分别为 ， ， ，则 （
）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】将问题转化为 与 、 、 的交点横坐标，结合指数函数与对数函数
的对称性计算可得.
【详解】由题设， ， ， ，
所以问题可转化为 与 、 、 的交点问题，函数图象如下：
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学科网（北京）股份有限公司因为 与 关于 对称，而 与 互相垂直，
所以 ， ，则 .
故选：A
8. 已知 三点，点P为 内切圆上一点，则点P到直线
的最小距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两点距离公式判断得 ，进而利用三角形等面积法求得 内切圆的半径，再利
用直线与圆相切的性质数形结合求得 内切圆的圆心，从而利用点线距离公式即可得解.
【详解】因为 ，
所以 ， ，
则 ，故 ，
所以 ，
设 内切圆的圆心为 ，半径为 ，
则 ，解得 ，
又由 可知 轴，故 ，则 ，
由 可知 轴，故 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 内切圆的圆心为 ，
则圆心到直线 的距离为 ，
所以点P到直线 的最小距离为 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用两点距离公式发现 是直角三角形，进而求得
内切圆的半径，从而得解.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】作差判断A；举例说明判断BD；利用不等式的性质判断C.
【详解】 ，
对于A， ，则 ，A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于B，取 ，满足 ，而 ，B错误；
对于C， ，因此 ，C正确；
对于D， ，取 ，满足 ，而 ，D错误.
故选：AC
10. 将函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，则（ ）
A. 为函数 图象的一条对称轴
B.
C. 函数 在 上单调递增
D. 函数 的图象与函数 的图象交点个数为5
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用三角函数平移的性质求得 ，进而利用三角函数的对称性判断 A，同时判断B，利用三
角函数的单调性与整体法判断C，利用三角函数与对数函数的图象，数形结合判断D，从而得解.
【详解】对于A，将函数 的图象向左平移 个单位，
可得到函数 的图象，
则 ，
所以 为函数 图象的一条对称轴，故A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于B， ，故B错误；
对于C，当 时， ，
而 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，故C正确；
对于D，对于 ，其周期为 ，最大值为 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，且 ，
因为 的定义域为(0,+∞)，且 ，
作出 与 在 上的大致图象，如图，
结合图象可知， 的与函数 的图象交点个数为5，故D正确.
故选：ACD.
11. 正方体 的棱长为1，平面 截此正方体，且正方体每条棱所在直线与平面 所成角
相等，则（ ）
A. 正方体每条棱与平面 所成角 余弦值为
的
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学科网（北京）股份有限公司B. 平面 截此正方体所得截面的最大面积为
C. 平面截此正方体所得截面可能为五边形
D. 过顶点A作直线l，使得l与直线 所成角相等，这样的直线l有4条
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正方体的结构特征，确定平面 的位置情况，求解判断AB；借助图形变换说明判断C；利
用空间向量线线角的求法求解判断D.
【详解】正方体12条棱，共3组平行的棱，由相互平行的直线与平面所成的角是相等的，
得平面 只需与共点的3条棱所成的角都相等即可，不妨取共点 的3条棱 ，
连接 ，在正方体 中，三棱锥 是正三棱锥，
侧棱 与平面 所成的角都相等，则平面 与平面 平行或重合，
对于A，令正 的中心为 ，连接 ，则 平面 ，
是棱 与平面 所成的角， ， ，A
正确；
对于B，连接 ，则 ，由 平面 ， 平面 ，
得 ，而 平面 ，则 平面 ，
是
又 平面 ，于 ，同理 ，而 平面 ，
因此 平面 ，即 ，同理 平面 ，令 平面 ，
当线段 与平面 的交点在线段 上（不含点 ），平面 与正方体的6个面都相交，
则平面 截此正方体所得截面为六边形，由正方体的对称性知，当平面 过该正方体的中心，
即线段 的中点时，所得截面面积最大，此截面为正六边形 ，边长 ，
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学科网（北京）股份有限公司因此平面 截此正方体所得截面的最大面积为 ，B正确；
对于C，当线段 与平面 的交点在线段 或 （不含点 ）上时，
平面 只与正方体共点 或 的3个面都相交，平面 截此正方体所得截面为三角形，
结合选项B，知平面 截此正方体所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形，C错误；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
由l与直线 所成角相等，知 不可能垂直于 ，设直线 的方向向量为 ，
而 ，则 ，
于是 ，即 ，
因此 或 或 或 ，直线l有4条，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：对于选项D，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解是解题的关键.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
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学科网（北京）股份有限公司12. 已知 ，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】计算出 后，借助复数模长公式计算即可得解.
【详解】 ，
则 .
故答案为： .
13. 甲、乙、丙、丁四位同学去三个不同的地方参加社会实践活动，要求每个地方至少有一名同学参与，
且每人只能去一个地方，则一共有_________种不同的分配方案（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】先分成三组，再对三组进行分配即可得.
【详解】先将四名同学分成 人、 人、 人三组，则有 种分法，
再将三组人随机分配至三个不同的地方有 种分法，
故共有 种不同分配方案.
故答案为： .
14. 已知函数 ，若 恒成立，则mn的最大值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】将不等式等价变形为 恒成立，构造函数 可得 ，再按
分类探讨，借助导数求出最小值可得 ，然后构造函数求出 最大值.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】函数 的定义域都为R，不等式 ，
依题意，对任意 ， 成立，令 ，求导得 ，
的
当 时， 恒成立，函数 在 上单调递增，函数 值域为R，不符合题意；
当 时， 的值域为 ，则 ， ；
当 时，由 ，得 ；由 ，得 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
因此 ， ，令函数 ，
求导得 ，当 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
则 ，当且仅当 时取等号，所以mn的最大值为 .
故答案为：
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式 的恒成立与有解问题的求解策略：
①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的
新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩
法，注意恒成立与存在性问题的区别．
四、解答题（共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
（1）当 时，求 外接圆的面积；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求 的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理的推论求得 ，进而求得 ，再利用正弦定理求得 外接圆的
半径，从而得解；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式并检验即可得解.
【小问1详解】
因为 ， ，则 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
设 外接圆的半径为 ，则 ，故 ，
所以 外接圆的面积为 .
【小问2详解】
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
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学科网（北京）股份有限公司此时 ，满足 ，即 为直角三角形，
所以 的最小值为 .
16. 如图甲，在梯形 中， ， 为AB中点．将 沿
DE折起到 位置，连接 ， ，得到如图乙所示的四棱锥 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）当二面角 为 时，求点 到平面 的距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证.
（2）由（1）结合二面角大小可得正 ，取 的中点 ，利用线面垂直的判定性质、面面
垂直的判定性质求出点 到平面 的距离即可.
【小问1详解】
在梯形 中， ，
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学科网（北京）股份有限公司则四边形 为平行四边形，而 ，
则 是矩形，即 ，
在四棱锥 中， ，
而 平面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
由（1）知， 是二面角 的平面角，
即 ，又 ，
则 是正三角形，取 的中点 ，连接 ， ，
则有 ，又 平面 ，
于是 平面 ，
而 ，则 平面 ，又 平面 ，则平面 平面 ，
在平面 内过 作 于 ，而平面 平面 ，
因此 平面 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
于是点 到平面 的距离等于 ，而 ，由（1）知， 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司而 ，则 ，
，
所以点 到平面 的距离为 .
17. 已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 ，求实数a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）求出函数 的导数，再按 分类求出单调区间.
（2）将不等式恒成立作等价变形，在 时分离参数，构造函数，利用导数求出最小值，再对 讨
论即可.
【小问1详解】
函数 的定义域为R，求导得 ，
当 时， 恒成立，函数 在R上单调递增；
当 时，由 ，得 ；由 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时，函数 的单调递增区间是 ；
当 时，函数 的单调递减区间是 ，递增区间是 .
【小问2详解】
不等式 ，
当 时，不等式 恒成立，即 ；
依题意，当 时， 恒成立，令 ，
求导得 ，令 ，
求导得 ，函数 在 上单调递增， ，
则当 时， ；当 时， ，函数 在 上递减，在 上递增，
，于是 ，
所以实数a的取值范围是 .
18. 已知双曲线 的虚轴长为 ，离心率为 ， 分别为 的左、右顶
点，直线 交 的左、右两支分别于 ， 两点．
（1）求 的方程；
（2）记 斜率分别为 ，若 ，求 的值．
【答案】（1） ；
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学科网（北京）股份有限公司（2） .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出 即可求得C的方程.
（2）设 ，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及斜率坐标公式及 建立
方程即可求出 值.
【小问1详解】
依题意， ，由双曲线 的离心率为 ，
得 ，即 ，
解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
【小问2详解】
由（1）知， ，设点 ， ，
由 消去 得 ，
由已知 ， ，
且 ，所以 ，
所以 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司而 ，
由 ，得 ，
即 ，
整理得 ，
即 ，则 ，
即 ，于是 ，
要 恒成立，则 ，解得 ，满足 ，
所以 .
【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线结合问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，
两根之积，再根据题目条件列出方程，或得到弦长或面积，本题中已经给出等量关系，只需代入化简整理
即可.
19. 中国凉都·六盘水，是全国唯一用气候特征命名的城市，其辖区内有牂牁江及乌蒙大草原等景区，每年
暑假都有大量游客来参观旅游．为了合理配置旅游资源，文旅部门对来牂牁江景区游览的游客进行了问卷
调查，据统计，其中 的人选择只游览牂牁江，另外 的人选择既游览牂牁江又游览乌蒙大草原．每位游
客若选择只游览群牁江，则记1分；若选择既游览牂阿江又游览乌蒙大草原，则记2分．假设游客之间的
旅游选择意愿相互独立，视频率为概率．
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学科网（北京）股份有限公司（1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
（2）从游客中随机抽取n个人 ，记这n个人的合计得分恰为 分的概率为 ，求
；
（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分 的概率为 ，随着抽取人数的无
限增加， 是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
【答案】（1）分布列见解析，
（2）
（3） 趋近于常数 .
【解析】
【分析】（1）根据题意得到变量 的可能取值为 ，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概
率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望.
（2）由这 人的合计得分为 分，得到 ，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.
（3）记“合计得 分”为事件 ，“合计得 分”为事件 ，得到 ，结合数列的递推
关系式，进而求得数列的通项公式，得到答案.
【小问1详解】
依题意，随机变量 的可能取值为 ，
则 ， ，
所以 的分布列如下表所示：
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学科网（北京）股份有限公司2 3 4
数学期望为 .
【小问2详解】
由这 人的合计得分为 分，得其中只有1人既游览牂阿江又游览乌蒙大草原，
于是 ，令数列 的前 项和为 ，
则 ，
于是 ，
两式相减得
，因此 ，
所以 .
【小问3详解】
在随机抽取的若干人的合计得分为 分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为 分或
分，
记“合计得 分”为事件 ，“合计得 分”为事件 ， 与 是对立事件，
则 ， ， ，即 ，
由 ，得 ，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
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学科网（北京）股份有限公司，因此 ，
随着 的无限增大， 无限趋近于0， 无限趋近于 ，
所以随着抽取人数的无限增加， 趋近于常数 .
【点睛】方法点睛：如果数列 是等差数列， 是等比数列，求数列 的前n项和时，可采用
错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列 的公比，然后作差求解．
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学科网（北京）股份有限公司
