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专题强化练(十八) 电磁感应中的动力学和能量问题
(40分钟 50分)
一、选择题
1.(6分)(多选)(2023·怀化模拟)如图,两根足够长且光滑平行的金属导轨 PP'、QQ'倾斜放置,匀
强磁场垂直于导轨平面,导轨的上端与水平放置的两金属板M、N相连,板间距离足够大,板间
有一带电微粒,金属棒ab水平跨放在导轨上,下滑过程中与导轨接触良好。现同时由静止释放
带电微粒和金属棒ab,则下列说法中正确的是 ( )
A.金属棒ab最终可能匀速下滑
B.金属棒ab一直加速下滑
C.金属棒ab下滑过程中M板电势高于N板电势
D.带电微粒不可能先向N板运动后向M板运动
2.(6分)两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内,导轨上垂直放置两根导体棒 a
和b,俯视图如图所示。在整个导轨平面内有竖直向上的匀强磁场,导体棒与导轨接触良好且
均可沿导轨无摩擦地滑行,若给a棒一初速度的同时释放 b棒,在一段时间内a棒动能的减小
量为E ,b棒动能的增加量为 E ,a棒克服磁场力做功为 W,a、b棒上产生总热量为 Q(不计a
ka kb a棒与b棒间相互作用),则( )
A.W=E +Q B.W=Q+E
a ka a kb
C.W=Q D.E =Q
a kb
3.(6分)(2024·吉安模拟)如图所示,同一竖直面内的正方形导线框a、b的边长均为l,电阻均为
R,质量分别为2m和m。它们分别系在一跨过两个定滑轮的轻绳两端,在两导线框之间有一宽
度为2l、磁感应强度大小为B、方向垂直竖直面的匀强磁场区域。开始时,线框b的上边与匀
强磁场的下边界重合,线框a的下边到匀强磁场的上边界的距离为 l。现将系统由静止释放,当
线框b全部进入磁场时,a、b两个线框开始做匀速运动。不计摩擦和空气阻力,则下列说法错
误的是 ( )
mgR
A.a、b两个线框匀速运动的速度大小为
B2l2
3B2l3
B.线框a从下边进入磁场到上边离开磁场所用时间为
mgR
C.从开始运动到线框a全部进入磁场的过程中,线框a所产生的焦耳热为mgl
D.从开始运动到线框a全部进入磁场的过程中,两线框共克服安培力做功为2mgl4.(6分)(多选)(2021·湖南选择考)两个完全相同的正方形匀质金属框,边长为L,通过长为L的绝
缘轻质杆相连,构成如图所示的组合体。距离组合体下底边 H处有一方向水平、垂直纸面向
里的匀强磁场。磁场区域上下边界水平,高度为L,左右宽度足够大。把该组合体在垂直磁场
的平面内以初速度v 水平无旋转抛出,设置合适的磁感应强度大小 B使其匀速通过磁场,不计
0
空气阻力。下列说法正确的是 ( )
A.B与v 无关,与√H成反比
0
B.通过磁场的过程中,金属框中电流的大小和方向保持不变
C.通过磁场的过程中,组合体克服安培力做功的功率与重力做功的功率相等
D.调节H、v 和B,只要组合体仍能匀速通过磁场,则其通过磁场的过程中产生的热量不变
0
二、计算题
5.(12分)(生产实践情境)如图所示为用于摩天大楼的磁动力电梯示意图。在竖直平面上有两
根很长的平行竖直轨道,轨道间有垂直轨道平面交替排列着方向相反的匀强磁场 B 和
1
B ,B =B =1.0 T,两磁场始终竖直向上做匀速运动。电梯轿厢固定在图示的金属框abcd内(电梯
2 1 2
轿厢在图中未画出),并且两者绝缘。已知电梯载人时的总质量 m=4.75×103 kg,所受阻力恒定为F=500 N,金属框cd边长度为L =2.0 m,两磁场的宽度均与金属框ad边长度相同,金属框整
f cd
个回路的电阻 R=9.0×10-4 Ω,g 取 10 m/s2。假如设计要求电梯匀速上升阶段的速度为 v =10
1
m/s。求:
(1)金属框在图示位置时感应电流的方向;
(2)电梯匀速上升时,金属框中感应电流的大小;
(3)磁场向上运动速度的大小v ;
0
(4)电梯由静止开始向上运动时的加速度大小。【加固训练】
(2023·西宁模拟)如图所示,水平放置的平行金属导轨,相距l=0.50 m,左端接一电阻R=0.20
Ω,磁感应强度B=0.40 T的匀强磁场方向垂直于导轨平面,导体棒ab垂直放在导轨上,并能无摩
擦地沿导轨滑动,导轨和导体棒的电阻均可忽略不计,当ab以v=4.0 m/s 的速度水平向右匀速
滑动时,求:
(1)ab棒中感应电动势的大小;
(2)回路中感应电流的大小和方向;
(3)维持ab棒做匀速运动的水平外力F的大小。6.(14分)(2023·滁州模拟)如图甲所示,两根光滑的平行导轨倾斜固定在水平面上方,所形成的斜
面倾角θ=37°,导轨电阻不计,下端连接阻值恒为R=1 Ω的小灯泡。两导轨之间有一段长为d=3
m的矩形区域存在垂直导轨斜向上的匀强磁场,该磁场的磁感应强度大小随时间的变化规律
如图乙所示。导体棒MN长度等于两平行导轨间距,质量m=0.1 kg,电阻r=0.8 Ω。t=0时刻导
体棒在两导轨上部某位置由静止释放,运动过程中始终与导轨垂直并接触良好,已知从导体棒
释放到它离开磁场区,通过灯泡的电流不变且恰好正常发光,重力加速度 g 取 10
m/s2,sin37°=0.6。
(1)求平行导轨的间距;(2)求电流通过小灯泡所做的功;
(3)如果从开始运动到某一瞬间导体棒产生的热量Q'=0.8 J,求该过程中通过导体棒的电荷量以
及导体棒在磁场中运动的距离。
【加固训练】
(2023·深圳模拟)某种超导磁悬浮列车(图甲)是利用超导体的抗磁作用使列车车体向上浮
起,同时通过周期性地变换磁极方向而获得推进动力。其推进原理可以简化为如图乙所示的
电磁驱动模型:在水平面上相距d=2 m的两根平行直导轨间,有竖直方向等距离分布、方向相
反的匀强磁场B 和B ,且B =B =1 T,每个磁场分布区间的长都是a,相间排列,所有这些磁场都
1 2 1 2
以速度 v =20 m/s 向右匀速平动。这时跨在两导轨间的长为 a、宽为 d=2 m 的金属框
0
MNQP(固定在列车底部、绝缘并悬浮在导轨正上方)在磁场力作用下也将会向右运动。设金
属框的总电阻为R=1 Ω,在题设条件下,假设金属框运动过程中所受到的阻力恒为f=80 N,求:(1)金属框刚启动瞬间金属框产生的电流大小I;
(2)当金属框向右运动的速度为v=5 m/s时,金属框中的安培力大小F;
(3)金属框能达到的最大速度v 及此后金属框中每秒钟产生的焦耳热Q。
m
解析版
一、选择题
1.(6分)(多选)(2023·怀化模拟)如图,两根足够长且光滑平行的金属导轨 PP'、QQ'倾斜放置,匀
强磁场垂直于导轨平面,导轨的上端与水平放置的两金属板M、N相连,板间距离足够大,板间有一带电微粒,金属棒ab水平跨放在导轨上,下滑过程中与导轨接触良好。现同时由静止释放
带电微粒和金属棒ab,则下列说法中正确的是 ( )
A.金属棒ab最终可能匀速下滑
B.金属棒ab一直加速下滑
C.金属棒ab下滑过程中M板电势高于N板电势
D.带电微粒不可能先向N板运动后向M板运动
【解析】选B、C。金属棒沿光滑导轨加速下滑,棒中有感应电动势而对电容器充电,充电电流
通过金属棒时受安培力作用,只有金属棒速度增大时才有充电电流,因此总有mgsinθ-BIl>0,金
属棒将一直加速,A错误,B正确;由右手定则可知,金属棒a端电势高于b端电势,则M板电势高
于N板电势,C正确;若微粒带负电,则其所受静电力方向向上,与重力反向,开始时静电力为0,微
粒向下加速运动,当静电力增大到大于重力时,微粒的加速度向上,即微粒先向下加速再向下减
速,当速度减为零后向上加速运动,D错误。
2.(6分)两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内,导轨上垂直放置两根导体棒 a
和b,俯视图如图所示。在整个导轨平面内有竖直向上的匀强磁场,导体棒与导轨接触良好且均可沿导轨无摩擦地滑行,若给a棒一初速度的同时释放 b棒,在一段时间内a棒动能的减小
量为E ,b棒动能的增加量为 E ,a棒克服磁场力做功为 W,a、b棒上产生总热量为 Q(不计a
ka kb a
棒与b棒间相互作用),则( )
A.W=E +Q B.W=Q+E
a ka a kb
C.W=Q D.E =Q
a kb
【解析】选B。设导体棒a的初动能为E 、末动能为E ,由题意可知导体棒 b的初动能为
ka1 ka2
0,设导体棒b的末动能为E ,对a、b棒组成的系统,由能量守恒定律可得E =E +E +Q,由
kb2 ka1 ka2 kb2
题意可知E =E -E ,E =E ,因此可得E =E +Q,由于导体棒与导轨间无摩擦,对导体棒a,根
ka ka1 ka2 kb kb2 ka kb
据动能定理可得W=E -E =E ,联合可得W=E +Q,故A、C、D错误,B正确。
a ka1 ka2 ka a kb
3.(6分)(2024·吉安模拟)如图所示,同一竖直面内的正方形导线框a、b的边长均为l,电阻均为
R,质量分别为2m和m。它们分别系在一跨过两个定滑轮的轻绳两端,在两导线框之间有一宽
度为2l、磁感应强度大小为B、方向垂直竖直面的匀强磁场区域。开始时,线框b的上边与匀
强磁场的下边界重合,线框a的下边到匀强磁场的上边界的距离为 l。现将系统由静止释放,当
线框b全部进入磁场时,a、b两个线框开始做匀速运动。不计摩擦和空气阻力,则下列说法错
误的是 ( )mgR
A.a、b两个线框匀速运动的速度大小为
B2l2
3B2l3
B.线框a从下边进入磁场到上边离开磁场所用时间为
mgR
C.从开始运动到线框a全部进入磁场的过程中,线框a所产生的焦耳热为mgl
D.从开始运动到线框a全部进入磁场的过程中,两线框共克服安培力做功为2mgl
【解析】选D。设两线框匀速运动的速度为 v,此时轻绳上的张力大小为T,则对a有T=2mg-
E mgR
BIl,对b有T=mg,又I= ,E=Blv,解得 v= ,故A正确;线框a从下边进入磁场后,线框a通过
R B2l2
3l 3B2l3
磁场时以速度v匀速运动,则线框a从下边进入磁场到上边离开磁场所用时间为 t= = ,
v mgR
故B正确;从开始运动到线框a全部进入磁场的过程中,线框a只在其匀速进入磁场的过程中
产生焦耳热,设为Q,由功能关系有2mgl-Tl=Q,得Q=mgl,故C正确。设两线框从开始运动至a
全部进入磁场的过程中,两线框共克服安培力做的功为W,此过程中左、右两线框分别向上、
1
向下运动 2l 的距离。对这一过程,由能量守恒定律有:4mgl=2mgl+ ·3mv2+W,得 W=2mgl-
2
3m3g2R2,故D错误。
2B4l4
4.(6分)(多选)(2021·湖南选择考)两个完全相同的正方形匀质金属框,边长为L,通过长为L的绝缘轻质杆相连,构成如图所示的组合体。距离组合体下底边 H处有一方向水平、垂直纸面向
里的匀强磁场。磁场区域上下边界水平,高度为L,左右宽度足够大。把该组合体在垂直磁场
的平面内以初速度v 水平无旋转抛出,设置合适的磁感应强度大小 B使其匀速通过磁场,不计
0
空气阻力。下列说法正确的是 ( )
A.B与v 无关,与√H成反比
0
B.通过磁场的过程中,金属框中电流的大小和方向保持不变
C.通过磁场的过程中,组合体克服安培力做功的功率与重力做功的功率相等
D.调节H、v 和B,只要组合体仍能匀速通过磁场,则其通过磁场的过程中产生的热量不变
0
【解析】选C、D。将组合体以初速度v 水平无旋转抛出后,组合体做平抛运动,之后进入磁场
0
做匀速运动,由于水平方向切割磁感线产生的感应电动势相互抵消,则有mg = F =
B2L2v
安 y
R
v = ,综合有B=√ mgR 1 ,则B与√ 1 成正比,A错误,当金属框刚进入磁场时金属
y √2gH ·
L2√2g √H √H
框的磁通量增加,此时感应电流的方向为逆时针方向,当金属框刚出磁场时金属框的磁通量减
少,此时感应电流的方向为顺时针方向,B错误,由于组合体进入磁场后做匀速运动,水平方向的感应电动势相互抵消,有mg = F = B2L2v ,则组合体克服安培力做功的功率等于重力做功
安 y
R
的功率,C正确,无论调节哪个物理量,只要组合体仍能匀速通过磁场,都有mg = F ,则安培力
安
做的功都为W=F 3L,则组合体通过磁场过程中产生的焦耳热不变,D正确。
安
二、计算题
5.(12分)(生产实践情境)如图所示为用于摩天大楼的磁动力电梯示意图。在竖直平面上有两
根很长的平行竖直轨道,轨道间有垂直轨道平面交替排列着方向相反的匀强磁场 B 和
1
B ,B =B =1.0 T,两磁场始终竖直向上做匀速运动。电梯轿厢固定在图示的金属框abcd内(电梯
2 1 2
轿厢在图中未画出),并且两者绝缘。已知电梯载人时的总质量 m=4.75×103 kg,所受阻力恒定
为F=500 N,金属框cd边长度为L =2.0 m,两磁场的宽度均与金属框ad边长度相同,金属框整
f cd
个回路的电阻 R=9.0×10-4 Ω,g 取 10 m/s2。假如设计要求电梯匀速上升阶段的速度为 v =10
1
m/s。求:
(1)金属框在图示位置时感应电流的方向;答案:(1)沿逆时针方向(或adcba)
【解析】(1)由楞次定律可知,题图所示时刻回路中感应电流沿逆时针方向或adcba。
(2)电梯匀速上升时,金属框中感应电流的大小;
答案: (2)1.2×104 A
【解析】(2)因金属框匀速运动,所以金属框受到的安培力等于重力与阻力之和,由平衡条件得
F =mg+F
安 f
设当电梯向上匀速运动时,金属框中感应电流大小为I,所受的安培力为F =2B IL
安 1 cd
由以上可得金属框中感应电流I=mg+F =4.75×103×10+500 A=1.2×104 A。
f
2B L 2×1.0×2.0
1 cd
(3)磁场向上运动速度的大小v ;
0
答案: (3)12.7 m/s
【解析】(3)金属框中感应电动势E=2B L (v -v )
1 cd 0 1
金属框中感应电流大小
E 2B L (v -v )
I= = 1 cd 0 1
R R
代入数据得
IR 1.2×104×9.0×10-4
v = +v = m/s+10 m/s=12.7 m/s。
0 2B L 1 2×1.0×2.0
1 cd
(4)电梯由静止开始向上运动时的加速度大小。
答案: (4)37.4 m/s2【解析】(4)电梯由静止开始运动,初速度为零,相对于磁场向下运动,所以金属框切割磁感线产
生的电动势为E'=2B L (v -0)=2×1.0×2.0×12.7 V=50.8 V
1 cd 0
E' 50.8
此时金属框中的电流I'= = A≈5.64×104 A
R 9.0×10-4
又F =2B I'L
安 1 cd
F -mg-F=ma
安 f
联立解得a=2B I'L -mg-F =2×1.0×5.64×104×2.0-4.75×103×10-500 m/s2
1 cd f
m 4.75×103
≈37.4 m/s2。
【加固训练】
(2023·西宁模拟)如图所示,水平放置的平行金属导轨,相距l=0.50 m,左端接一电阻R=0.20
Ω,磁感应强度B=0.40 T的匀强磁场方向垂直于导轨平面,导体棒ab垂直放在导轨上,并能无摩
擦地沿导轨滑动,导轨和导体棒的电阻均可忽略不计,当ab以v=4.0 m/s 的速度水平向右匀速
滑动时,求:
(1)ab棒中感应电动势的大小;
答案:(1)0.8 V
【解析】(1)根据法拉第电磁感应定律,ab棒中的感应电动势为E=Blv代入数据知E=0.40×0.50×4.0 V=0.80 V
(2)回路中感应电流的大小和方向;
答案: (2)4.0 A 从b到a
E
【解析】(2)感应电流大小为I=
R
0.80
即I= A=4.0 A
0.20
方向:从b 到a
(3)维持ab棒做匀速运动的水平外力F的大小。
答案: (3)0.8 N
【解析】(3)由于ab棒受安培力F=IlB
代入数据知:F=4.0×0.50×0.40 N=0.8 N
根据平衡条件知,水平外力F'=F=0.8 N
6.(14分)(2023·滁州模拟)如图甲所示,两根光滑的平行导轨倾斜固定在水平面上方,所形成的斜
面倾角θ=37°,导轨电阻不计,下端连接阻值恒为R=1 Ω的小灯泡。两导轨之间有一段长为d=3
m的矩形区域存在垂直导轨斜向上的匀强磁场,该磁场的磁感应强度大小随时间的变化规律
如图乙所示。导体棒MN长度等于两平行导轨间距,质量m=0.1 kg,电阻r=0.8 Ω。t=0时刻导
体棒在两导轨上部某位置由静止释放,运动过程中始终与导轨垂直并接触良好,已知从导体棒
释放到它离开磁场区,通过灯泡的电流不变且恰好正常发光,重力加速度 g 取 10m/s2,sin37°=0.6。
(1)求平行导轨的间距;
答案:(1)0.6 m
【解析】(1)由题意可知,导体棒MN在0~0.5 s 内做初速度为零的匀加速直线运动,根据牛顿
第二定律可得mgsinθ=ma
解得a=6 m/s2
导体棒MN刚进入磁场时的速度大小为v=at=6×0.5 m/s=3 m/s
导体棒 MN 进入磁场做匀速直线运动,磁感应强度保持 B=1 T 不变,根据受力平衡可得
E
mgsinθ=F ,又E=BLv,I= ,F =BIL
安 R+r 安
联立解得,导体棒MN的长度为
L=√mg(R+r)sinθ,解得L=0.6 m
B2v
即平行导轨的间距为0.6 m;
(2)求电流通过小灯泡所做的功;
答案: (2)1.5 JΔB 1.5-1
【解析】(2)在0~0.5 s内,回路产生的感生电动势为E = ·Ld= ×0.6×3 V=1.8 V
1 Δt 0.5
回路中的电流为
E 1.8
I =I =I= 1 = A=1 A
1 2 R+r 1+0.8
在0~0.5 s内,小灯泡电功为Q = Rt =12×1×0.5 J=0.5 J
1 I2 1
1
d 3
导体棒MN穿过磁场所用时间为t = = s=1 s,导体棒MN穿过磁场过程中,小灯泡的电功为
2
v 3
Q = Rt =12×1×1 J=1 J
2 I2 2
2
电流通过小灯泡所做的功Q=Q +Q =0.5 J+1.0 J=1.5 J;
1 2
(3)如果从开始运动到某一瞬间导体棒产生的热量Q'=0.8 J,求该过程中通过导体棒的电荷量以
及导体棒在磁场中运动的距离。
答案: (3)1 C 1.5 m
【解析】(3)导体棒进入磁场前导体棒内产生的热量Q' = rt =12×0.8×0.5 J=0.4 J
1 I2 1
1
导体棒产生的热量为Q'=0.8 J时在磁场内运动的时间设为t',则Q'-Q' = rt',解得t'=0.5 s
1 I2
2
该过程中通过导体棒的电荷量
q=I(t +t')=1×(0.5+0.5)C=1 C
1
导体棒在磁场中运动的距离
s=vt'=3×0.5 m=1.5 m。
【解题指南】解答本题应注意以下三点:
(1)0~0.5 s内做初速度为零的匀加速直线运动,根据牛顿第二定律及运动学公式求速度,导体棒MN进入磁场做匀速直线运动,列平衡方程求平行导轨的间距;
(2)用法拉第电磁感应定律求在0~0.5 s内,回路产生的感生电动势,结合闭合电路欧姆定律、焦
耳定律求电流通过小灯泡所做的功;
(3)由电流的定义式求电荷量,由运动学公式求距离。
【加固训练】
(2023·深圳模拟)某种超导磁悬浮列车(图甲)是利用超导体的抗磁作用使列车车体向上浮
起,同时通过周期性地变换磁极方向而获得推进动力。其推进原理可以简化为如图乙所示的
电磁驱动模型:在水平面上相距d=2 m的两根平行直导轨间,有竖直方向等距离分布、方向相
反的匀强磁场B 和B ,且B =B =1 T,每个磁场分布区间的长都是a,相间排列,所有这些磁场都
1 2 1 2
以速度 v =20 m/s 向右匀速平动。这时跨在两导轨间的长为 a、宽为 d=2 m 的金属框
0
MNQP(固定在列车底部、绝缘并悬浮在导轨正上方)在磁场力作用下也将会向右运动。设金
属框的总电阻为R=1 Ω,在题设条件下,假设金属框运动过程中所受到的阻力恒为f=80 N,求:
(1)金属框刚启动瞬间金属框产生的电流大小I;
答案:(1)80 A【解析】设B =B =B
1 2
E 80
(1)金属框中的电动势为E=2Bdv =2×1×2×20 V=80 V,故金属框中的电流为I= = A=80 A
0
R 1
(2)当金属框向右运动的速度为v=5 m/s时,金属框中的安培力大小F;
答案: (2)240 N
【解析】(2)当金属框向右运动的速度为v=5 m/s时(v
