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第 53 讲 单体或多体在电场中的运动之力、电综合问题
1．（2022•广东）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了 1923年的诺
贝尔奖。如图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d的足够大金属极板，上
极板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两
个质量均为m 、位于同一竖直线上的球形小油滴 A和B，在时间t内都匀速下落了距离h 。此
0 1
时给两极板加上电压U（上极板接正极），A继续以原速度下落，B经过一段时间后向上匀速运
动。B在匀速运动时间t内上升了距离h （h ≠h ），随后与A合并，形成一个球形新油滴，继
2 2 1
续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的空气阻力大小为f＝k 1v，其中k为比例系数，
m3
m为油滴质量，v为油滴运动速率。不计空气浮力，重力加速度为g。求：
（1）比例系数k；
（2）油滴A、B的带电量和电性；B上升距离h 电势能的变化量；
2
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
一.知识回顾
1.解题思路
2.用动力学的观点分析带电粒子的运动
(1)由于匀强电场中带电粒子所受静电力和重力都是恒力，这两个力的合力为一恒力。(2)类似于处理偏转问题，将复杂的运动分解为正交的简单直线运动，化繁为简。
(3)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需
要考虑，以及运动学公式里的物理量的正负号，即其矢量性。
3．用能量的观点来分析带电粒子的运动
(1)运用能量守恒定律分析，注意题中有哪些形式的能量出现。
(2)运用动能定理分析，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有功，判断是分阶段还是全
过程使用动能定理。
4.力电综合问题的处理方法
力电综合问题往往涉及共点力平衡、牛顿第二定律、平抛运动规律、动能定理、能
量守恒定律等知识点，考查的知识点多，综合分析能力的要求高，试题难度较大，解
答时要注意把握以下几点：
(1)处理这类问题，首先要进行受力分析以及各力做功情况分析，再根据题意选择
合适的规律列式求解。
(2)对于带电小球在重力场和电场叠加区域内的运动，可以利用运动的合成与分解
的方法，将小球的运动分解为水平和竖直两个方向上的分运动，再对两个分运动分别
运用牛顿运动定律和匀变速直线运动规律或动能定理解答。
(3)带电小球在重力场和电场叠加区域内运动时，若重力和静电力为恒力，可以将
重力和静电力合成为一个恒力，可以将这个复合场当作等效重力场，则 F 为等效重力
合
场中的“重力”，g′＝为等效重力场中的“等效重力加速度”，F 的方向等效为“重
合
力”的方向。当此恒力F 的方向与运动方向垂直时，其速度(或动能)取得极值，小球
合
在等效重力场中能够做竖直平面内的圆周运动的临界条件是恰好能够通过圆周轨道上
等效重力场的最高点。
二.例题精析
题型一：单一带电体在电场中的运动（引入等效重力概念）
例1．如图所示，一半径为R的绝缘圆形轨道竖直放置，圆轨道最低点与一条水平轨道相连，轨道
都是光滑的。轨道所在空间存在水平向右的匀强电场。从水平轨道上的A点由静止释放一质量
3
为m的带正电的小球，已知小球受到的电场力大小等于小球重力的 倍。为使小球刚好在圆轨
4
道内做圆周运动，则释放点A距圆轨道最低点B的距离s为（ ）7R 10R 13R 23R
A． B． C． D．
2 3 6 6
题型二：球杆连接体
例2．在动摩擦因数 ＝0.2的粗糙绝缘足够长的水平槽中，长为2L的绝缘轻质细杆两端各连接一
个质量均为m的带μ电小球A和B，如图为俯视图（槽两侧光滑）。A球的电荷量为+2q，B球的
电荷量为﹣3q（均可视为质点，也不考虑两者间相互作用的库仑力）。现让A球处于如图所示
的有界匀强电场区域MPQN内，已知虚线MP恰位于细杆的中垂线，MP和NQ的距离为3L，
1.2mg
匀强电场的场强大小为E= ，方向水平向右。释放带电系统，让A、B从静止开始运动
q
（忽略小球运动中所产生的磁场造成的影响，重力加速度为g）。求：
（1）小球B第一次到达电场边界MP所用的时间；
（2）小球A第一次离开电场边界NQ时的速度大小；
（3）带电系统运动过程中，B球电势能增加量的最大值。题型三：板块叠加模型+运动的合成与分解
例3．在足够长的粗糙绝缘板A上放一个质量为m、电荷量为+q的小滑块B．用手托起A置于方向
水平向左、场强大小为E的匀强电场中，此时A、B均能静止，如图所示，现将绝缘板A从图
中位置P垂直电场线移至位置Q，发现小滑块B相对于A发生了运动，为研究方便可以将绝缘
板A的运动简化成线匀加速接着匀减速到静止的过程，测量发现竖直方向加速的时间为0.8s，
0.3mg
减速的时间为0.2s，P、Q位置高度差为0.5m，已知匀强电场的场强E= ，A、B之间动
q
摩擦因数 ＝0.4，g＝10m/s2，求：
（1）绝缘μ板A加速和减速的加速度大小分别为多大？
（2）滑块B最后停在离出发点距离为多大处？
题型四：往复运动模型
例4．如图所示，四分之一光滑绝缘圆弧轨道AB与水平绝缘地面BC平滑连接，且O、A两点高度
相同，圆弧的半径R＝0.5m，水平地面上存在匀强电场，场强方向斜向上与地面成 ＝37°角，
场强大小E＝1×104V/m，从A点由静止释放一带负电的小金属块（可视为质点），θ质量 m＝
0.2kg，电量大小为q＝5×10﹣4C，小金属块与水平面间的动摩擦因数为 ＝0.2，最大静摩擦力等
于滑动摩擦力，g＝10m/s2（已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。求： μ
（1）金属块第一次到达B点（未进入电场）时对轨道的压力。
（2）金属块在水平面上滑行的总路程。三.举一反三，巩固练习
1. 如图所示，在绝缘的水平面上，一带正电的滑块以5m/s的速度从A点经时间t 到达
1
B点时的速度为3m/s，再经时间t 到达C点时的速度为0，平面上方的空间有水平向左的匀强
2
电场，下列说法正确的是（ ）
A．A、B间的距离与B、C间的距离之比为5：3
B．A、B间的距离与B、C间的距离之比为3：1
C．t 与t 之比为3：2
1 2
D．t 与t 之比为2：3
1 2
2. 如图所示，在光滑水平面上，有一绝缘长木板B静止在水平向右的匀强电场中，电场
强度大小为E，现把电荷量为+q的小物块A从B的左端由静止释放，经过一段时间后（A未从
B上掉落），A向右运动的位移大小为x ，B向右运动的位移大小为x ，已知A与B接触面间
1 2
的动摩擦因数为 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A、B的质量均为m，下列说法正确的是
（ ） μ
A．若qE≤2 mg，则x ＞x
1 2
B．若qE＞2μmg，则x ＝x
1 2
C．若qE＞2μmg，则该过程中因摩擦产生的热量Q＝ mg（x ﹣x ）
1 2
D．该过程中μ，A、B系统的电势能减小qEx ，机械能μ增加qEx
1 1
3. 如图所示，空间中存在与水平方向成 45°角斜向右上方的匀强电场，电场强度为 E，
√2mg
在电场中的P点有一个质量为m，电荷量为q的带正电的小球。已知电场强度E= ，其
q
中g为重力加速度，忽略空气阻力，下列对小球运动情况分析正确的是（ ）A．若小球从静止释放，小球将做曲线运动
B．若小球以某一速度竖直向下抛出，小球的动能一直增加
C．若小球以某一速度竖直向上抛出，小球电势能先减小后增大
D．若小球初速度方向与电场线方向相同，最终小球可能竖直向下做直线运动
4. 如图所示，质量为m的物块带电量为﹣q，开始时让它静止倾角 ＝53°的固定光滑绝
缘斜面顶端。若整个装置放在水平向右的匀强电场中，物块由静止释放到落α 地所经历的时间为
t ；若仅将匀强电场的方向改为水平向左，物块在相同的位置由静止释放到落地所经历的时间
1
mg
为t ，已知匀强电场的电场强度E= ，cos53°＝0.6，sin53°＝0.8，则t 与t 的比值（ ）
2 1 2
q
A．5：1 B．5：2 C．4：3 D．5：4
5. 如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为 m、电荷为+q的小球，系在
一根长为L的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，
mg
CD为竖直直径，已知重力加速度为g，电场强度E= ，不计空气阻力，下列说法正确的是
q
（ ）
A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度v=√2gLB．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到A点时的机械能最小
C．若将小球在A点由静止开始释放，则小球运动到B点时的速度为v=√2gL
D．若将小球在A点以大小为v=√gL的速度竖直向上抛出，它将沿圆周到达B点
6. 空间存在与水平方向成30°角斜向右上的匀强电场，场强E＝1×109V/m，质量为m＝
2kg的带电量为q＝2×10﹣8C的正电小球，套在光滑绝缘且长度未知的轻杆上，轻杆的一端固
定在过O点转轴上，重力加速度g＝10m/s2。O点距倾角为60°的挡板L＝0.6m，小球由O点静
止释放，则关于小球沿杆到达挡板的最短时间及此情形下的杆长应为（ ）
√3 9√3
A．t ＝0.2s，l= m B．t ＝0.3s，l= m
min min
10 40
2√3 5√3
C．t ＝0.4s，l= m D．t ＝0.5s，l= m
min min
5 8
7. 固定的足够长斜面顶端有一个质量为m、电荷量为q的带正电荷的小球，以速度v 平
0
mg
抛。整个装置处在竖直向下的匀强电场之中，场强大小 E= ，小球从抛出到落到斜面的时
2q
间为t ，重力做功为W ，电势能减少量为E ，落到斜面上时的动能为E ；若将电场方向改
1 G1 p1 k1
为竖直向上，其他条件不变，小球从抛出到落到斜面的时间为t ，重力做功为W ，电势能增
2 G2
加量为E ，落到斜面上时的动能为E ，则下列关系式不正确的是（ ）
p2 k2
A．t ：t ＝1：3 B．E ：E ＝1：1
1 2 k1 k2
C．W ：W ＝1：1 D．E ：E ＝1：3
G1 G2 p1 p2
8. 如图所示，六面体真空盒置于水平面上，它的ABCD面与EFGH面为金属板，其他面
为绝缘材料。ABCD面带正电，EFGH面带负电。从ABCD平面的一小孔P从左向右沿水平方向以相同速度射入三个质量相同的带正电液滴A、B、C，最后分别落在BCGF面上的1、2、3
三点。则下列说法正确的是（ ）
A．三个液滴在真空盒中都做平抛运动
B．三个液滴在真空盒中都做匀变速运动
C．三个液滴的运动时间不一定相同
D．三个液滴落到底板时的速率相同
9. 如图所示，在一带电竖直平行金属板之间，有一质量为 m，带电荷量为+q的小球被
绝缘细线悬挂静止于A点，剪断细线后，小球恰能沿直线AB运动，经时间t后到达B点，已
知直线AB与水平方向的夹角为45°，重力加速度为g，规定A点的电势为零，下列说法正确的
是（ ）
√2mg
A．电场强度大小为E=
q
mg2t2
B．B点的电势 =
B
2q
φ
mg2t2
C．B点的电势能E =
D
2q
mg2t2
D．小球机械能的变化量为
2
10.
在与x轴平行的匀强电场中，一电荷量为q＝+1.0×10﹣7C、质量为m＝2.5×10﹣3kg的
物体在绝缘水平面上沿着x轴正方向从A点以初速度v ＝1.6m/s做直线运动，经时间t＝4s物
0
体的速度刚好为0。已知物体与水平面的动摩擦因数为 ＝0.01，重力加速度取g＝10m/s2；
μ（1）求匀强电场的场强大小；
（2）若取A点的电势为零，则从A点出发经t ＝2s时物体的电势能为多少？
1
11. 一绝缘“ ”形杆由两段相互平行的足够长的水平直杆PQ、MN和一半径为R的光滑
半圆环MAP组成，⊂固定在竖直平面内，其中MN杆是光滑的，PQ杆是粗糙的。现将一质量为
1
m的带正电荷的小环套在MN杆上，小环所受的电场力为重力的 ，重力加速度为g，不计小
2
环的电量损失。
（1）若将小环由D点静止释放，则刚好能到达P点，求DM间的距离x；
（2）若将小环由M点右侧5R处静止释放，求小环运动过程中对轨道的最大压力F ；
N
（3）若将小环由M点右侧5R处静止释放，设小环与PQ杆间的动摩擦因数为 ，小环所受最大
静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，求小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功μ。
