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原理 21 循环小数
好，同学们，上课。
同学们看这个你们熟悉吗？哎，没错，这是我们每天都会
遇到的交通红绿灯，那你们仔细观察过红绿灯到底是如何变
化的呢？哎，那我们继续看视频，好，视频已经播放完了，那
哪一位同学能来说一说我们的交通红绿灯到底是如何变化
的？好，你来说，噢，这位同学说是按照一定的规律来变化的
那你能来具体的描述一下这个规律吗，他说按照红灯、绿灯、
黄灯、红灯、绿灯、黄灯…这样的一个顺序呀依次不断重复出
现的，哎，概括得非常准确，观察的也很细致，那这种依次不
断重复出现的现象实际上呢就是循环现象。那你还能说一说
生活中还有什么循环现象吗？想一想，还有什么循环现象？
好，你来说，噢，他说太阳东升西落，每天都从东方升起西方
落下会这样重复出现，它是循环现象，还有吗？好，你来说，
噢，你说白天和黑夜总在交替不断地重复出现，它也是循环
现象，看来呀，同学们对生活观察的非常仔细，也很善于思考
那循环现象不仅在我们的生活中有很多，在我们的数学中也
有循环现象，那你想了解在数学中的循环码？好，这节课呀
就让我们一起带着好奇心走进今天循环小数。
好，首先呢请同学们看这样一个情景，没错，运动会上王
鹏正在参加 400 米的赛跑，那同学们根据这样一个情景能提
出什么数学问题呢？好，你来说，噢，他说想知道王鹏平均每秒跑多米，那该如何列式呀？400 除以 75，我们来看，整数除
以整数，哎，没错，大家都不陌生，而且呀我相信同学们都会
进行计算，那找一位同学到台前来好不好，好，你最勇敢，你
来，好，我们看，这位同学好像遇到了一些困难，你们也是吗？
噢，我们一起来看一看到底有什么问题呀，这位同学请先回，
我们来看，哎，大家发现了什么？好像商是…这个数好像除
不尽呢，这个商是无限的，对不对，它一直在重复出现，为什
么，我们仔细观察一下，看一看，哎，没错，在每一步相除的计
算过程中，余数总是 25，我们会商 3，又余 25 再继续商 3,25
商 3，这样的除法过程一直在重复出现，我们的商呀无穷无尽，
没错，那这个到时候，我们这个小数它既然无穷无尽又该怎
么表示呢？哎，有同学说了，在后边加上省略号表示商一直
没有尽头，没错，我们可以在后面点上三个小圆点，5.333…
它表示呀这个 3 一直在出现，商是无穷无尽的，那这样无穷
无尽的小数只有这一个吗？还有没有其他的呢？让我们再
计算两道题来看一看，请同学们仔细看老师出的题，28 除以
18,78.6 除以 11，好同学们动笔算一算吧，嗯，大家已经算算
完了，一起说一说我们的结果，28 除以 18 等于多少？哦，等
于 1.555…哎，5 一直不断的重复出现，我们可以用后边点上
三个小圆点表示它一直在重复出现，无穷无尽，那第二个呢，
等于 7.1454545…哎，45 一直在重复出现无穷无尽，我们也
点上三个小圆点，好了，我们计算完了，那同学们来看一看，我们得到的这三个小数，5.333…,1.555…还有 7.1454545…
他们三个之间有什么相同点又有什么不同点呢？请同学们
仔细观察，我们请前后四人为一小组来总结概括说一说到底
有什么相同点和不同点，好，大家开始讨论吧，嗯，讨论得很
热烈，哎，有的小组啊已经停下来了，大家都讨论结束了吗？
好，哪一个小组想派代表来分享你们的发现？好，这个小组
的代表你来说，哦，你们发现了一个相同点，什么相同点呀，
哦，你说这些小数他们的小数部分位数是无尽的，小数部分
位数是无穷无尽的大家同意吗?哎，非常好，那还有哪个小组
想补充，好，你来说，哦他们小组呀发现了一个不同点，什么
不同点，哦，你说这三个小数中重复出现的数字和重复出现
的数字的个数是不一样的，那我们来具体看一下，第一个小
数 5,333…它的重复出现的数字是几呀，哦，是 3，那能来说
一说他是从第几位开始重复出现的吗，是从小数部分的第一
位开始重复出现 3 这一个数字，那我们再看这个，7.14545…
他是从第几位开时出现的呢？从小数部分的第二位开始出
现，4、5 这两个数不断重复，哎，没错，我们就可以说从这个
小数部分的某一位起，一个数或几个数在重复出现，好，这也
是一个不同点，还有同学补充吗？好，你来说，哦，这位同学
说呀，这些重复的数他们之间是有一定的规律的，是在依次
出现，比如说 454545，总是这样顺序，非常好，那同学们，其
实呀我们刚才观察的这三个小数他们就是循环小数，而同学们所说的相同点和不同点呢就是循环小数的特点，那现在同
学们能试着结合你们刚才的发现对循环小数做一个准确的
定义吗，谁想来说一说，组织一下语言，好，你来说，哦这位同
学说了，当一个小数的小数部分从他的某一位起一个数或几
个数在依次不断的重复出现，这样的小数呀就叫做循环小数，
同学们说他说的准不准确，哎，概括的非常到位，我们来写一
下这个定义，好，那我们知道了什么是循环小数，那我们来看
一看在循环小数中，在依次不断循环出现的这部分数字他就
是这个循环小数的循环节，那我们来看第一个小数，5.333…
循环出现的数字是 3，所以他的循环节是 3，那我们再看这个
小数，在他的小数部分循环出现的小数是 4545，所以他的循
环节就是 45，没错，那知道了什么是循环节我们就可以学习
一个简便的方法来表示我们的循环小数，我们可以只写循环
小数的第一个循环节，并且呢在循环节的首位和末位点上小
圆点表示这个循环节一直在重复出现，哎，比如说 5.333…我
们就可以写成 5.3，3 上面点上小圆点，这个就表示 5.3 这个
循环小数，然后 1.555…谁来说，哦，1.5 在 5 上点上小圆点，
那这个呢，哦，7.145 在 45 上点上小圆点，那老师再给大家举
一个例子，6.2978978…哎，这个循环节是谁呀，是 978，那我
们怎么写，哦，在 978 这个循环节的首位和末尾数上点上小
圆点，同学们，你们学会了吗，哎，看来同学们掌握的非常快，
那现在请同学们在思考一个问题，当我们计算除法的时候，当我们的商不是整数那么可能有什么样的情况呢？来，讨论
一下同桌之间，来计算几个题，试着说一说你们的答案，好，
你来说，哦，这位同学说当商不是整数的时候那么可能有两
种情况，第一种情况是所得的小数它的小数位数是有限的，
而第二种情况是所得的商是小数而小数的位数是无限的，非
常好，那这种小数位数是有限的小数我们叫做有限小数，而
小数位数是无限的小数呢我们叫做无限小数，那同学们思考
一下我们的循环小数属于哪一类，没错，他属于无限小数，看
来大家对我们的知识已经能够熟练的应用了。
时间过得很快，马上又要下课了，这节课你都收获了什么
呢？哦，知道了什么是循环小数还有循环节，会写循环小数，
哦，也知道了有限小数和无限小数，同学们的收获真的是非
常多，那好，马上就要下课了，希望同学们下课能够巩固练习
老师给大家出了几道题，题目不多但是呀都值得大家动脑思
考，下节课我们来交流答案，好，下课。
