文档内容
人教版初中数学八年级下册
19.2.9 一次函数与二元一次方程组 教学设计
一、教学目标：
1.理解一次函数与二元一次方程(组)的关系;
2.掌握二元一次方程组的解与函数图象的交点坐标的关系.
二、教学重、难点：
重点：探索一次函数与二元一次方程(组)的关系.
难点：综合运用方程(组)和函数的知识解实际问题.
三、教学过程：
问题引入
1.x+y=5 它表示什么呢？
它表示一个二元一次方程.
2.y=-x+5 它表示什么呢？
它既可表示一个二元一次方程，又可表示一个一次函数.
知识精讲
对于二元一次方程2x-y=3可以将其写成一次函数__________的形式.
1.画出一次函数y=2x-3的图象；
2.找出方程的几组解；
3.把以这几组解为坐标的点在坐标系上描出来，你发现了什么？
4.在一次函数y=2x-3的图象上点的坐标都是二元一次方程2x-y=3的解吗？【归纳】一般地，因为每个含有未知数 x和y的二元一次方程，都可以改写为 y=kx+b(k，b
是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线. 这
条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解.
方程组
思考：1.在同一直角坐标系中，分别作出一次函数 y=-x+5和y=2x-1的图象，这两个图象有
交点吗？
{x+y=5¿¿¿¿
2.直线y=-x+5和y=2x-1的交点坐标与方程组 的解有什么关系？
{x+y=5¿¿¿¿ {x=2¿¿¿¿
解方程组 得
【归纳】由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个
一次函数，于是也对应两条直线. 从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为
何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程
组，相当于确定两条相应直线交点的坐标. 因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方
程组的解.
典例解析例1.1号探测气球从海拔 5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔
15m处出发，以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1h.
(1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔 y(单位:m)关于上升时间x(单位:min)的函数关
系；
(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
解：(1)气球上升时间x满足0≤x≤60.
对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5.
对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15.
(2)在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于 x的某个值(0≤x≤60)，函数 y=x+5和
{y=x+5¿¿¿¿ {x= 20 ¿¿¿¿
y=0.5x+15有相同的值y.由此可得 解得
这就是说，当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度.
在同一直角坐标系中，画出一次函数 y=x+5和y=0.5x+15的图象.两条直线交点坐标为
(20，25)，这也说明当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度.
【针对练习】某公司要印制宣传材料，甲、乙两个印刷厂可选择，甲印刷厂只收取印制费，
乙印刷厂收费包括印制费和制版费．
(1)甲印刷厂每份宣传材料的印制费是______元；
(2)求乙印刷厂收费y（元）关于印制数量x（份）的函数表达式，并说明一次项系数，常数
项的实际意义；
(3)当两个印刷厂的花费一样多时，求此时的印制数量．解：(1)由图可得，甲印刷厂每份宣传材料的印制费为：1000÷400=2.5(元)
(2)设乙印刷厂收费y（元）关于印制数量x（份）的函数表达式为y=kx+b，
由图可得(0,1500)，(400,1900)在图象上，代入，得
{ b=1500 { k=1
，解得：
400k+b=1900 b=1500
∴y=x+1500，
一次项系数1代表每份宣传材料的印制费为1元，常数项1500代表制版费为1500元．
(3)由（1）知甲印刷厂每份宣传材料的印制费
是2.5元，
∴甲印刷厂收费y（元）关于印制数量x（份）的函
数表达式为y=2.5x，
{y=x+1500
联立两函数解析式得
y=2.5x
{x=1000
解得 ，
y=2500
∴两函数图象交点坐标为(1000,2500)，
当两个印刷厂的花费一样多时，求此时的印制数量为1000份.
例2.如图，直线y=-x+1与直线y=2x-5分别交y轴于点A和点B，且两直线相交于点P．
(1)求交点P的坐标；
(2)若点Q在x轴上，且满足S =S ，求点Q的坐标．
△ABQ △ABP{y=-x+1
解:(1)解方程组
y=2x-5
{ x=2
解得： ，
y=-1
∴点P的坐标为：(2,-1)．
（2）把x=0代入y=-x+1得：y=1，
把x=0代入y=x-5得：y=-5，
∴点A的坐标为：(0,1)，点B的坐标为：(0,-5)，
∴AB=1-(-5)=6，
设点Q(m,0)，
∵S =S ，
△ABQ △ABP
1 1
∴ ×6×|m|= ×6×2，
2 2
解得：m=±2，
∴点Q的坐标为(2,0)或(-2,0)．
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.把二元一次方程3y-2x=12化为y=kx+b的形式为( )
2 2 2 2
A.y=- x+4 B. y= x-4 C.y= x+4 D.y=- x-4
3 3 3 3
2.如图所示的图象中，以方程2x-y+2=0的解为坐标的点所组成的图象是( ){x=-10
3.一次函数y=3x+6与y=2x-4的图象交于点(-10，-24)，则 是下列哪个方程组的解(
y=-24
)
{y-3x=6 {3x+ y+6=10 {y-3x=6 {3x- y=6
A. B. C. D.
2x+ y=4 2x- y-4=0 2x- y=4 2x- y=4
4.在同一平面直角坐标系中，若一次函数y=-x+3与y=3x-5的图象交于点M，则点M的坐标
为( )
A. (-1，4) B. (-1，2) C. (2，-1) D. (2，1)
5.若直线y=-x+a与直线y=x+b的交点坐标为(2，8)，则a-b的值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
{x-2y=4
6.用图象法解方程组 时，下列选项中的图象正确的是( )
2x+ y=4
7.直线l : y=k x+b与直线l : y=k x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 x、y
1 1 2 2
的方程组{y=k1x+b
的解为________.
y=k2x8.根据图象信息填空:
{y=ax+b
(1)方程组 的解是_________；
y=mx+n
(2)不等式ax+b
