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24.1.2 垂直于弦的直径 分层作业
基础训练
1．如图, 是⊙ 的直径,弦 ⊥ 于点 , ,则 ( )
A． B． C． D．
【详解】解：∵弦 于点E， cm，
∴ cm．
在 中， cm，
∴ ．
故选：C．
2．如图，⊙O的半径为4，弦心距OC＝2，则弦AB的长为（ ）
A．3 B． C．6 D．
【详解】如图所示，连接
由题意知，弦心距OC＝2，
则根据垂径定理，有
在 中，则
根据垂径定理可知，
故选D．
3．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OM的最大值为5，
∵OM⊥AB于M，
∴AM=BM，
∵AB=6，
∴AM=3，
在Rt△AOM中， ；
此时OM最短，
所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．
故选：B．4．如图， 的直径 与弦 交于点E， ，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵ 是 的直径与弦 交于点 ， ，
根据垂径定理及其推论可得，点B为劣弧 的中点，点 为优弧 的中点，
∴ ， ，
但不能证明 ，故 选项说法错误，符合题意；
故选：B．
5．如图，以 为直径的 中，弦 于点M，若 ．则 的长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
【详解】解：∵AB⊥CD，CD为直径，AB＝24，
∴BM＝AM＝12，OD= ，
在Rt△OAM中，OA＝OD＝13，AM＝12，由勾股定理得：OM＝5，
即MD＝OD−OM＝13−5＝8，
故选：C
6．如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，
则AD的长为（ ）A． B． C． D．
【详解】解：如图，过C作CM⊥AB，交AB于点M，
由垂径定理可得M为AD的中点，
∵ ，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴ ．
在Rt△ACM中，根据勾股定理得： ，
∴
（舍去负值）．
∴ ．
故选C．
7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的
工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆，如图2，已知圆心 在水面上方，且
被水面截得的弦 长为6米， 半径长为4米．若点 为运行轨道的最低点，则点 到弦 所在
直线的距离是（ ）A．1米 B． 米 C．2米 D． 米
【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为 的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD= AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD= = = ，
∴CD=OC﹣OD=4﹣ ，
即点 到弦 所在直线的距离是（4﹣ ）米，
故选：B．
8．圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水
平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为 的圆，如图所示，若水面宽 ，求水的最大深
度．【详解】解：如图，作 于点 ，连接 ，
∵ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理，得 ，
∴ ，
∴水的最大深度为0.8m．
9．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度 为 ，拱高 为 ，当洪水泛滥到跨度只有 时，就
要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有 ，即 时，试通过计算说明是否需要采取紧
急措施.
【详解】设圆弧所在圆的圆心为 ，连结 ， ，如图所示
设半径为 则
由垂径定理可知 ，
∵ ，∴ ，且
在 中，由勾股定理可得即 ，解得
∴
在 中，由勾股定理可得
∴
∴不需要采取紧急措施.
能力提升
1．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A． B．4 C． D．5
【详解】解：连接 ，过点 作 于点 ，如图所示，
则 ， ，
∵PA＝4，PB＝6，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，在 中， ，
故选：D
2． 半径为5，弦 ， ， ，则 与 间的距离为（ ）
A．1 B．7 C．1或7 D．3或4
【详解】解：过 点作 ， 为垂足，交 与 ，连 ， ，如图，
，
，
， ，
而 ， ，
， ，
在 中， ， ；
在 中， ， ；
当圆 点在 、 之间， 与 之间的距离 ；
当圆 点不在 、 之间， 与 之间的距离 ；
所以 与 之间的距离为7或1．
故选：C．
3．如图， ， 是 的两条平行弦，且 ， ， ， 之间的距离为5，则 的直径
是（ ）A． B． C．8 D．10
详解】解：作 于 ，延长 交 于 ，连接 ， ，设 ，
∵ 、 是两条平行弦
∴
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
直径长是 ，
故选：B．
4．如图，正三角形 内接于 ，已知 半径为2，那么 的边长为（ ）A．2 B． C． D．3
【详解】解：过O作 于D，连接 ，则 ，
∵正三角形 内接于 ，
∴ ，
在 中， ，则 ，
∴ ，
∴ ，
即 的边长为 ，
故选：B．
5． 的直径 ，AB是 的弦， ，垂足为M， ，则AC的长为 ．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①如图，当点 在线段 上时，连接 ，的直径 ，
，
，
，
，
，
；
②如图，当点 在线段 上时，连接 ，
同理可得： ，
，
；
综上， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
6．如图，在以O为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为6和4，大圆的弦 交小圆于点
C，D．若 ，则 的长为 ．【详解】解：如图，过点O作 垂足为点 ，连接 ， ，
，
，
根据勾股定理列方程可得， ，
， ，
，
解得 ，
，
故答案为： ．
7．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是
“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y
轴截得的弦CD的长为 ．【详解】当x=0时，y=（x﹣1）2﹣4=﹣3，
∴点D的坐标为（0，﹣3），
∴OD=3；
当y=0时，有（x﹣1）2﹣4=0，
解得：x=﹣1，x=3，
1 2
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，3），
∴AB=4，OA=1，OB=3．
连接CM，则CM= AB=2，OM=1，如图所示．
在Rt△COM中，CO= = ，
∴CD=CO+OD=3+ ．
故答案为3+ ．
8．“五一”节期间，小明和同学一起到游乐场游玩．如图为某游乐场大型摩天轮的示意图，其半径是
20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m．小明乘坐的车厢经过点B时开始计时．(1)计时4分钟后小明离地面的高度是多少？
(2)在旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中？
【详解】（1）解：设4分钟后小明到达点 ，过点 作 于点 ， 即为小明离地的高度，
∵
∴
(m)．
答：计时4分钟后小明离地面的高度是11m；
（2）解：∵当旋转到 处时，作弦 交 的延长线于点 ，连接 ，此时 离地面高度
为 ．
当 时，
，
∵每分钟旋转的角度为： ，
∴由点 旋转到 所用的时间为： （分钟）．
答：在旋转一周的过程中，小明将有8分钟的时间连续保持在离地面31m以上的空中．
拔高拓展1．根据素材解决问题．
设计货船通过圆形拱桥的方案
图1种有一座圆拱石桥，图
2是其圆形桥拱的示意图，
素材1
测得水面宽 ，拱
顶离水面的距离 ．
如图3，一艘货船露出水面
部分的横截面为矩形
EFGH，测得 ，
．因水深足够，
货船可以根据需要运载货
素材2
物．据调查，船身下降的高
度y（米）与货船增加的载
重量x（吨）满足函数关系
式 ．
问题解决
任务1 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径
根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多
任务2 拟定设计方案 还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货
物才能通过？
【详解】解：任务1
记圆心为点O，则点O在 延长线上，连接 （如图1）
设桥拱的半径为 ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，即圆形拱桥的半径为10米．
任务2
当 是 的弦时，记 与 的交点为M（如图2），
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，
为了能顺利通过，船在水面部分至少需要下降的高度 米．
∵ ，
∴ 吨，
∴至少需要增加 吨的货物．
