圆锥曲线的方程（十一）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案）_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_专项复习_2025高考总复习专项复习-圆锥曲线的方程讲义（含答案）（完结）

2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十一 知识点一 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的定值问题 典例1、已知椭圆 ： ， ，点 在椭圆 上． （1）求椭圆 的方程； （2）若过点 且不与 轴垂直的直线 与椭圆 交于 ， 两点， ，证明 ， 斜率之 积为定值． 随堂练习：已知椭圆 经过点 ，离心率为 ，过点 的直线l与椭圆C 交于不同的两点M，N. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线AM和直线AN的斜率分别为 和 ，求证： 为定值典例2、已知椭圆 的焦距为 ，且过点 （1）求椭圆的方程；（2）若点 是椭圆的上顶点，点 在以 为直径的圆上，延长 交椭圆于点 ， 的最大值. 随堂练习：如图，点P为抛物线 与椭圆 在第一象限的交点，过抛物线焦点F且 斜率不为0的直线l与抛物线交于A，B两点，连接 交椭圆E于点C，连接 交椭圆E于点D， 记直线 的斜率分别为 ． （1）求点P的坐标并确定当 为常数时 的值；（2）求 取最大值时直线l的方程．典例3、已知椭圆 ，过点 ． （1）求C的方程； （2）若不过点 的直线l与C交于M，N两点，且满足 ，试探究：l是否过 定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 随堂练习：已知 为椭圆 上一点，上、下顶点分别为 、 ，右顶点为 ， 且 . （1）求椭圆 的方程； （2）点 为椭圆 上异于顶点的一动点，直线 与 交于点 ，直线 交 轴于点 .求证：直线过定点. 知识点二 过圆上一点的圆的切线方程,根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆中的最值问题 典例4、已知椭圆 的左右焦点分别为 ．过点 的直线 与椭圆 交 于 两点，过点 作 的垂线交椭圆 于 两点， 的周长为 ． （1）求椭圆 的方程；（2）求 的取值范围．随堂练习：已知椭圆 经过两点 ， . （1）求椭圆 的标准方程； （2）过椭圆的右焦点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，且直线 与以线段 为直径的圆交于另一点 （异于点 ），求 的最大值. 典例5、已知椭圆 的离心率为 ，左顶点为 . （1）求椭圆的方程； （2）设直线 与椭圆在第一象限的交点为 ，过点A的直线 与椭圆交于点 ，若 ， 且 （ 为原点），求 的值.随堂练习：已知椭圆 的焦距为 ，且过点 . （1）求椭圆 的方程； （2）设过椭圆顶点 ，斜率为 的直线交椭圆于另一点 ，交 轴于点 ，且 、 、 成等比数列，求 的值. 典例6、已知椭圆 ： 的左､右焦点分别为 ､ ，焦距为2，点 在椭圆 上. （1）求椭圆 的方程； （2）若点 是椭圆 上一点， 为 轴上一点， ，设直线 与椭圆 交于 ，两点，若直线 ， 关于直线 对称，求直线 的斜率. 随堂练习：已知椭圆 ： 经过点 且离心率为 ， ， 是椭圆 的两个焦 点． （1）求椭圆 的方程； （2）设 是椭圆 上一点，直线 与椭圆 交于另一点 ，点 满足： 轴且 ， 求证： 是定值．2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十一答案 典例1、答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）由题意得 ，故椭圆 为 ， 又点 在 上，所以 ，得 ， ， 故椭圆 的方程即为 ； （2）由已知直线 过 ，设 的方程为 ， 联立两个方程得 ，消去 得： ， 得 ， 设 ， ，则 ， （*）， 因为 ，故 ， 将（*）代入上式，可得： ， ∴直线 与 斜率之积为定值 ． 随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析解：（1）由题意椭圆 经过点 ，离心率为 ， 可得 ，解得 ， 故椭圆C的方程为 （2）由题意可知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为 ， 由 ，可得 ， 由于直线l与椭圆C交于不同的两点M，N， 则 ，解得 ， 设 ,则 ， ， 故 ， 即 为定值. 典例2、答案：（1） ；（2） .解：（1）根据题意，椭圆 的焦距为 ，且过点 ， 可知 ， ，则 ， ， ， 所以椭圆的方程为 ； （2）可得 ， ，则 ，则以 为直径的圆，圆心为 ，半径为 ， 以 为直径的圆方程为 ， 即： ， 点 ，由于延长 交椭圆于点 ，则点 在直线 上， 可知直线 的斜率 存在，且 ， 则设直线 的方程为 ，设 ， 联立直线和圆的方程 ，得 ， 解得： ， 可得 ， 联立直线和椭圆的方程 ，得 ， 解得： ， 可得 ， 则 ， 可知 ，设上式为 ， 即有 ， ， ，即为 ， 解得： ， 则 的最大值为 . 随堂练习：答案： （1） ， （2）解：（1）由 得 ． 设直线l的方程为 ． 由 得 ，由韦达定理得 ． 又 ，同理可得 ， 则 所以当 时， 为常数． （2）由（1）知， ． 设直线 的方程分别为 ． 由 得 ， 由韦达定理得 ，解得 ， 代入直线 的方程得 ，同理可得 ． 又由（1）知， ，得 ． 所以 ． 所以 ，令 ，则 ，当且仅当 时，等号成立， 此时直线l的方程为 ． 典例3、答案： （1） （2）直线过定点 解：（1）由题意， ，解得 ， 所以椭圆C的标准方程为 ． 因为 ，两边平方，化简整理得， 易知直线l的斜率存在，设其方程为 ，其中 ． 由 ，得 ， ， 设 ，则 ， 所以 ， 所以 ， 即 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 得 ，解得 ，满足 ， 所以直线l的方程为： ，即直线过定点 随堂练习：答案：（1） （2）证明见解析 解：（1）因为 为椭圆 上一点，所以 . 因为 ，所以 ，整理得 ，解得 或 . 当 时， ，与 矛盾.所以 ， . 椭圆 的方程为 . （2）设直线 的斜率为 ，则 . 因为 ， 由 解得 ， . 因为 ，所以 ，整理得 ， 所以 ， . 所以 ，所以 .令 ，得 . 所以 ， 所以 . 所以 . 所以直线 过定点 . 典例4、答案： （1） （2） 解：（1）由题， 由椭圆定义， 的周长为 ，所以 所以椭圆 的方程为 . （2）当 轴时，MN与x轴重合，不符合题意， 当直线 与 轴重合时， ，所以 ； 当直线 斜率存在且不为0时，设 ， 由韦达定理 所以同理 所以 综上所述， 的取值范围是 . 随堂练习：答案： （1） （2）最大值为 解:（1） 椭圆 过点 ， ，解得： 椭圆 的标准方程为 （2）由题易知直线 的斜率不为 ，可设 ： 由 得： ，则 设 ， ，则 ， 又 ，以 为直径的圆的圆心坐标为 ，半径为 故圆心到直线 的距离为，即 （当且仅当 ，即 时取等号） 当 时，直线与椭圆有交点，满足题意，且 的最大值为 典例5、答案： （1） （2） 解：（1）由题意得 ， 故 ， 所以 ， 所以椭圆的方程为 ； （2）设直线 与椭圆得另一个交点为 ， 设 ， 因为 ， 则直线 的方程为 ， 联立 ，消 整理得 ， 则 ， 所以 ，则 ， 所以 ， 联立 ，消 整理得 ， 则 ， 所以 ，因为 ， 所以 ， 解得 ， 又 ， 所以 . 随堂练习：答案： （1） ；（2） . 解:（1）由已知 ，即有 ，由已知条件可得 ，解得 ， 因此，椭圆 的方程为 ； （2）由（1）得直线 的方程为 ，联立 ， 消去 可得 ，解得 ，则 ， 依题意 且 ， 因为 、 、 成等比数列，则 ，则 . 当 时，则有 ，该方程无解； 当 时，则 ，解得 ， 所以 ，解得 ， 所以，当 、 、 成等比数列时， .x2 y2 1  1  典例6、答案：（1） 4 3 （2） 2 2c2   3 3 解：（1）依题意可得  1，又 ， 所以 ， ， .  a2 4b2 b2 a2c2 a2 4 b2 3 c1 x2 y2  1 所以 4 3 ；   PF 2PQ Q PF QO x （2）因为 2 ，所以 是 2的中点. 结合 轴， 12 y 2 3  0 1 y  所以PF  x轴，所以x 1，则 4 3 ，解得 0 2，因为y 0， 1 0 0 3  3 P 1, y    所以 0 2 ，所以  2. 因为直线 PM 、PN 关于直线x x 1对称. 0 PM PN k k 0 所以 、 的倾斜角互补，所以 PM PN ， ykxm  x2 y2 显然直线 的斜率存在，设 ： ，由   1， l l ykxm  4 3  4k23  x28kmx4m2120 得 ，由0得m2 4k23. 8km 4m212 设 Mx 1 ,y 1  ， Nx 2 ,y 2  ，则 x 1 +x 2  4k23， x 1 x 2  4k23 ， 3 3 y  y  由 k PM k PN  x 1 1 2  x 2 1 2 0 ， 整理得 2kx 1 x 2     km 2 3   x 1 x 2 2m30 ， 1 24k2 8k34km2m0 2k12k32m0 所以 ，即 3 mk 2k32m 0 2 若 ，则 ， 3 y kx1 所以直线MN的方程为 2 ，此时，直线MN过P点，舍去. 1 1 k   所以2k10，即 2， 所以直线l的斜率为 2. x2  y2 1 随堂练习：答案： （1） 4 （2）证明见解析 c 3  3 1 3 解：（1）由题意可得 e a  2 ， 由椭圆经过点    1， 2    ，可得a2  4b2 1 ， a2b2 c2 a2 b1 c 3 又 ，解方程得 ， ， ， x2  y2 1 所以椭圆的方程为 4 ；     F  3,0 F 3,0 （2）证明：由题意可得 1 ， 2 ， P  x,y  Ax,y  Q(x ,y ) x2 4y2 4 设 0 0 ， 1 1 ， 0 2 ，则 0 0 ， S 2S y 2 y 由 QF 1 F 2 PF 1 F 2 ，可得 2 0 ， |FQ|2( 3x )2y2 32 3x x24y2 72 3x 2 0 2 0 0 0 0； y   x  3 y 0 x 3 x 0 y 3 直线PF的方程为 x  3 ,得 y ，与椭圆方程x24y2 4联立， 1 0 0 x  3  x  3 [4 0 )2 y22 3 0 y10 可得  y y ，  0  01 y2 y2 y y   0  0 所以 0 1 4( x 0  y 3 )2 x 0 24y 0 232 3x 0 72 3x 0 ， 即有 y 1  72 y 0 3x ， 0 0 PF y 1  0  72 3x 72 3x ,2 x 2 所以 FA y 0 0 0 ． 1 1 PF 1 |FQ|272 3x 72 3x 14 所以 FA 2 0 0 ，是定值． 1