圆锥曲线的方程（十三）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案）_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_专项复习_2025高考总复习专项复习-圆锥曲线的方程讲义（含答案）（完结）

2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十三
知识点一 双曲线定义的理解,根据a、b、c求双曲线的标准方程,等轴双曲线,双曲线中的定值问题
典例1、已知双曲线 的方程为 .
（1）直线 与双曲线的一支有两个不同的交点，求 的取值范围；
（2）过双曲线 上一点 的直线分别交两条渐近线于 两点，且 是线段 的中点，
求证： 为常数.
随堂练习：已知双曲线 ： 与双曲线 有相同的焦点；且 的一条渐近
线
与直线 平行.
（1）求双曲线 的方程；（2）若直线 与双曲线 右支相切（切点不为右顶点），且 分别交双曲线
的两条渐近线于 两点， 为坐标原点，试判断 的面积是否为定值，若是，请求出；若
不是，请说明理由.典例2、已知双曲线 与 有相同的渐近线，且经过点 ．
（1）求双曲线C的方程，并写出其离心率与渐近线方程；（2）已知直线 与双曲线C交于
不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆 上，求实数m的值．
随堂练习：已知椭圆 长轴的顶点与双曲线 实轴的顶点相同，且 的
右焦点 到 的渐近线的距离为 ．
（1）求 与 的方程；（2）若直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的 倍，且 经过点 ，
与 交于 、 两点，与 交于 、 两点，求 ．典例3、已知双曲线W： 的左、右焦点分别为 、 ，点 ，右顶点是M，
且 ， ．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点 的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点 在
以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．
随堂练习：在一张纸上有一圆 ： ，定点 ，折叠纸片使圆C上某一点 恰好与
点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线 的交点为T.（1）求证： 为定值，并求出点 的轨迹 方程；
（2）曲线 上一点P，点A､B分别为直线 ： 在第一象限上的点与 ： 在第四象限上的
点，若 ， ，求 面积的取值范围.
知识点二 抛物线的焦半径公式,根据抛物线上的点求标准方程,抛物线中的参数范围问题,抛物线中的
定值问题
典例4、已知抛物线 ，点F为其焦点，且点F到其准线l的距离为4.
（1）求抛物线T的方程；
（2）设l与x轴的交点为A，过x轴上的一个定点 的直线m与抛物线T交于B，C两点.记直线
AB，AC的斜率分别为 ， ，若 ，求直线m的方程.随堂练习：已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在第一象限且为抛物线C上一点，点N
（5，0）在点F右侧，且△MNF恰为等边三角形．
（1）求C的方程；
（2）若直线l：x＝ky+m与C交于A，B两点，∠AOB＝120°（其中O为坐标原点），求实数m的取
值范围．
典例5、已知抛物线 的焦点为F，点M是抛物线的准线 上的动点．
（1）求p的值和抛物线的焦点坐标；
（2）设直线l与抛物线相交于A、B两点，且 ，求直线l在x轴上截距b的取值范围．随堂练习：已知圆 的圆心为 ，点 是圆 上的动点，点 是抛物线 的焦点，点
在线段 上，且满足 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）不过原点的直线 与（1）中轨迹 交于 两点，若线段 的中点 在抛物线 上，求
直线 的斜率 的取值范围.
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十三答案
典例1、答案： （1） ； （2） ，证明见解析.
解：（1）直线 与双曲线 即
联立得 即由题意得 有两个同号根，则满足 即 ，即
解得：
双曲线 的方程为 ，所以双曲线 的渐近线为
则 ，所以 的中点
又因为点 在双曲线 上，即 即 ，即 .
随堂练习：答案： （1） （2）是，2
解：（1）设双曲线 的焦距为 ，
由题意可得： ，则 ， 则双曲线 的方程为 .
（2）由于直线 与双曲线 右支相切（切点不为右顶点），则直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，则 ， 消 得： ，
则 ，可得： ①
设 与 轴交点为 ， 则 ，∵双曲线两条渐近线方程为： ，
联立 ，解得 ，即 ， 同理可得： ，
则 （定值）.
典例 2、答案：（1）双曲线C的方程为 ，离心率 ，渐近线方程为 （2）
解：（1）因为双曲线C与 有相同的渐近线，
所以可设双曲线C的方程为 ，
代入 ，得 ，得 ，故双曲线C的方程为 ，
所以 ， ， ，故离心率 ， 渐近线方程为 ．
（2）联立直线AB与双曲线C的方程，得 ，
整理得 ， ．
设 ， ，则AB的中点坐标为 ，
由根与系数的关系得， ， ，
所以AB的中点坐标为 ，
又点 在圆 上，所以 ， 所以 ．
随堂练习：答案： （1） ， （2）解：（1）由题意可得 ，则 ． 因为 的渐近线方程为 ，即 ，
椭圆 的右焦点为 ，由题意可得 ， ，解得 ，
故椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 ．
（2）设直线 的倾斜角为 ， 所以，直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ， 联立 得 ，则 ，
设 、 ，则 ， ， 所以 ,
联立 可得 ， ，
设点 、 ，则 ， ，
所以， ，故 ．
典例3、答案：（1） ；（2） .
解:（1）由已知 ， ， ， ，
∵ ，则 ，∴ ，∴ ，
解得 ， ，∴双曲线的方程为 ．
（2）直线l的斜率存在且不为0，设直线l: ，设 、 ，
由 ，得 ， 则 ，解得 ①，∵点 在以线段AB为直径的圆的外部，则 ，
，解得 ②，
由①、②得实数k的范围是 .
由已知 ，∵B在A、Q之间，则 ，且 ，
∴ ，则 ，∴ ， 则 ，
∵ ，∴ ， 解得 ，又 ，∴ ．
故λ的取值范围是 ．
随堂练习：答案： （1）证明见解析， （2）
解：（1）证明：如图，由点 与 关于 对称，
则 ， ，故为定值.
由 ，由双曲线定义知，点 的轨迹为以 为焦点，实轴长为8的双曲线，
设双曲线 方程为 ， ，
所以双曲线方程为 ；
（2）由题意知， 分别为双曲线 的渐近线
设 ，由 ，设 .
，由于P点在双曲线上
又 同理 ，设 的倾斜角为 ，
则 .
由函数的性质可知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ；
当 时， ； .
4
y (x1)
典例4、答案： （1） y2 8x （2） 3
p4 y2 8x
解：（1）因为点F到其准线l的距离为4， 所以 ， 所以抛物线T的方程为 ；
k k 0
BC
（2）若直线 的斜率不存在时则 1 2 与题意不符，BC BC yk(x1)
故直线 的斜率必存在，不妨设直线 的方程为 ，


yk(x1)
k2x2(2k28)xk2 0 x x 
2k28
,xx 1
将直线和抛物线联立  y2 8x ， 1 2 k2 1 2 ，
y y k(x 1)(x 2)k(x 1)(x 2) 1
k k  1  2  1 2 2 1 
1 2 x 2 x 2 (x 2)(x 2) 3
则 1 2 1 2 ，
16 24 4 4
 90k  y (x1)
k2 k 3 所以直线m的方程为 3 .
4
(0, ]
随堂练习：答案：（1） y2 4x ；（2） 3 .
1 p 5 p p p
x  (5 )  |NF|5 |MF | x 
解：（1）由题意知 M 2 2 2 4 ， 2 ， 由抛物线的定义可知 M 2 ，
|NF||MF| p2 C y2 4x
则由 ，得 ， 所以抛物线 的方程为 ．
A(x y ) B(x y )
（2）设 1， 1 ， 2， 2 ，
y2 4x y  y 4k
1 2
 
由 xkym，得 y24ky4m0 ， 16k216m0 ， 则 y
1
y
2
4m ，
y2 y2
xx  1  2 m2
所以x x k(y y )2m4k22m， 1 2 4 4 ，
1 2 1 2
AOB120
因为 ，
 
OAOB x x  y y x x  y y
cosAOB  1 2 1 2  1 2 1 2
 
所以 |OA||OB| (x 1 2 4x 1 )(x 2 2 4x 2 ) x 1 x 2 [x 1 x 2 4(x 1  x 2 )16]
m2  4m 1
  
|m| m2 16k2 8m 16 2 ，所以m24m0且 4(m  4)2  m2 16k2 8m 16
，
0m4
4 4
 0m (0, ]
所以 3m240m4816k2 0，解得
3
， 即m的取值范围为
3
．
p4 F(2,0) (,2) [42 5,)
典例5、答案：（1） ； （2） 
p
F(2,0), 2
解：（1）因为抛物线的准线是x2，所以抛物线的焦点坐标 2 ，所以p4；
M2,y 
x2
（2）因为点M是抛物线的准线 上的动点，设 0 ．
l:xb(b0)
（ⅰ）若直线l的斜率不存在，则 ．
 xb

由 y2 8x得A(b, 8b),B(b, 8b)，
M  F  4,y ,  A  B  (0,2 8b),  A  F  (2b, 8b),M  B    b2, 8by 
0 0
因为MF  AB，所以M  F    A  B  0， 即 4,y 0 (0,2 8b)0 ，所以 2y 0 8b 0 ，
因为 b0 ，所以 y 0 0 ； 因为 AF  MB ，所以  A  F    M  B  0 ，
 
即
(2b, 8b) b2, 8b y
0
0
，所以(2b)(b2)8b0，
b28b40
b0
b42 5
所以 因为 ，所以 ①．
l: y k(xb) Ax,y ,Bx ,y 
（ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则 ．设 1 1 2 2 ．
ykxb
8 y2 y2 (8b)2
由   y2 8x 得 ky28y8kb0 ，所以y 1  y 2  k ,y 1 y 2 8b,x 1 x 2  8 1 , 8 2  64 b2 ，
644k(8kb)0 bk220
且 ，所以 （*），因为 MF  AB ，所以 M  F    A  B  0 ，即 4,y 0 x 2 x 1 ,y 2  y 1 0 ，
y  y 4 4
k  2 1  y 
所以4x 2 x 1  y 0 y 2  y 1 0， 所以 x 2 x 1 y 0 ，得 0 k ，
 
AF  MB AFMB0
因为 ，所以 ，
2x ,y x 2,y  y 0 2x x 2 y y  y y 0
即 1 1 2 2 0 ，所以 1 2 1 2 1 0 ，
4
2x 4x x 2x  y y  y 0
所以 2 1 2 1 1 2 1k
 y   y  4
2 2 b4b22 1 b8b y 0
则  k   k  1k
8
2 4kkb28bk 0
2y  y 4kkb28bk 0
所以 1 2 ，得 k ，
16
k2  0
所以 b28b4 ②，
16b b24
20 0
代入（*）得，b28b4 ，所以b28b4 ③，
由②得
b28b40
，所以
b(,42 5)

(42 5,)
④，
b2 40 b(,2)  (2,)
所以 ，所以 ，⑤
b(,2) (42 5,)
由④，⑤知  ，
(,2) [42 5,)
综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是  ．
x2 y2 6 6
 1  k 0 0k 
随堂练习：答案： （1） 4 3 （2） 8 或 8解：（1）易知 A1,0，  点B是抛物线 y2 4x 的焦点， B1,0 ，
GA  GB  AP 42 AB
依题意 ，
G A,B
所以点 轨迹是一个椭圆，其焦点分别为 ，长轴长为4，
x2 y2
 1(ab0)
设该椭圆的方程为a2 b2 ， 则2a4,2c2,a2,c1，
x2 y2
 1
b2 a2c2 3， 故点G的轨迹E的方程为 4 3 .
（2）易知直线1的斜率存在，
ykxtt 0,Mx,y ,Nx ,y ,Qx ,y 
设直线1： 1 1 2 2 0 0 ，
ykxt
由  3x24y2 12得：  4k23  x28ktx4t2120，
Δ(8kt)24  34k2 4t212  0
 ，
8kt 4t212
x x  x x 
即4k2 t230①又 1 2 4k23， 1 2 4k23
 4kt 3t   4kt 3t 
Q ,  Q , 
故  4k23 4k23，将  4k23 4k23，代y2 4x，16k  4k23 
t  ②,k 0
得： ，
9
162k2 4k23  81,4162k4 3162k2 810
将②代入①，得： ，
3  9  2  3  27 3
k4 k2  0 k2 k2 0 k2 0
即 4 32 ， 即  32 32 ，即 32 ，
6 6
 k 
8 8 且k 0，
6 6
: k 0 0k 
即k的取值范围为 8 或 8 .