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2023年高考押题预测卷01【北京专用】
数学·参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B A D B D C A B B
11．①③④（5分）
12． （5分）
13． （5分）
14．1
15. 10（5分）
16．（13分）(1)由题意得 ,（2分）
令 ,则 ,则 .（2分）
所以当 时,有 ;当 时, . （1分）
(2)由题得 ,（2分）
从而 .（2分）
由 ,得 .故对称中心是 .（2分）
再由 ,
得 .（2分）
所以单调递增区间是 .
17．（14分）（1）证明：取 的中点 ，连接 ，（1分）为 的中点，
，（2分）
又∵ ，
，
∴四边形 是平行四边形，（2分）
，
又∵ 平面 平面 ，
平面 .（2分）
（2）解：由题知， 三条直线两两相互垂直，
以 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，（1分）
，则 ，故 ，
又 ，故 ，
则 ，
，（2分）设平面 的一个法向量为 ，
则 ,令 ，可得 ，（2分）
易知 为平面 的一个法向量，
，
平面 与平面 夹角的余弦值为 .（2分）
18．（13分）(1)由题表可得厨余垃圾共有60+20+20=100吨，（1分）
其中投入厨余垃圾桶的有60吨，
所以 ；（2分）
(2)由题表可得这400吨垃圾含有100吨厨余垃圾和300吨非厨余垃圾，（1分）
则处理费用为5×100+8×300=2900元，（2分）
所以估计处理这400吨垃圾需要2900元；
(3)用a,b,c表示3名女性志愿者，m,n表示2名男性志愿者，（1分）
随机选取3人，共有：(a,b,c)、(a,b,m)、(a,b,n)、(a,c,m)、(a,c,n)、(b,c,m)、(b,c,n)、(a,m,n)、(b,m,n)、(c,m,n)这10种，（2分）
其中两名男性志愿者都参加的有：(a,m,n)、(b,m,n)、(c,m,n)这3种， （2分）
所以两名男性志愿者都参加的概率为 .（2分）
19．（15分）（1）因为四个顶点恰好构成一个边长为 且面积为4的菱形，
所以 ， ，（1分）
， ，
所以椭圆C的方程为 .（2分）
（2）椭圆D的方程为 ，
设 ，则
又 ， ，
即 ，
（2分）
设 ， ， ，
代入椭圆D方程得 ，（2分）
由 ，可得 ，①
则有 ， ，
所以 ，（2分）
由直线 与y轴交于 ，则 的面积为 ，
，（2分）
设 ，则 ，
将直线 代入椭圆C的方程，
可得 ，
由 可得 ，②
由①②可得 ，则 在 递增，
即有 取得最大值，（2分）
即有 ，即 ，取得最大值 ，
因为 ，
所以 的面积为3S，
即 面积的最大值为 .（2分）
20．（15分）（1） ， ，（2分）
又 ，故 在 处的切线方程为 ，（2分）
即 ，它交两坐标轴于 ， ，
所以 .（2分）
（2）先证明 ， 恒成立，
设 ，则 ，（2分）
当 时， ， 为减函数；当 时， ， 为增函数；（2分）
所以 ，即 ， 恒成立.
由题意得 对 恒成立. （2分）
设 ，
则 （2分）
所以 .（1分）
21．（15分）（1） ， ， （2分）
（2）因为 是公比大于 的等比数列，且
所以 .
所以当 时， （2分）
所以当 时，
所以 是等比数列. （2分）
（3）因为 即 ，故 ，使 ，且对
，都有 ……①.
若 ，则 ；（2分）
若 ，因为 ，所以 ，
所以对 ，都有 ……②. （2分）
由①②知，对 ，都有 .综上， .（2分）
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，使 .（2分）
同上可证 .（1分）
以此类推，由于 仅有有限项，所以 是常数列.
