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专题 10 构造三角形中位线的六种常见辅助线（原卷版）
第一部分 专题典例剖析及针对训练
类型一 连接第三边构造中位线
【典例1】如图，△ABC和△DBE是等边三角形，A，B，D三点在一条直线上，M，N，O分别为CE，
AD，AC的中点．
（1）求证：OM＝ON；
（2）求∠MON的度数．
【变式训练】
1．（2022春•舞钢市期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段
BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的
可能为（ ）
A．2 B．5 C．7 D．9
2．（2023•郧阳区模拟）如图，已知长方形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP
的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长先增大后变小3．（2023春•江夏区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、
F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长．
4．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点．请你探索DG与EF的位置
关系和数量关系，并说明理由．
类型二 连接两中点构造中位线
【典例2 】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，P是AC的中点，N是BC的中点，M是AD的中点，
∠BAC＝80°，∠ACD＝20°．
PM
（1）求∠PMN的度数；（2）求 的值．
MN
【变式训练】
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的两点，连接DN，EM，
线段DN，EM相交于点G．若AB＝5，BC＝8，DE＝4，则△DGE的面积为（ ）3 5
A．1 B． C．2 D．
2 2
类型三 取中点构造中位线
（1）直接取一边中点
【典例3】（2023春•上城区期中）如图，在 ABCD中，∠ABC和∠DAB的角平分线BE与AE交于点
E，且点E恰好在边CD上． ▱
（1）求证：E为CD的中点；
（2）若AD＝3，BE＝4，求AE的长；
（3）点F为AE的中点，连接CF，交BE于点G，求证：BG＝3EG．
【变式训练】
1．（2021•南阳模拟）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，点E，F分别是对角线AC，
BD的中点，则EF的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5
2．如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点，AD＝2，BC＝4，则EF的取值范围是 ．
3．（2023•景县校级模拟）如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A B C ，点
1 1 1
P，Q分别是AB，A C 的中点，PQ的值不可以是（ ）
1 1A．4 B．5 C．6 D．7
（2）连接对角线，再取对角线中点
【典例4】（2022春•青山区期末）如图，四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点，且AD＝
6，BC＝10，则线段EF的长可能为（ ）
A．7 B．8.5 C．9 D．10
类型四 延长一边构造中位线
【典例5】（2022春•新洲区期中）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝
12，AC＝6，求DF的长．
【变式训练】
1．如图，AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，D、B、C在一条直线上，F为AE的中点．
（1）求证：BF∥CE；
（2）若AB＝2，DE＝5，求BF的长．
2．（2022春•东光县期中）如图，在△ABC中，D是BC中点，AE平分∠BAC，AE⊥BE．（1）DE与AC的位置关系是 ；
（2）若AB＝3，AC＝5，则DE＝ ．
类型五 延长两边构造中位线
【典例6】（2022秋•招远市期末）如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长
线于点F，AC＝9，BC＝4，则EF的长为 ．
【变式训练】
1．如图1，在△AFG中，FD、GE分别是△AFG的外角平分线，AD⊥FD于点D，AE⊥GE于点E．
（1）探究证明：
①DE与FG的位置关系是 ；
②判断DE与AF、AG、FG之间的数量关系，并说明理由．
（2）问题解决：
如图2，在△ABC中，AD⊥BD于点D，∠BAD＝∠CAD，AB＝6cm，AC＝10cm，点H是BC的中点，
直接写出DH的长．类型六 作平行线或倍长中线先构造8字全等再构造中位线
【典例7】 （2023春•遵义期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞7，点D，E分别在边AB，AC
上，且BD＝CE＝7，连接DE，点M，N分别是DE，BC的中点，则线段MN的长为 ．
【变式训练】
1．如图，AD是△ABC的角平分线，AD＝AC，BE⊥AD于E，AC，BE的延长线交于点F．
（1）求证：BE＝EF．
（2）求证：AB﹣AC＝2DE．
第二部分 专题典例剖析及针对训练
1．（2021•安徽二模）如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．
若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（ ）❑√3 ❑√5 5
A．1 B． C． D．
2 2 3
2．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P，M，N分
别为AC，AD，CE的中点．
（1）求证：PM＝PN；
（2）求∠MPN的度数．
3．已知点M为△ABC的边BC的中点，AB＝12，AC＝18，BD⊥AD于D，连DM．
（1）如图1，若AD为∠BAC的平分线，求MD的长；
（2）如图，若AD为∠BAC的外角平分线，求MD的长．
4．（2023春•桥西区期末）【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝
45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，
BD于点F，G，EF＝EG．
求证：BD＝AC．
