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专题12.23 全等三角形几何模型（一线三垂直）（分层练习）
（培优练）
“一线三垂直”模型，是初中几何图形中的最重要模型，一般只要图形中出现一线三垂
直或二垂或一垂图形，不管它是出现在全等图形中，还是在以后学习的相似图形中，函数图
形中，它的辅助线、解题思路过程基本固定，一定要熟悉它的变化及用法。
“三垂直模型”是一个应用非常广泛的模型，它可以应用在三角形，矩形，平面直角坐
标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之
中，所以掌握好这一模型会使你在中考中技高一筹。
其基本图形如下：
拓展：当一线三垂直模型中三垂直改成三等角时，同样成立
一、单选题
1．如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，
则图中实线所围成的阴影部分面积S是( )
A．50 B．44 C．38 D．32
2．如图，四边形ABCD是正方形，直线 分别通过A，B，C三点，且 ，若 与 的距
离为5， 与 的距离为7，则正方形ABCD的面积等于( )A．70 B．74 C．144 D．148
二、填空题
3．如图， ABC中，∠C＝90°，点D为AC上一点，∠ABD＝2∠BAC＝45°，若AD＝12，则 ABD的
面积为 △． △
4．在 中， ， ，点 是射线 上的一个动点，作 ，且 ，
连接 交射线 于点 ，若 ，则 ．
三、解答题
5．如图， 中， ， ， 点为射线 上一动点，连结 ，作
且 ．
（1）如图1，过 点作 交 于 点，求证： ；
（2）如图2，连结 交 于 点，若 ， ，求证： 点为 中点．（3）当 点在射线 上，连结 与直线 交于 点，若 ， ，则 ______．（直
接写出结果）
6．如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接
AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；
（2）线段DC的长度为何值时， ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中， AD△E的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可
以，请说明理由． △7．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在
中， ， ，直线l经过点A， 直线l， 直线l，垂足分别为点D，E．求
证： ．
（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在
中， ，D，A，E三点都在直线l上，并且有 ，其中 为任意锐
角或钝角．请问结论 是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过 的边
AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若 ，
则 ______．8．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由
∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到
AC＝ ，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直
线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
（深入探究）
（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S，△DCE的面积为S，则有S
1 2 1
S（填“＞、＝、＜”）
2参考答案
1．D
【分析】由已知和图形根据“K”字形全等，用AAS可证△FEA≌△MAB，△DHC≌△CMB，推出
AM=EF=6，AF=BM=3， CM=DH=2，BM=CH=3，从而得出FH=14，根据阴影部分的面积=S EFHD-
梯形
S EFA-S ABC-S DHC和面积公式代入求出即可．
△ △ △
解：∵AE⊥AB，EF⊥AF，BM⊥AM，
∴∠F=∠AMB=∠EAB=90°，
∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAM=90°，
∴∠FEA=∠BAM，
在△FEA和△MAB中
，
∴△FEA≌△MAB（AAS），
∴AM=EF=6，AF=BM=3，
同理CM=DH=2，BM=CH=3，
∴FH=3+6+2+3=14，
∴梯形EFHD的面积= = =56，
∴阴影部分的面积=S EFHD-S EFA-S ABC-S DHC
梯形
△ △ △
=
=32．
故选D．
【点拨】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．
2．B
【分析】首先过点B和点D作垂线，构成大的正方形，然后利用大正方形的面积减去四个直角三角形
的面积得出答案．
解：分别过点B和点D作 的垂线交 于点E、H，交 于点F、G
∵
∴ ，
∴四边形EFGH是矩形
又∵四边形ABCD是正方形
∴ ，
∵ ，
∴
∵
∴
∴
同理可证： ，得到 ，
∴ ，即
∴四边形EFGH是正方形
∵ 与 的距离为5， 与 的距离为7
∴ ，
∴
故选：B【点拨】本题考查了全等三角形的应用，正确作出辅助线补成大正方形是解题关键．
3．36．
【分析】作DE⊥DB交AB于E，EF垂直AC于F，则∠DEB=90°-∠ABD=45°，证出AE=DE=DB，通过证
明 AEF≌ BCD，得出BC==AF= AD=6，由三角形面积公式即可得出答案．
△ △
解：作DE⊥DB交AB于E，EF垂直AC于F，如图所示：
则∠DEB=90°-∠ABD=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DB=DE，
∵∠ABD=2∠BAC=45°，
∴∠BAC=22.5°，
∴∠ADE=∠DEB-∠BAC=22.5°=∠BAC，
∴AE=DE=DB，
∵∠AFE=90°，
∴F是AD中点，AF=FD，
又∵∠C=90°，
∴∠CBD=90°-45°-22.5°=22.5°，
在Rt AEF和Rt BCD中
△ △
∴Rt AEF≌Rt BCD（AAS），
△ △∴AF=BC= AD=6，
∴△ABD的面积S= AD×BC= ×12×6=36；
故答案为：36．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积公式的的
计算，熟记特殊三角形的判定和性质定理是解题关键．
4．4或6
【分析】过点F作FD⊥AC，交AC于点D，根据∠ADF=∠C=90°，∠AFD=∠EAD，AF=AE，证明
△AFD≌△EAC，则FD=AC=BC，AD=CE，又证明△FDG≌△BCG，得到CG=DG，由 ，设BC=5x，BE=2x；
由点E是动点，则①当点E在BC线段之间时，CE=AD=3x，则AG=4x，CG=x，此时 4；①当点E在CB
的延长线上时，CE=AD=7x，则AG=6x，CG=DG=x，此时 6；即可得到答案.
解：根据题意作出图形，过点F作FD⊥AC，交AC于点D，
∴∠ADF=∠C=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAD+∠EAD=90°，
∵∠FAD+∠AFD=90°，
∴∠EAD=∠AFD，
∵AF=AE，
∴△AFD≌△EAC（AAS），
∴FD=AC=BC，AD=CE，∵∠DGF=∠CGB，
∴△FDG≌△BCG，
∴CG=DG；
∵由 ，设BC=AC=5x，BE=2x，
由点E是动点，则①当点E在BC线段之间时，如图：
∴CE=AD=3x，
∴CG=DG=x，
∴AG=4x，
∴ ；
②当点E在CB的延长线上时，如图：
∴CE=AD=7x，
∴CG=DG=x，
∴AG=6x，
∴ ；
故答案为4或6.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出图形，分析得到线段之间的关系.注意：点D是动点，需要考虑D点的位置.
5．（1）见分析；（2）见分析；（3） 或
【分析】（1）证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论；
（2）作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案；
（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可．
解：（1）证明：∵FD⊥AC，
∴∠FDA=90°，
∴∠DFA+∠DAF=90°，
同理，∠CAE+∠DAF=90°，
∴∠DFA=∠CAE，
在△AFD和△EAC中，
，
∴△AFD≌△EAC（AAS），
∴DF=AC，
∵AC=BC，
∴FD=BC；
（2）作FD⊥AC于D，
由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，
在△FDG和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG=CG=1，
∴AD=2，
∴CE=2，
∵BC=AC=AG+CG=4，
∴E点为BC中点；（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，
BC=AC=4，CE=CB+BE=7，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，
∴CG=GD，AD=CE=7，
∴CG=DG=1.5，
∴ ，
同理，当点E在线段BC上时， ，
故答案为： 或 .
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关
键．
6．（1）25°，65°；（2）2，理由见详解；（3）可以，110°或80°.
【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；
（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用
AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．
解：（1）∵∠B=40°，∠ADB=115°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，∵AB=AC，
∴∠C=∠B=40°，
∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，
∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，
∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；
（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C=40°，
∴∠DEC+∠EDC=140°，
又∵∠ADE=40°，
∴∠ADB+∠EDC=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵AB=DC=2，
在△ABD和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
∵∠BDA=110°时，
∴∠ADC=70°，
∵∠C=40°，
∴∠DAC=70°，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC=100°，
∵∠C=40°，
∴∠DAC=40°，
∴△ADE的形状是等腰三角形．
【点拨】本题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性
质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
7．（1）见分析；（2）结论成立，理由见分析；（3）3.5【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；
（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证
明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；
（3）由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的
中点．
解：（1）证明：如图1中，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（2）解：成立．
理由：如图2中，
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（3）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．∴∠EMI=∠GNI=90°
由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN
∴EM=GN
在△EMI和△GNI中，
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI=GI，
∴I是EG的中点．
∴S AEI= S AEG=3.5．
△ △
故答案为：3.5．
【点拨】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，
熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
8．（1）DE；（2）见分析；（3）=
【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；
（2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H，EQ⊥FG于点Q，进而可得∠BAF=∠ADH，然后可证
△ABF≌△DAH，则有AF=DH，进而可得DH=EQ，通过证明△DHG≌△EQG可求解问题；
（3）过点D作DO⊥AF交AF于O，过点E作EN⊥OD交OD延长线于N，过点C作CM⊥OD交OD延
长线于M，由题意易得∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE，然后可得∠ADO=∠DCM，则有△AOD≌△DMC，
△FOD≌△DNE，进而可得OD=NE，通过证明△ENP≌△CMP及等积法可进行求解问题．
解：（1）∵ ，∴ ；
（2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H，EQ⊥FG于点Q，如图所示：∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴△ABF≌△DAH，
∴AF=DH，
同理可知AF=EQ，
∴DH=EQ，
∵DH⊥FG，EQ⊥FG，
∴ ，
∵
∴△DHG≌△EQG，
∴DG=EG，即点G是DE的中点；
（3） ，理由如下：如图所示，过点D作DO⊥AF交AF于O，过点E作EN⊥OD交OD延长线于
N，过点C作CM⊥OD交OD延长线于M∵四边形ABCD与四边形DEGF都是正方形
∴∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE
∵DO⊥AF，CM⊥OD，
∴∠AOD=∠CMD=90°，∠OAD+∠ODA=90°，∠CDM+∠DCM=90°，
又∵∠ODA+∠CDM=90°，
∴∠ADO=∠DCM，
∴△AOD≌△DMC，
∴ ，OD=MC，
同理可以证明△FOD≌△DNE，
∴ ，OD=NE，
∴MC =NE，
∵EN⊥OD，CM⊥OD，∠EPN=∠CMP，
∴△ENP≌△CMP，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ 即 ．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全
等三角形的判定条件是解题的关键．
