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第十五章 分 式
15.1 分 式
15.1.1 从分数到分式
学习目标：1．了解分式的概念．
2．知道分式有意义、无意义和分式值为0的条件．
3．能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．
重点：理解分式有意义、无意义和分式值为0的条件．
难点：能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．
自主学习
一、知识链接
填空：乐乐同学参加百米赛跑．
（1）如果乐乐的速度是7米/秒，那么她所用的时间是（ ）秒；
（2）如果乐乐的速度是a米/秒，那么她所用的时间是（ ）秒；
（3）如果乐乐原来的速度是a米/秒，经过训练她的速度每秒增加了1米，那么她现在所
用的时间是（ ）秒；
（4）后勤老师若把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形保温杯中，水面高
度为( ) cm；若把体积为V的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中（不溢出），水
面高度为( )cm；
（5）采购秒表8块共8a元，一把发射枪b元，合计为 元．
课堂探究
一、要点探究
探究点1：分式的概念
问题1：请将上面问题中得到的式子分分类：
8a+b
整式：单项式： ；
多项式： ；
既不是单项式也不是多项式： ．
问题2：式子 、 、 、 、 ，它们有什么相同点和不同点？要点归纳：分式的定义：
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称 为分式．其中A叫做分式的
分子，B叫做分式的分母．
想一想：（1）分式与分数有何联系？
（2）既然分式是不同于整式的另一类式子，那么它们统称为什么呢？
针对训练
1．下列各式哪些是整式？哪些是分式？
5x－7， ， ，3x2－1， ，－5， ， ， ， ．
方法总结：1．判断时，注意含有π的式子，π是常数．2．式子中含有多项时，若其中某
一项或几项为分式，其他项为整式，则该式也为分式，如： ．
2．数学运动会
规则：从本班选出6名同学到讲台选取自己的名牌：
1，a+1，c－3，π，2(b－1)，d2
再选1名学生发号指令，计时3秒钟，6名学生按要求自由组合 (如要求组成分式，多项式
等)．
探究点2：分式有（无）意义的条件
问题3：已知分式 ．
（1）当 x=3时，分式的值是多少？
（2）当x=－2时，分式的值你能算出来吗？
（3）当x为何值时，分式有意义？
要点归纳：对于分式 ：当_______时，分式有意义；当_______时，分式无意义．
典例精析例1：分式 有意义，则x应满足的条件是( )
A．x≠1 B．x≠2 C．x≠1且x≠2 D．以上结果都不对
方法总结：分式有意义的条件是分母不为零．如果分母是几个因式乘积的形式，则每个因
式都不为零．
做一做：
（1）当x 时，分式 有意义；
（2）当x 时，分式 有意义；
（3）当b 时，分式 有意义；
（4）当 时，分式 有意义；
（5）当x 时，分式 有意义．
探究点3：分式值为零的条件
想一想：分式 的值为零应满足什么条件？
注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况．
典例精析
例2：当x为何值时，分式 的值为零？
变式训练：（1）当 时，分式 的值为零；
（2）若 的值为零，则x＝ ．
二、课堂小结分式 内容
一般地，我们把形如______的式子叫做分式，其中
概念 A，B都是______，且B含有______．A叫做分式的分
子，B叫做分式的分母．
有意义的条件
分式 有意义的条件是__________．
无意义的条件
分式 无意义的条件是__________．
值为0的条件
分式 值为0的条件是_________________．
当堂检测
1.下列式子中，属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．当a＝－1时，分式 的值( )
A．不存在 B．等于零 C．等于1 D．等于－1
3．当x为任意实数时，下列分式中一定有意义的是( )
A． B． C． D．
4．已知当x=5时，分式 的值等于零，则k ．
5．在分式 中，当x为何值时，分式有意义？分式的值为零？
6．分式 的值能等于0吗？说明理由．参考答案
自主学习
一、知识链接
（1） （2） （3） （4） （5）8a+b
课堂探究
一、要点探究
探究点1：分式的概念
问题1 ， ；8a+b； ， ，
问题2 解：相同点：从形式上都具有分数 的形式，分子A、分母B都是整式．
不同点：分母中是否含有字母．
想一想 解：（1）分式中的字母可以表示不同的数，更具一般性．
（2）有理式
针对训练
1．整式：5x－7， ，3x2－1，－5， ， ．
分式： ， ， ， ．
探究点2：分式有（无）意义的条件
解：（1）当x=3时，分式值为
问题3
（2）不行，当x=－2时，分式分母为0，没有意义．
（3）当x≠－2时，分式有意义．
要点归纳 B≠0 B=0
典例精析
例1 C
做一做 （1）≠0 （2）≠1 （3）≠ （4）x≠y （5）为任意实数
探究点3：分式值为零的条件
想一想 解：当A=0且 B≠0时，分式 的值为零．
典例精析例2 解：当分子等于零且分母不等于零时，分式的值为零，则x2－1=0，
∴x=±1．而x + 1 ≠ 0，∴x≠－1．∴当x=1时，分式 的值为零．
变式训练 （1）x=2 解析：要使分式的值为零，只需分子为零且分母不为零，
∴ 解得x=2．
（2）－3 解析：分式的值等于零，应满足分子等于零，同时分母不为零，
即
当 x = 3 时，x2－2x－3 = 0，分式无意义，舍去.
解得x=－3．
当堂检测
1．C 2．A 3．A 4．=－10
5．解：当x ≠ 3时，该分式有意义；当x=－3时，该分式的值为零．
6．解：不能．理由如下：
若 ，必须x=－3．而x=－3时，分母x2－x－12=0，分式无意义．
