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第 5 讲 一元二次方程应用（一）
1. 懂得运用一元二次方程解决有关变化率问题；
2. 懂得运用一元二次方程解决有关传播、分裂问题；
3. 懂得运用一元二次方程解决有关握手、比赛问题
知识点 1：变化率问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一
次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可
列方程为 ²=b。
知识点2 ：传染、分裂问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个
人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
知识点3： 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握 次手。赠
卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送n(n−1)张卡片。【题型 1 变化率问题】
【典例1】（2022秋•桂平市期中）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居
民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：
本）．该阅览室在2019年图书借阅总量是7500本，2021年图书借阅总量是
10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2019年至2021年的年平均增长率；
（2）已知 2021 年该社区居民借阅图书人数有 1350 人，预计 2022 年达到
1440 人．如果 2021 年至 2022 年图书借阅总量的增长率不低于 2019 年至
2021年的年平均增长率，那么2022年的人均借阅量比2021年增长a%，求a
的值至少是多少？
【变式1-1】（2022秋•大连期末）疫情期间“停课不停学”，辽宁省初中数学
学科开通公众号进行公益授课，9月份该公众号关注人数为5000人，11月份
该公众号关注人数达到 7200人，若从9月份到11月份，每月该公众号关注
人数的平均增长率相同，求该公众号关注人数的月平均增长率．
【变式 1-2】（2023春•华龙区校级月考）受益于国家支持新能源汽车发展和
“一带一路”倡议等多重利好因素，我国某汽车零部件生产企业的利润逐年
增高，据统计，2019年利润为2亿元，2021年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2019年至2021年利润的年均增长率；
（2）若2022年保持前两年利润的年均增长率不变，该企业 2022年的利润能
否超过3.4亿元？
【变式1-3】（2023•黄山一模）数字化阅读凭借其独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径．近年来，我国数字阅读用户规模持续增长，据统计
2020年我国数字阅读用户规模达4.94亿人，2022年约为5.9774亿人．
（1）求2020年到2022年我国数字阅读用户规模的年平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计 2023年我国数字阅读用户规模能否达到 6.5亿
人．
【典例2】（2022秋•西峡县期中）为了迎接十一“黄金周”，某月季大观园准
备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种 1000m2的种
植目标，第三阶段需实现1440m2的种植目标，设第二、第三阶段月季新品种
种植面积的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1000（1+x）×2＝1440
B．1000（1+x）2＝1440
C．1000（1+x2）＝1440
D．1000（1+x）+1000（1+x）2＝1440
【变式2-1】（2022春•雁塔区校级期末）某化肥厂第一季度生产化肥 50万吨，
第二、第三季度平均增产的百分率是 x，则二、三季度的总产量为（ ）
万吨
A．50（1+x）2 B．[50+50（1+x）]
C．[50（1+x）2+50（1+x）] D．[50+50（1+x）+50（1+x）2]
【变式2-2】（2021·舒城期末）我县某贫围户2016年的家庭年收入为4000元，
由于党的扶贫政策的落实，2017、2018年家庭年收入增加到共15000元，设平
均每年的增长率为x，可得方程（ ）
A．4000（1+x）2=15000 B．4000+4000（1+x）+4000（1+x）2=15000
C．4000（1+x）+4000（1+x）2=15000 D．4000+4000（1+x）2=15000
【变式2-3】（2023•温江区校级模拟）随着疫情影响消退和消费回暖，2023年电影市场向好，某电影上映的第一天票房约为2亿元，第二天、第三天单日
票房持续增长，三天累计票房6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同
的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确
的是（ ）
A．2（1+x）＝6.62
B．2（1+x）2＝6.62
C．2（1+x）+2（1+x）2＝6.62
D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.62
【题型2 传染、分裂问题】
【典例3】（2022秋•甘井子区校级期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后
共有144个人患了流感．
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？
【变式3-1】（2021秋•新市区校级期中）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，
如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传
染了x个人，下列列式正确的是（ ）
A．x+x（1+x）＝64 B．1+x+x2＝64
C．（1+x）2＝64 D．x（1+x）＝64
【变式3-2】（2022秋•淮南月考）新冠病毒的传染性极强，某地因 1人患了新
冠病毒没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了新冠病毒，每天
平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过3天的传染后，这
个地区一共将会有多少人患新冠病毒？
【变式3-3】（2023•潮南区模拟）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，
共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．【典例4】（2022秋•莆田期中）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现
一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，
主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式4-1】（2023•虎林市校级一模）某种植物的主干长出若干为数目的支干，
每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则每
个支干长出小分支的个数是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．5
【变式4-2】（2023•黑龙江一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个
支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 57个，则这种
植物每个支干长出的小分支的个数是（ ）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
【变式4-3】（2022秋•莆田期中）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发
现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，
主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【题型3 握手、比赛问题】
【典例5】（2022秋•安定区期中）某校组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每
两队之间都赛一场），共进行了21场比赛，求共有多少个队参加比赛？【变式5-1】（2023春•滨江区校级期中）一次足球联赛实行单循环比赛（每两
支球队之间都比赛一场），计划安排 15场比赛，设应邀请了x支球队参加联
赛，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．x（x﹣1）＝15 B．x（x+1）＝15
C． D．
【变式5-2】（2023•佳木斯一模）黑龙江省中学生排球锦标赛共进行了 110场
双循环比赛，则参加比赛的队伍共有（ ）
A．8支 B．9支 C．10支 D．11支
【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）2022年北京冬奥会冰壶混双项目在国家游
泳中心“冰立方”开赛，中国混双球队参加了比赛，赛制为单循环比赛（每
两队之间都赛一场）．
（1）如果有6支球队参加比赛，那么共进行 场比赛；
（2）如果一共进行45场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
【典例6】（2021秋•兰山区期末）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全
组共送贺卡90张，则这个小组共有（ ）
A．9人 B．10人 C．12人 D．15人
【变式6-1】（2020秋•红桥区期末）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式
（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（ ）
A． x（x+1）＝90 B． x（x﹣1）＝90
C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
【变式6-2】（2021春•济宁期末）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两
场比赛，共要比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为
．
【变式6-3】为了提高环保教育，增强学生实践能力，植树节期间，某校组织八
年级学生在郊外植树，活动结束后，每个班级轮流进行了合照留念，并以班
级为单位互赠留念照，若共拍得照片72张，则该校八年级有个 班．
1．（2020·合肥模拟）某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度
的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为 x ．
根据题意列方程正确的是（ ）
A．250(1+x) 2=900 B．250(1+x%) 2=900
C．250(1+x)+250(1+x) 2=900
D．250+250(1+x)+250(1+x) 2=900
2．（2022•河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量
是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则
所列方程为（ ）
A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50
3．（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循
环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．94．（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地
92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格
这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．6.2（1+x）2＝8.9
B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9
D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
5．（2020•通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有 169人患了新
冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人．
6．（2021•沈阳）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团
体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？
7．（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市 2019年投入资金1000
万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小
区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求
该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
8.（2021•东营）“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻
坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008
公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到
1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
9.（2022•威宁县模拟）书籍是人类宝贵的精神财富，读书则是传承优秀文化的
通道．我县为响应全民阅读活动，利用春节假期面向社会开放县图书馆．据
统计，第一天进馆100人次，进馆人次逐天增加，第三天进馆121人次．若
进馆人次的日平均增长率相同．
（1）求进馆人次的日平均增长率；
（2）因疫情防控要求限制，县图书馆每天接纳能力不得超过 200人次，在进
馆人次的日平均增长率不变的条件下，县图书馆能否接纳第四天的进馆人次，
说明理由．
10．（2022•宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改
造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸
800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
（1）求4月份再生纸的产量；（2）若4月份每吨再生纸的利润为 1000元，5月份再生纸产量比上月增加
m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加 %，则5月份再生纸项目月利润
达到66万元．求m的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平
均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目
月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
1．（2021·乌鲁木齐期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有 169 人患了流感，
每轮传染中平均一个人传染了 人．
2.（2021秋•新市区校级期中）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人
患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了 x个人，
下列列式正确的是（ ）
A．x+x（1+x）＝64 B．1+x+x2＝64
C．（1+x）2＝64 D．x（1+x）＝64
3.（2022·杭州开学考）现有x支球队参加篮球比赛，比赛采用单循环制即每个
球队必须和其余球队比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（
）
1 1
A． x(x−1)=45 B． x(x+1)=45
2 2
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
4．（2021·朝阳期末）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有
人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（ ）1
A． x(x−1)=10 B．x(x−1)=10
2
1
C． x(x+1)=10 D．2x(x−1)=10
2
5．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要
发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次
抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( )
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
6.（2021春•济宁期末）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共
要比赛 72 场，设参加比赛的球队有 x 支，根据题意，所列方程为
．
7．（2021秋•鲁甸县期末）某校在冬运会中，其中一项为乒乓球赛，赛制为参
赛的每两个人之间都要比赛一场，根据胜场积分确定排名，由于场地和时间
等条件，赛程安排3天，每天安排15场比赛，求共有多少学生参加了冬运会
乒乓球赛？
7．（2021·雨花期末）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某
市加快了廉租房的建设力度.2019年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8
万平方米，预计到2021年底三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这
两年内每年投资的增长率相同.
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求到2021年底共建设了多少万平方米的廉
租房？
8．（2021·南浔期末）科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径.当
前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏，某工厂及时补进了一条
一次性注射器生产线生产一次性注射器.开工第一天生产200万个，第三天生产288万个.试回答下列问题：
（1）求前三天生产量的日平均增长率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/天，若每增加 1 条生产线，
每条生产线的最大产能将减少20万个/天.
①现该厂要保证每天生产一次性注射2600万个，在增加产能同时又要节省投入
的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个，若能，应该增加
几条生产线？若不能，请说明理由.
9．（2021·余姚竞赛）随着全球疫情的爆发，医疗物资需求猛增，某企业及时
引进一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产口罩5000盒，第三天生产口罩
7200盒，若每天增长的百分率相同．
（1）求每天增长的百分率.
（2）经调查发现，1条生产线的最大产能是15000盒/天，但是每增加1条生产
线，每条生产线的产能将减少500盒/天，现该厂要保证每天生产口罩65000盒，
在增加产能的同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增
加几条生产线？
10.（2021•贵港）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从 2016年底到
2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．
（1）求这两年藏书的年均增长率；
（2）经统计知：中外古典名著的册数在 2016 年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两
年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百
分之几？
