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训练 4 函数及其表示
一、单项选择题
1．(2023·绵阳统考)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|x2－x－12≤0}，则A∩B等于( )
A．{x|－3≤x≤－}
B．{x|－≤x≤}
C．{x|≤x≤4}
D．{x|－3≤x≤4}
答案 B
解析 因为A＝{x|y＝}
＝{x|－≤x≤}，
B＝{x|x2－x－12≤0}＝{x|－3≤x≤4}，
所以A∩B＝{x|－≤x≤}．
2．已知f ＝x＋1，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝(x≠－2)
B．f(x)＝(x≠0)
C．f(x)＝＋2(x≠0)
D．f(x)＝－1(x≠0)
答案 C
解析 令＝t，即x＝＋1，
则f(t)＝＋1＋1＝＋2，由x－1≠0，得t≠0，
故f(x)的解析式为f(x)＝＋2(x≠0)．
3．(2023·高邮质检)已知g(x)＝f(2x－1)＋1，且g(x)的定义域为(1,4]，值域为[3，＋∞)，设
函数f(x)的定义域为A、值域为B，则A∩B等于( )
A．∅ B．[4,7] C．[2,7] D.
答案 C
解析 因为g(x)＝f(2x－1)＋1，且g(x)的定义域为(1,4]，值域为[3，＋∞)，
则f(2x－1)的定义域为(1,4]，值域为[2，＋∞)，由10)，若对任意x∈[－1,2]，总存在x∈[－1,2]，使
1 2
得f(x)＝g(x)，则实数a的取值范围是( )
1 2
A. B.C．(0,3] D．[3，＋∞)
答案 D
解析 ∵函数f(x)＝x2－2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x＝1对称，
∴x∈[－1,2]时，f(x)的最小值为f(1)＝－1，
1 1
最大值为f(－1)＝3，
可得f(x)的值域为[－1,3]，
1
又∵g(x)＝ax＋2(a>0)，∴g(x)为增函数，
∵x∈[－1,2]，∴g(x)的值域为[g(－1)，g(2)]，
2 2
即当x∈[－1,2]时，g(x)∈[2－a,2a＋2]，
2 2
∵∀x∈[－1,2]，∃x∈[－1,2]，
1 2
使得f(x)＝g(x)，∴解得a≥3.
1 2
二、多项选择题
5．(2023·泉州模拟)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝则正确的有( )
A．f(g(2))＝2
B．g(f(1))＝1
C．当x<0时，f(g(x))的最小值为2
D．当x>0时，g(f(x))的最小值为1
答案 ABD
解析 对于A，g(2)＝log 2＝1，
2
f(g(2))＝f(1)＝2，A正确；
对于B，g(f(1))＝g(2)＝1，B正确；
对于C，当x<0时，g(x)＝2x∈(0,1)，
当t∈(0,1)时，f(t)＝t＋是减函数，
f(t)∈(2，＋∞)，无最小值，C错误；
对于D，当x>0时，f(x)＝x＋≥2(当且仅当x＝1时等号成立)，当t≥2时，g(t)＝log t≥1，当
2
且仅当t＝2时等号成立，所以此时g(f(x))的最小值为1，D正确．
6．一般地，若函数f(x)的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，则称[a，b]为f(x)的“k倍跟随
区间”；若函数的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为f(x)的“跟随区间”．下
列结论正确的是( )
A．若[1，b]为f(x)＝x2－2x＋2的“跟随区间”，则b＝2
B．函数f(x)＝1＋存在“跟随区间”
C．若函数f(x)＝m－存在“跟随区间”，则m∈
D．二次函数f(x)＝－x2＋x存在“3倍跟随区间”
答案 AD
解析 对于A，因为f(x)＝x2－2x＋2在区间[1，b]上为增函数，若[1，b]为f(x)＝x2－2x＋2的跟随区间，故其值域为[1，b2－2b＋2]，根据题意有b2－2b＋2＝b，解得b＝1或b＝2，
因为b>1，故b＝2，故A正确；
对于B，因为函数f(x)＝1＋在区间(－∞，0)与(0，＋∞)上均单调递减，故若f(x)＝1＋存在
跟随区间[a，b]，
则有解得a＝b，与a－时，f ＝f ＝2×－a＝1－3a＝4，则a＝－1，与a>－相矛盾，舍去；
当－a≥1，即a≤－时，
f ＝f ＝ ＝4，
则－a＝2，即a＝－，满足a≤－，
综上所述，a＝－.
四、解答题
9．求下列函数的解析式：
(1)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，且f(x＋1)－f(x)＝2x；(2)已知函数f(x)满足：f(＋1)＝x－2.
解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
所以f(0)＝c＝1，
因为f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x，
所以解得
因此f(x)＝x2－x＋1.
(2)令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，
代入f(＋1)＝x－2，
有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，
因此f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
10．求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝x－；
(3)y＝.
解 (1)y＝＝＝1－，
因为≠0，所以1－≠1，
即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．
(2)令＝t，则t≥0且x＝，
于是y＝－t＝－(t＋1)2＋1，
由于t≥0，所以y≤，
故函数的值域是.
(3)x≠－1且由已知得x2＋(1－y)x＋1－y＝0，(*)
方程有解，所以Δ＝(1－y)2－4(1－y)≥0，
即y2＋2y－3≥0，
解得y≥1或y≤－3，
因为x＝－1不满足(*)，
所以函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
